Кіріспе
Француз математигі (1789–1857)
Барон Огюстен Луи Коши (/UK//k/'/oʊ//ʃ//i/ KOHshee, /k/'/aʊ//ʃ//i// / KOWshee, kohSHEE, ; 21 тамыз 1789 – 23 мамыр 1857) – француз математигі, инженер және физик. Ол математикалық анализдің негізгі теоремаларын қатаң түрде тұжырымдап, дәлелдеген алғашқылардың бірі болды (осылайша нақты анализді қалыптастырды), комплекс анализ саласын және абстракт алгебрадағы топтар теориясын дамытты. Коши сонымен қатар математикалық физиканың көптеген мәселелеріне, әсіресе континуум механикасына үлес қосты. Теңдесіз математик Коши өзінің замандастары мен кейінгі ұрпақтарына зор ықпал етті; Ханс Фрейденталь былай деді: "Кошидің атымен аталған ұғымдар мен теоремалар басқа ешқандай математиктің атымен аталғандардан көп (тек серпімділікте Кошидің атымен аталған он алты ұғым мен теорема бар)". Коши өнімді жұмыс істеді; ол математика мен математикалық физика салаларындағы түрлі тақырыптар бойынша шамамен сегіз жүз ғылыми мақала және бес толық оқулық жазды.
"More concepts and theorems have been named for Cauchy than for any other mathematician (in elasticity alone there are sixteen concepts and theorems named for Cauchy)." Cauchy was a prolific worker; he wrote approximately eight hundred research articles and five complete textbooks on a variety of topics in the fields of mathematics and mathematical physics.
Инженерлік күндер
1810 жылы мектепті бітіргеннен кейін Коши Шербургте кіші инженер болып жұмысқа қабылданды, онда Наполеон теңіз базасын салуды жоспарлаған. Коши мұнда үш жыл бойы жұмыс істеді, Оурк каналы және Сент-Клауд көпірі жобаларына бекітілді, сондай-ақ Шербург портында еңбек етті. Өте көп жұмысы болғанына қарамастан, ол математикалық үш қолжазбаны дайындауға уақыт тапты және оларды Франция институтының Бірінші класына (Премьер-Класс) тапсырды. Кошидің алғашқы екі қолжазбасы (көпбұрыштар туралы) қабылданды, ал үшіншісі (коникалық қималардың басқарушылары туралы) қабылданбады. 1812 жылдың қыркүйегінде, 23 жасында, Коши шамадан тыс жұмыс істеуден шаршап, Парижге оралды. Оның астанаға оралуының тағы бір себебі – ол инженерлік жұмысына деген қызығушылығын жоғалтып, математиканың абстрактілі сұлулығына көбірек қызығушылық танытты; Парижде математикамен байланысты қызмет табуға мүмкіндіктер көп болды. 1813 жылы денсаулығы жақсарғаннан кейін Коши Шербургке қайтуды жөн көрмеді. Ол инженерлік лауазымын формалды түрде сақтап қалғанымен, Теңіз министрлігінің жалақы тізімінен Ішкі істер министрлігіне ауыстырылды. Келесі үш жыл Коши көбінесе ақысыз науқас демалысында болды; ол уақытын жемісті пайдаланып, математикамен айналысты (симметриялық функциялар, симметриялық топ және жоғары дәрежелі алгебралық теңдеулер теориясы сияқты байланысты тақырыптар бойынша). Ол Франция институтының Бірінші класына қабылдануға тырысты, бірақ 1813 және 1815 жылдар аралығында үш рет сәтсіз аяқталды. 1815 жылы Наполеон Ватерлоо шайқасында жеңіліске ұшырады, ал жаңа тағайындалған король Людовик XVIII жаңаруды қолға алды. Ғылым академиясы 1816 жылдың наурыз айында қайта құрылды; Лазар Карно және Гаспар Монге саяси себептермен осы академиядан шеттетілді, ал король Кошиді олардың бірінің орнына тағайындады. Кошидің әріптестерінің реакциясы қатал болды; олар оның Академияға мүше болып қабылдануын қиындық деп есептеді және Коши ғылыми ортада көптеген жауларын жасады.
Эколь Политехниктің профессоры
1815 жылдың қарашасында Эколь Политехникте доцент болған Луи Понсо денсаулығына байланысты оқытушылық міндеттерінен босатуды сұрады. Коши сол кезде математиканың дамып келе жатқан жұлдызы болды. Оның сол кездегі үлкен жетістіктерінің бірі – Ферманың көпбұрышты сандар теоремасын дәлелдеуі. Ол инженерлік жұмысынан кетіп, Эколь Политехниктің екінші курс студенттеріне математикадан сабақ беру үшін бір жылдық келісімшарт алды. 1816 жылы бұл бонапартистік, діни емес мектеп қайта ұйымдастырылды, бірнеше либералды профессорлар жұмыстан шығарылды; Коши профессорлық қызметке көтерілді. Коши 28 жасқа толғанда, ол әлі ата-анасымен бірге тұрды. Әкесі ұлының үйлену уақыты келді деп ойлады; ол оған өзінен бес жас кіші Алоиз де Бюре деген лайықты келін таңдады. Де Бюре отбасы баспагерлер мен кітап сатушылар болды және Кошидің көптеген еңбектерін жариялады. Алоиз бен Огюстен 1818 жылдың 4 сәуірінде Сент-Сулпиц шіркеуінде үлкен католик тойымен үйленді. 1819 жылы жұбайлардың тұңғыш қызы Мари Франсуаза Алисия дүниеге келді, ал 1823 жылы екінші және соңғы қызы Мари Матильда туды. 1830 жылға дейін сақталған консервативті саяси ахуал Кошиге өте қолайлы болды. 1824 жылы Людовик XVIII қайтыс болды, оның орнына одан да консервативті ағасы Карл X келді. Осы жылдары Коши өте өнімді болды және бірінен кейін бірі маңызды математикалық трактаттар жариялады. Ол Франция колледжінде және .
Қалған жері
1830 жылы шілдеде Францияда шілде революциясы болды. Карл X елден қашып кетіп, орнына Людовик Филипп келді. Политехникалық мектебінің форма киген студенттері белсенді қатысқан тәртіпсіздіктер Кошидің Париждегі үйіне жақын жерде өршілді. Бұл оқиғалар Кошидің өміріндегі шешуші кезең болды және оның математикалық өнімділігіне үзіліс әкелді. Үкімет құлағаннан кейін және билікке келген либералдарға деген терең жеккөрушілік сезімінен туындаған Коши Францияны тастап, отбасын қалдырып, шетелге кетті. Ол Швейцариядағы Фрибург қаласында қысқа уақыт болды, онда жаңа үкіметке адалдық серт беру керек пе, жоқ па деген мәселені шешуге мәжбүр болды. Ол бұл сертті беруден бас тартты, нәтижесінде Париждегі барлық лауазымдарынан айырылды, тек Академия мүшелігінен басқа, себебі ол лауазымға серт талап етілмеді. 1831 жылы Коши Италияның Турин қаласына барып, біраз уақыттан кейін Сардиния королінен (Турин мен оны қоршаған Пьемонт аймағын басқарған) арнайы оған құрылған теориялық физика кафедрасын қабылдады. 1832–1833 жылдары Туринде оқытумен айналысты. 1831 жылы ол Швеция Корольдік Ғылым академиясының шетелдік мүшесі, ал келесі жылы Америка өнер және ғылым академиясының құрметті шетелдік мүшесі болып сайланды. 1833 жылдың тамызында Коши Туриннен Прагаға, Бородо герцогы Анри д’Артуаның (1820–1883) он үш жасар ғылым жетекшісі болу үшін кетті, ол қуғынға ұшыраған тәж мұрагері және Карл X-тің немересі еді. Политехникалық мектебінің профессоры ретінде Коши нашар лекция оқыған, оның ең жақсы студенттерінің көбісінің түсіне алмайтын деңгейде материалды ұсынған және берілген уақытын тым көп ақпаратпен толтырған. Анри д’Артуада математика мен ғылымға қызығушылық та, қабілеті де болмады. Коши өз міндетін өте қатыгездікпен және Анри д’Артуаға қатысты үлкен биліксіздікпен орындағанымен, бұл міндетті өте сезімталдықпен атқарды. Азаматтық инженерлік қызметінде Коши бір кезде Парижтің бірнеше канализациясын жөндеуге жауапты болған, ол бұл туралы шәкіртіне айту қатесін жасады; Анри д’Артуа зұлымдықпен Коши өзінің мансабын Париж канализациясынан бастады деп айтты. Кошидің жетекшілік рөлі Анри д’Артуа 18 жасқа толғанға дейін, яғни 1838 жылдың қыркүйегіне дейін жалғасты. Коши осы бес жыл ішінде ешқандай зерттеу жүргізбеді, ал Анри д’Артуа математикаға өмір бойы қарсы болды. Коши барондық атаққа ие болды, бұл атаққа Коши үлкен мән берді. 1834 жылы оның әйелі мен екі қызы Прагаға көшіп келді, Коши төрт жылдық жер аударыдан кейін отбасымен қайта қосылды.
Соңғы жылдар
Коши 1838 жылдың соңында Парижге және Ғылым академиясындағы лауазымына оралды. Ол оқытушылық лауазымдарын қайта иелене алмады, себебі ол әлі де адалдық ант беруден бас тартты. 1839 жылдың тамызында Ұзындықтар бюросында бос орын ашылды. Бұл бюро Академияға ұқсас болды, мысалы, оның мүшелерін қосып алу құқығы бар еді. Сонымен қатар, бюро мүшелері адалдық антты "ұмытуға" болатынына сендірілді, бірақ академиялықтардан айырмашылығы, олар оны ресми түрде беруге міндетті болды. Ұзындықтар бюросы 1795 жылы теңіздегі орналасуды анықтау мәселесін шешу үшін құрылған ұйым еді, негізінен бойлық координатаны, өйткені ендік күннің орналасуынан оңай анықталады. Теңіздегі орналасуды астрономиялық бақылаулар арқылы ең жақсы анықтауға болатыны ескерілгендіктен, бюро астрономиялық ғылымдар академиясына ұқсас ұйымға айналды. 1839 жылдың қарашасында Коши бюроға сайланды және ант мәселесі оңай шешілмейтінін түсінді. Ант бермегендіктен король оның сайлануын бекітпеді. Төрт жыл бойы Коши сайланды, бірақ бекітілмеді; сәйкесінше, ол бюроның ресми мүшесі емес еді, жалақы алмады, отырыстарға қатыса алмады және еңбектерін ұсына алмады. Дегенмен Коши ешқандай ант беруден бас тартты, бірақ ол өзінің зерттеулерін аспан механикасына бағыттауға лайық деп санады. 1840 жылы ол академияға осы тақырыпта оннан астам мақала ұсынды. Ол сандардың таңбаланған цифрлық бейнеленуін сипаттап, түсіндірді, бұл жаңалықты 1727 жылы Англияда Джон Колсон ұсынған еді. Бюроның қиын мүшелігі 1843 жылдың соңына дейін жалғасты, одан кейін Кошидің орнына Пуансо сайланды. 19 ғасыр бойы француз білім беру жүйесі шіркеу мен мемлекеттің бөлінуі мәселесімен күресті. Католик шіркеуі мемлекеттік білім беру жүйесін бақылауын жоғалтқаннан кейін, білім берудің өз саласын құруға тырысты және Кошиде берік және көрнекті одақтас тапты. Ол өзінің беделін және білімін иезуиттер басқаратын Париждегі École Normale Écclésiastique мектебіне, колледждері үшін ұстаздар даярлауға жұмсады. Ол Католик институтын құруға қатысты. Бұл институттың мақсаты Францияда католиктік университет білімінің болмауының салдарына тойтарыс беру болды. Бұл іс-әрекеттер Кошиді әріптестерімен танымал етпеді, олар көбінесе француз революциясының ағартушылық идеалдарын қолдады. 1843 жылы Франция колледжінде математика кафедрасы бос қалғанда, Коши оған үміткерлік танытты, бірақ 45 дауыстан тек үш дауыс ғана жинады. 1848 жылы король Луи-Филипп Англияға қашып кетті. Адалдық ант жойылды және Коши үшін академиялық лауазымға жол ашылды. 1849 жылдың 1 наурызында ол ғылым факультетінде математикалық астрономия профессоры ретінде қызметке қайта орналасты. 1848 жыл бойындағы саяси дүрбелеңнен кейін Франция Наполеон III басшылығымен республика болуды таңдады. 1852 жылдың басында президент өзін Франция императоры деп жариялап, Наполеон III деген ат алды. Бюрократиялық ортада барлық мемлекеттік қызметшілер, соның ішінде университет профессорларынан да адалдық ант талап етудің пайдалы екені туралы идея пайда болды. Бұл жолы министрлер кабинетінің бір мүшесі императорды Кошиді анттан босатуға көндірді. 1853 жылы Коши Америка философиялық қоғамының халықаралық мүшесі болып сайланды. Коши 67 жасқа толғанға дейін университетте профессор болып қызмет етті. Ол соңғы қасиеттерді қабылдады және 1857 жылдың 23 мамырында таңғы сағат 4-те бронх ауруынан қайтыс болды. Оның есімі Эйфель мұнарасына жазылған 72 есімнің бірі.
Алғашқы жұмыстар
Кошидің генийі Аполлоний мәселесін оңай шешуінде көрінді – ол 1805 жылы ашқан үш берілген шеңберге жанасқан шеңберді сипаттауда, 1811 жылы Ойлер формуласын көпжақтарға жалпылауда және тағы да бірнеше әдемі мәселелерде айқын болды. Одан да маңыздысы – оның толқын таралуы туралы еңбегі, ол 1816 жылы Француз ғылым академиясының Гран-приін жеңіп алды. Кошидің жазбалары маңызды тақырыптарды қамтыды. Ол қатарлар теориясында жуысу (конвергенция) ұғымын дамытып, q қатарлары үшін көптеген негізгі формулаларды ашты. Сандар және комплекс сандар теориясында ол комплекс сандарды нақты сандар жұбы ретінде бірінші болып анықтады. Ол сондай-ақ топтар мен ауыстырулар теориясы, функциялар теориясы, дифференциалдық теңдеулер және детерминанттар туралы жазды.
Толқын теориясы, механика, икемділік
Жарық теориясында Френельдің толқын теориясы, жарықтың дисперсиясы және поляризациясы бойынша жұмыс істеді. Ол сондай-ақ механика саласындағы зерттеулерге үлес қосты, материяның үздіксіздігі принципін геометриялық орын ауыстырулардың үздіксіздігі түсінігімен алмастырды. Ол таяқшалар мен серпімді мембраналардың тепе-теңдігі және серпімді ортадағы толқындар туралы жазды. Ол қазір Коши кернеу тензоры деп аталатын сандардың 3 × 3 симметриялық матрицасын енгізді. Серпімділік теориясында ол кернеу теориясын жасады, оның нәтижелері Симеон Пуассонның нәтижелерімен шамалас құнды.
Сандар теориясы
Басқа да маңызды еңбектерінің ішінде Ферманың көпбұрышты сандар теоремасын алғаш дәлелдегені бар.
Күрделі функциялар
Коши күрделі функциялар теориясын жеке өзі дамытқандығымен танымал. Коши дәлелдеген алғашқы маңызды теорема, қазір Кошидің интегралды теоремасы деп аталады, келесідей болды:
where f(z) is a complex valued function holomorphic on and within the non self intersecting closed curve C (contour) lying in the complex plane. The contour integral is taken along the contour C. The rudiments of this theorem can already be found in a paper that the 24 year old Cauchy presented to the Académie des Sciences (then still called "First Class of the Institute") on August 11, 1814. In full form the theorem was given in 1825. In 1826 Cauchy gave a formal definition of a residue of a function. This concept concerns functions that have poles—isolated singularities, i. e., points where a function goes to positive or negative infinity. If the complex valued function f(z) can be expanded in the neighborhood of a singularity a as
where φ(z) is analytic (i. e., well behaved without singularities), then f is said to have a pole of order n in the point a. If n = 1, the pole is called simple. The coefficient B1 is called by Cauchy the residue of function f at a. If f is non singular at a then the residue of f is zero at a. Clearly, the residue is in the case of a simple pole equal to
where we replaced B1 by the modern notation of the residue. In 1831, while in Turin, Cauchy submitted two papers to the Academy of Sciences of Turin. In the first he proposed the formula now known as Cauchy's integral formula,
where f(z) is analytic on C and within the region bounded by the contour C and the complex number a is somewhere in this region. The contour integral is taken counter clockwise. Clearly, the integrand has a simple pole at z = a. In the second paper he presented the residue theorem,
where the sum is over all the n poles of f(z) on and within the contour C. These results of Cauchy's still form the core of complex function theory as it is taught today to physicists and electrical engineers. For quite some time, contemporaries of Cauchy ignored his theory, believing it to be too complicated. Only in the 1840s the theory started to get response, with Pierre Alphonse Laurent being the first mathematician besides Cauchy to make a substantial contribution (his work on what are now known as Laurent series, published in 1843).
мұнда f(z) – күрделі жазықтықта жатқан, өзімен-өзі қиылыспайтын жабық қисық С (контур) ішінде және оның үстінде голоморфты күрделі мәнді функция. Контурлық интеграл С контуры бойынша алынады. Бұл теореманың бастапқылары 24 жастағы Коши 1814 жылғы 11 тамызда Ғылым академиясына (сол кезде әлі де «Институттың бірінші класы» деп аталатын) ұсынған еңбегінде кездеседі. Теорема толық нысанда 1825 жылы берілген. 1826 жылы Коши функцияның қалдығының ресми анықтамасын берді. Бұл түсінік полюстері бар функцияларға қатысты, яғни функцияның оң немесе теріс шексіздікке ұмтылатын, оқшауланған ерекшеліктері. Егер күрделі мәнді функция f(z) ерекшелік нүктесі a-ның маңында φ(z) аналитикалық (яғни ерекшеліктері жоқ, жақсы анықталған) түрде жазылса, онда f функциясы a нүктесінде n-реттік полюске ие деп айтылады. Егер n = 1 болса, полюс қарапайым деп аталады. B1 коэффициентін Коши функция f-ның a нүктесіндегі қалдығы деп атады. Егер f функциясы a нүктесінде ерекшеліктері болмаса, онда f функциясының a нүктесіндегі қалдығы нөлге тең болады. Әрине, қарапайым полюс жағдайында қалдық, B1-ді қалдықтардың қазіргі белгісімен алмастырғанда, тең болады. 1831 жылы Туринде болған кезде Коши Турин Ғылым академиясына екі мақала тапсырды. Бірінші мақаласында ол қазір Кошидің интегралды формуласы деп танылатын формуланы ұсынды:
where f(z) is a complex valued function holomorphic on and within the non self intersecting closed curve C (contour) lying in the complex plane. The contour integral is taken along the contour C. The rudiments of this theorem can already be found in a paper that the 24 year old Cauchy presented to the Académie des Sciences (then still called "First Class of the Institute") on August 11, 1814. In full form the theorem was given in 1825. In 1826 Cauchy gave a formal definition of a residue of a function. This concept concerns functions that have poles—isolated singularities, i. e., points where a function goes to positive or negative infinity. If the complex valued function f(z) can be expanded in the neighborhood of a singularity a as
where φ(z) is analytic (i. e., well behaved without singularities), then f is said to have a pole of order n in the point a. If n = 1, the pole is called simple. The coefficient B1 is called by Cauchy the residue of function f at a. If f is non singular at a then the residue of f is zero at a. Clearly, the residue is in the case of a simple pole equal to
where we replaced B1 by the modern notation of the residue. In 1831, while in Turin, Cauchy submitted two papers to the Academy of Sciences of Turin. In the first he proposed the formula now known as Cauchy's integral formula,
where f(z) is analytic on C and within the region bounded by the contour C and the complex number a is somewhere in this region. The contour integral is taken counter clockwise. Clearly, the integrand has a simple pole at z = a. In the second paper he presented the residue theorem,
where the sum is over all the n poles of f(z) on and within the contour C. These results of Cauchy's still form the core of complex function theory as it is taught today to physicists and electrical engineers. For quite some time, contemporaries of Cauchy ignored his theory, believing it to be too complicated. Only in the 1840s the theory started to get response, with Pierre Alphonse Laurent being the first mathematician besides Cauchy to make a substantial contribution (his work on what are now known as Laurent series, published in 1843).
мұнда f(z) функциясы С контурында және контурмен шектелген аймақта аналитикалық, ал күрделі сан a осы аймақтың бір жерінде жатады. Контурлық интеграл сағат тіліне қарсы бағытта алынады. Әрине, интегралда z = a нүктесінде қарапайым полюс бар. Екінші мақаласында ол қалдық теоремасын ұсынды:
where f(z) is a complex valued function holomorphic on and within the non self intersecting closed curve C (contour) lying in the complex plane. The contour integral is taken along the contour C. The rudiments of this theorem can already be found in a paper that the 24 year old Cauchy presented to the Académie des Sciences (then still called "First Class of the Institute") on August 11, 1814. In full form the theorem was given in 1825. In 1826 Cauchy gave a formal definition of a residue of a function. This concept concerns functions that have poles—isolated singularities, i. e., points where a function goes to positive or negative infinity. If the complex valued function f(z) can be expanded in the neighborhood of a singularity a as
where φ(z) is analytic (i. e., well behaved without singularities), then f is said to have a pole of order n in the point a. If n = 1, the pole is called simple. The coefficient B1 is called by Cauchy the residue of function f at a. If f is non singular at a then the residue of f is zero at a. Clearly, the residue is in the case of a simple pole equal to
where we replaced B1 by the modern notation of the residue. In 1831, while in Turin, Cauchy submitted two papers to the Academy of Sciences of Turin. In the first he proposed the formula now known as Cauchy's integral formula,
where f(z) is analytic on C and within the region bounded by the contour C and the complex number a is somewhere in this region. The contour integral is taken counter clockwise. Clearly, the integrand has a simple pole at z = a. In the second paper he presented the residue theorem,
where the sum is over all the n poles of f(z) on and within the contour C. These results of Cauchy's still form the core of complex function theory as it is taught today to physicists and electrical engineers. For quite some time, contemporaries of Cauchy ignored his theory, believing it to be too complicated. Only in the 1840s the theory started to get response, with Pierre Alphonse Laurent being the first mathematician besides Cauchy to make a substantial contribution (his work on what are now known as Laurent series, published in 1843).
мұндағы сома С контурында және оның ішіндегі f(z) функциясының барлық n полюстері бойынша алынады. Кошидің осы нәтижелері бүгінгі күні физиктер мен электр инженерлеріне оқытылатын күрделі функциялар теориясының негізін құрайды. Біраз уақыт бойы Кошидің замандастары оның теориясын тым күрделі деп санап, назардан тыс қалдырды. Тек 1840 жылдары теория жауап тапты, Пьер Альфонс Лоран Кошиден басқа, маңызды үлес қосқан алғашқы математик болды (оның 1843 жылы жарияланған, қазір Лоран қатарлары деп танылатын еңбектері).
where f(z) is a complex valued function holomorphic on and within the non self intersecting closed curve C (contour) lying in the complex plane. The contour integral is taken along the contour C. The rudiments of this theorem can already be found in a paper that the 24 year old Cauchy presented to the Académie des Sciences (then still called "First Class of the Institute") on August 11, 1814. In full form the theorem was given in 1825. In 1826 Cauchy gave a formal definition of a residue of a function. This concept concerns functions that have poles—isolated singularities, i. e., points where a function goes to positive or negative infinity. If the complex valued function f(z) can be expanded in the neighborhood of a singularity a as
where φ(z) is analytic (i. e., well behaved without singularities), then f is said to have a pole of order n in the point a. If n = 1, the pole is called simple. The coefficient B1 is called by Cauchy the residue of function f at a. If f is non singular at a then the residue of f is zero at a. Clearly, the residue is in the case of a simple pole equal to
where we replaced B1 by the modern notation of the residue. In 1831, while in Turin, Cauchy submitted two papers to the Academy of Sciences of Turin. In the first he proposed the formula now known as Cauchy's integral formula,
where f(z) is analytic on C and within the region bounded by the contour C and the complex number a is somewhere in this region. The contour integral is taken counter clockwise. Clearly, the integrand has a simple pole at z = a. In the second paper he presented the residue theorem,
where the sum is over all the n poles of f(z) on and within the contour C. These results of Cauchy's still form the core of complex function theory as it is taught today to physicists and electrical engineers. For quite some time, contemporaries of Cauchy ignored his theory, believing it to be too complicated. Only in the 1840s the theory started to get response, with Pierre Alphonse Laurent being the first mathematician besides Cauchy to make a substantial contribution (his work on what are now known as Laurent series, published in 1843).
Талдау курсы
Коши өзінің "Анализ курсы" атты кітабында талдаудағы қатаңдықтың маңыздылығын атап көрсетті. Бұл жағдайда қатаңдық алгебраның жалпылығы қағидасын (Ойлер мен Лагранж сияқты бұрынғы авторлардың) қабылдамауды және оны геометриямен және шексіз кішіліктермен ауыстыруды білдірді. Джудит Грабинер Коши туралы "Еуропаның барлығына қатаң талдауды үйреткен адам" деп жазды. Бұл кітапта теңсіздіктер мен дәлелдер математикалық есептеулерге алғаш рет енгізілгені айтылады. Мұнда Коши үздіксіздікті былай анықтады: f(x) функциясы берілген шектер арасында x-ке қатысты үздіксіз болады, егер осы шектер арасында айнымалының шексіз кішкентай өзгеруі әрқашан функцияның өзінде шексіз кішкентай өзгеруді тудырса. М. Барани Эколь Кошидің қарсылығына қарамастан, инфинитезимальді әдістерді оқу бағдарламасына енгізуді талап еткенін мәлімдейді. Гилен 1825 жылы Algébrique талдауына арналған оқу бағдарламасының көлемі қысқартылғанда, Коши үздіксіз функциялар тақырыбын (сонымен қатар шексіз кішіліктерді) Дифференциалдық есептеудің басына қоюға талап еткенін атап өтті. Лаугвиц (1989) және Бенис Синасеур (1973) Коши 1853 жылға дейін өзінің зерттеулерінде шексіз кішіліктерді қолдануын жалғастырғанын көрсетеді. Коши шексіз кішілікті нөлге жақындасатын тізбек түрінде нақты анықтады. Кошидің "шексіз кішкентай шамалар" туралы түсінігіне қатысты көптеген зерттемелер жазылды, олардың пікірінше, бұл түсінік әдеттегі "эпсилондық" анықтамаларға немесе стандартты емес талдау ұғымдарына әкеледі. Басым пікірге сәйкес, Коши қолданған шексіз кішкентай шамалардың нақты мағынасын ашып көрсету үшін маңызды идеяларды айтпады немесе жасырын қалдырды.
Тейлор теоремасы
Ол Тейлор теоремасын алғаш рет қатаң түрде дәлелдеді, сондай-ақ оның қалдық мүшесінің әйгілі түрін орнатты. Ол École Polytechnique мектебінің студенттері үшін оқулық жазды (суретті қараңыз), онда математикалық талдаудың негізгі теоремаларын мүмкіндігінше қатаң түрде жазды. Осы кітабында ол шектің болуы үшін қажетті және жеткілікті шартты қазіргі күнге дейін оқытылатын түрінде берді. Сонымен қатар, Кошидің абсолютты жинақтылық сынағы осы кітаптан шыққан: Кошидің конденсация сынағы. 1829 жылы ол күрделі айнымалының күрделі функциясын алғаш рет басқа оқулықта анықтады. Бұған қарамастан, Кошидің ғылыми еңбектері көбінесе интуитивті, қатаң емес әдістерді қолданды; осылайша оның теоремаларының бірі Абельдің «қарсы мысалымен» жолданды, кейіннен біртекті үздіксіздік ұғымын енгізу арқылы түзетілді.
Аргумент принципі, тұрақтылық
1855 жылы, Коши қайтыс болғанға дейін екі жыл бұрын жарияланған мақаласында, ол бірнеше теоремаларды талқылады, олардың біреуі қазіргі заманғы комплекс анализ оқулықтарындағы "аргумент принципіне" ұқсас. Қазіргі заманғы басқару теориясы оқулықтарында Коши аргумент принципі жиі Никвист тұрақтылық критерийін шығару үшін қолданылады, оның көмегімен теріс кері байланыс күшейткіштері мен теріс кері байланыс басқару жүйелерінің тұрақтылығын болжауға болады. Осылайша, Кошидің еңбегі таза математика және қолданбалы инженерия салаларына зор әсер етті.
Саясат және діни нанымдар
Августин Луи Коши монархияны жақтаған отбасында өскен. Бұл оның әкесіне француз төңкерісі кезінде отбасымен бірге Аркуйеге қашуға мәжбүр етті. Сол кезде олардың өмірі қиын болған көрінеді; Августин Луидің әкесі Луи Франсуа сол кезеңде күріш, нан және крекерлермен күн көріп отырғанын айтқан. Луи Франсуаның Руандағы анасына жазған күні белгісіз хатының бір абзацында былай делінген: «Қалай болғанда да, ол әкесінен берік монархиялық нанымды мұра етті және сондықтан Карл X құлатылғаннан кейін ешқандай үкіметке ант беруден бас тартты. Ол сондай-ақ, дінге берік католик және Сент-Винсент-де-Пол қоғамының мүшесі болды. Ол Иса қоғамымен де байланыста болды және оларды Академияда, саяси жағдайдың қолайлы болмауына қарамастан, қорғады. Оның дінге деген құлшынысы Шарль Эрмит ауырғанда оған қамқорлық жасауына және Эрмиттің адал католик болуына ықпал еткен болуы мүмкін. Ол сондай-ақ, Кошиді Ирландиядағы Ұлы ашаршылық кезінде ирландтықтардың мүддесі үшін араға түсуге шабысдандырды. Оның монархиялық көзқарастары мен діни құлшынысы оны даулы тұлғаға айналдырды, бұл оның әріптестерімен қарым-қатынаста қиындықтар тудырды. Ол өзінің нанымдары үшін жазаланғанын сезінді, бірақ оның қарсыластары діни мәселелерде оларды кінжылдап немесе иезуиттерді тыйым салғаннан кейін оларды қорғап, адамдарды әдейі ашуға тырысқанын айтты. Нильс Хенрик Абель оны «кейбіршіл католик» деп атады және ол «ессіз және оны түзетуге болмайды» деп қосты, бірақ сонымен бірге оны математик ретінде жоғары бағалады. Кошидің пікірлері математиктер арасында кеңінен тараған жоқ, және Гульельмо Либри Каруччи делла Соммаха математика кафедрасына тағайындалғанда, ол және көптеген басқалар оның көзқарастары себеп болды деп ойлады. Либри кітап ұрлығына айыпталғанда, оның орнына Коши емес, Жозеф Лиувилль тағайындалды, бұл Лиувилль мен Коши арасында араздық тудырды. Саяси мән-жайға толы тағы бір дау Жан-Мари Констант Духамельге және серпімсіз соққылар туралы таласқа қатысты. Кейіннен Кошидің қателігін Жан Виктор Понселет дәлелдеді.
In any event, he inherited his father's staunch royalism and hence refused to take oaths to any government after the overthrow of Charles X. He was an equally staunch Catholic and a member of the Society of Saint Vincent de Paul. He also had links to the Society of Jesus and defended them at the Academy when it was politically unwise to do so. His zeal for his faith may have led to his caring for Charles Hermite during his illness and leading Hermite to become a faithful Catholic. It also inspired Cauchy to plead on behalf of the Irish during the Great Famine of Ireland. His royalism and religious zeal made him contentious, which caused difficulties with his colleagues. He felt that he was mistreated for his beliefs, but his opponents felt he intentionally provoked people by berating them over religious matters or by defending the Jesuits after they had been suppressed. Niels Henrik Abel called him a "bigoted Catholic" and added he was "mad and there is nothing that can be done about him", but at the same time praised him as a mathematician. Cauchy's views were widely unpopular among mathematicians and when Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja was made chair in mathematics before him he, and many others, felt his views were the cause. When Libri was accused of stealing books he was replaced by Joseph Liouville rather than Cauchy, which caused a rift between Liouville and Cauchy. Another dispute with political overtones concerned Jean Marie Constant Duhamel and a claim on inelastic shocks. Cauchy was later shown, by Jean Victor Poncelet, to be wrong.