Инфинизималды есептеулер тарихы және негіздері

Кіріспе

Калькуль, бастапқыда шексіз кішкентай есептеулер деп аталған, шектер, үздіксіздік, туындылар, интегралдар және шексіз қатарларға негізделген математикалық пән. Калькульдің көптеген элементтері ежелгі Грецияда, содан кейін Қытайда және Таяу Шығыста, одан кейін ортағасырлық Еуропа мен Үндістанда пайда болды. 17 ғасырдың соңында Исаак Ньютон және Готфрид Вильгельм Лейбниц бұл есептеулерді бір-бірінен тәуелсіз түрде жасады. Басымдық үшін болған дау Лейбниц-Ньютон есептеулер даусына әкелді, ол Лейбниц 1716 жылы қайтыс болғанға дейін жалғасты. Калькульдің дамуы және ғылымдағы оның қолданылуы бүгінге дейін жалғасып келеді.

Этимология

Математика білімінде калькуль – функциялар мен лимиттерді зерттеуге негізделген элементар математикалық талдау курстарын білдіреді. "Калькуль" сөзі латын тілінде "кішкентай тас" ( "тас" деген мағына беретін "calx" сөзінің кішіртілген түрі) дегенді білдіреді, және бұл мағына медицинада бүгінге дейін сақталған. Мұндай тастар қашықтықты өлшеу, дауыс санау және есептеу тақтасында арифметикалық амалдар жасау үшін қолданылғандықтан, бұл сөз есептеу әдісін білдіретін болды. Осы мағынада, бұл сөз кем дегенде 1672 жылы, Лейбниц пен Ньютонның еңбектері жарық көргенге дейін бірнеше жыл бұрын ағылшын тілінде қолданылған. Дифференциалдық және интегралдық калькульдан басқа, бұл термин нақты есептеу әдістерін атау үшін де жиі қолданылады. Мысалдарға логикадағы пропозициялық калькуль, математикадағы вариациялар калькулі, информатикадағы процесс калькулі және философиядағы бақыттылық калькулі жатады.

Мысыр мен Бабыл

Көне дәуір интегралды есептеуге бастап кеткен кейбір ойларды ұсынды, бірақ осы ойларды қатаң және жүйелі түрде дамытқан жоқ. Көлемдер мен аудандарды есептеу, интегралды есептеудің бір мақсаты, Мысырдың Мәскеу папирусында (шамамен б.з.д. 1820 жыл) табылады, бірақ формулалар тек нақты сандар үшін келтірілген, кейбіреулері шамамен ғана дұрыс, және олар логикалық қорытынды арқылы шығарылмаған. Вавилондықтар Юпитерді астрономиялық бақылаулар жасағанда трапеция тәсілін ашқан болуы мүмкін.

Грекия

Грек математикасының дәуірінен бастап Евдокс (б.з.д. 408–355) аумақтар мен көлемдерді есептеу үшін сарқылу әдісін қолданды, бұл әдіс шектің ұғымын алдын ала көрсетеді. Ал Архимед (б.з.д. 287–212) бұл идеяны одан әрі дамытып, интегралды есептеу әдістеріне ұқсас эвристиканы ойлап тапты. Грек математиктерінің де сансыз кіші шамаларды кеңінен пайдаланғаны мәлім. Демокрит – заттарды шексіз көп қималарға бөлуді алғаш рет қарастырған адам, бірақ дискретті қималарды конустың тегіс бетімен байланыстыра алмауы оған бұл идеяны қабылдауға кедергі келтірді. Солай шамамен бір уақытта Элеялық Зенон олар тудыратын сияқты парадокстарды баяндау арқылы сансыз кіші шамаларды одан әрі күмәндеңге түсірді. Архимед бұл әдісті одан әрі жетілдірді, сонымен қатар "Параболаның квадратурасы", "Әдіс" және "Сфера мен цилиндр туралы" еңбектерінде қазіргі заманғы түсініктерге ұқсас эвристикалық әдістерді ойлап тапты. Дегенмен, сол кезде сансыз кіші шамалар қатаң негізге қойылған жоқ. Грек математиктері тек дұрыс геометриялық дәлелдермен толықтырылғанда ғана бір ұғымды шындық деп мойындады. Бұл әдіс 17 ғасырда ғана Кавальеридің "Бөлінбейтіндер әдісі" ретінде ресмилендіріліп, кейін Ньютонның интегралды есептеудің жалпы жүйесіне енгізілді. Архимед шеңберден өзге қисыққа жүргізілген жанаманы дифференциалдық есептеуге ұқсас әдіспен тапқан алғашқы адам болды. Ол спиральды зерттегенде, нүктенің қозғалысын екі құрамдасқа – радиалды және дөңгелек қозғалысқа бөлді, содан кейін екі құрамдастың қозғалысын қосып, қисықтың жанамасын тапты.

Қытай

Шаршау әдісін Қытайда біздің заманымыздың 4-ші ғасырында Лю Хуэй шеңбердің ауданын табу мақсатымен дербес ойлап тапты. 5-ші ғасырда Зу Чонцзи шардың көлемін табу үшін кейін Кавальери принципі деп аталатын әдіс құрды.

Таяу Шығыс

Таяу Шығыста Хасан Ибн әл-Хайтам, латыншасы - Альхазен (санаудың бірінші мыңжылдығы) төртінші дәрежелердің қосындысы үшін формула шығарды. Ол нәтижелерді қазір интегралдау деп аталатын амалды орындау үшін пайдаланды, онда бүтін квадраттар мен төртінші дәрежелердің қосындысының формулалары оған параболоидтың көлемін есептеуге мүмкіндік берді. Рошди Рашид 12 ғасыр математигі Шараф әл-Дин әл-Түси өзінің «Теңдеулер туралы трактатында» кубтық көпмүшелердің туындысын қолданған болуы керек деп санайды. Рашидтің қорытындысына басқа ғалымдар қарсы шықты, олар оның нәтижелерін функцияның туындысын білуді қажет етпейтін басқа әдістермен алуға болатынын айтады.

Үндістан

Дәлелдер Бхаскара II дифференциалдық есептеудің кейбір идеяларымен таныс болғандығын көрсетеді. Бхаскара сондай-ақ "дифференциалдық есептеуге" тереңдей келіп, функцияның экстремум нүктесінде дифференциалдық коэффициент нөлге тең болатынын айтады, бұл "шексіз кішкентай" (инфинитезималь) ұғымын білуді көрсетеді. Оның еңбектерінде Ролл теоремасының алғашқы түрінің дәлелдері бар. Ролл теоремасының қазіргі заманғы формулировкасы бойынша, егер , онда кейбір үшін . Астрономиялық еңбегінде Бхаскара шексіз шағын әдістерге ұқсас нәтиже келтіреді: егер , онда . Бұл синус функциясының туындысына алып келеді, бірақ ол туынды ұғымын дамытпады. Кейіннен есептеуге қатысты кейбір идеялар Үнді математикасында, Керала астрономия және математика мектебінде пайда болды. Дегенмен, олар туынды мен интегралдың екі біріктіруші тақырыбы бойынша көптеген түрлі идеяларды біріктірмеді, олардың арасындағы байланысты көрсетіп, есептеуді бүгінгі күні қолданылатын қуатты мәселе шешу құралына айналдырмады.

Интегралдар

Иоганн Кеплердің 1615 жылы жарық көрген "Стереометрия Долиорумы" еңбегі интегралды есептеудің негізін қалады. Кеплер эллипстің ауданын эллипстің фокусынан жүргізілген көптеген радиустардың ұзындықтарын қосу арқылы есептеу әдісін әзірледі. Кеплердің әдістеріне шабыттанған маңызды еңбек – Ферманың әртүрлі жазық және кеңістік фигураларының ауырлық орталықтарын табу техникасын ұсынған жұмысы, ол квадраттура саласындағы келесі зерттеулерге ықпал етті.

Деривативтер

17 ғасырда еуропалық математиктер Исаак Барроу, Рене Декарт, Пьер де Ферма, Блез Паскаль, Джон Уоллис және тағы да басқалар туынды идеясын талқылады. Атап айтқанда, 1636 жылы жарияланған Methodus ad disquirendam maximam et minima және De tangentibus linearum curvarum еңбектерінде Ферма теңдік ұғымын енгізді, ол теңдікті шексіз кішкентай қате мөлшеріне дейін көрсетеді. Бұл әдіс әртүрлі қисықтардың ең жоғарғы және ең төменгі нүктелерін, сондай-ақ оларға жүргізілген жанамаларды анықтауға қолданылуы мүмкін болды және дифференциалдаумен тығыз байланысты. Кейінірек Исаак Ньютон өзінің математикалық анализге қатысты алғашқы ойларының "Ферманың жанама сызу тәсілінен" тікелей туындағанын жазды.

Калькульдің негізгі теоремасы

Калькульдің формалды зерттелуі Кавальеридің шексіз кіші шамаларын, шамамен бір уақытта Еуропада дамыған шекті айырмашылықтар есебімен және Ферманың теңдестігімен біріктірді. Бұл біріктіруді Джон Уоллис, Исаак Барроу және Джеймс Грегори жасады, соңғы екеуі 1670 жылдары калькульдің екінші негізгі теоремасына қадамдар жасады. Ферманың жанасу және квадрат табуға жасаған үлесінен әсерленген Джеймс Грегори, интегралдарды функцияның кез келген антитуындысын қолдана отырып есептеуге болатынын көрсететін екінші негізгі теореманың шектеулі түрін дәлелдеуге қол жеткізді. Калькульдің негізгі теоремасын толыққанды дәлелдеген алғашқы адам Исаак Барроу болды.

Басқа да өзгерістер

Нақты айнымалының функцияларының есебін құрудың бір шарты рационалды функция үшін антитуынды табу болды. Бұл мәселені тікбұрышты гиперболаның xy = 1 квадратурасы ретінде қоюға болады. 1647 жылы Грегуар де Сент-Винсент қажетті F функциясы келесіні қанағаттандыратынын атап өтті, сондықтан геометриялық прогрессия F астында арифметикалық прогрессияға айналды. А. А. де Сараса бұл ерекшелікті көбейтуді қосуға айналдырып, арифметиканы жеңілдететін логарифмдер деп аталатын заманауи алгоритмдермен байланыстырды. Сондықтан F алғашқыда гиперболалық логарифм деп аталды. Ойлер e = 2.71828-ді пайдаланғаннан кейін және F экспоненциалдық функцияның кері функциясы ретінде табылғаннан кейін, ол табиғи логарифмге айналды, келесіні қанағаттандырады.

Ролль теоремасының алғашқы дәлелін 1691 жылы Мишель Ролль голланд математигі Иоганн ван Ваверен Худде әзірлеген әдістерді қолдана отырып берді. Орташа мән теоремасы қазіргі заманғы түрінде Бернар Болцано және Огюстен Луи Коши (1789–1857) есептеудің қазіргі заманғы негізін қалаудан кейін тұжырымдалды. Барроу, Гюйгенс және тағы да көптеген ғалымдар маңызды үлес қосты.

Ньютон мен Лейбниц

Ньютон мен Лейбницке дейін "калькулус" сөзі математиканың кез келген саласын білдірген, бірақ кейіннен "калькулус" олардың жаңалықтарына негізделген математика саласы үшін жиі қолданылатын терминге айналды. Ньютон мен Лейбниц осы еңбектерді дамыта отырып, 17 ғасырдың соңында шексіз шағын есептеудің теориясын дербес түрде жасады. Сонымен қатар, Лейбниц тұрақты және тиімді жазу тәсілдері мен түсініктерді әзірлеуде көп еңбек етті. Ньютон физикаға, әсіресе интегралды есептеуге қатысты маңызды қолдануларды ұсынды. 17 ғасырдың ортасына қарай еуропалық математика негізгі білім қорына өзгеріс енгізді. Алдыңғы ғасыр эллиндік математиканы зерттеудің бастапқы нүктесі ретінде сақтап келген болса, Ньютон, Лейбниц және олардың замандастары көбірек заманауи ойшылдардың еңбектеріне жүгінді. Ньютон физика мен геометриядағы зерттеулерінің барысында калькулусқа келді. Ол калькулусты қозғалыс пен шаманың пайда болуын ғылыми түрде сипаттау деп қарастырды. Ал Лейбниц тангенс мәселесіне ден қойып, калькулустың өзгерісті метафизикалық тұрғыдан түсіндіретініне сене бастады. Олардың маңызды жаңалығы – функцияның интегралы мен туындысы арасындағы кері байланысты формализациялау болды. Бұл жаңалықты олардан бұрынғылар да болжаған, бірақ калькулусты жаңа сөздер мен сипаттамалық терминдермен жаңадан құрылған жүйе ретінде тұңғыш рет олар ұсынды.

Ньютон

Ньютон өзінің флюкциялық есептеуін ресми түрде жариялаған нақты жарияланымдарды аяқтаған жоқ; керісінше, оның көптеген математикалық ашылулары хат-хабарлар, кішігірім еңбектер арқылы немесе оның басқа толыққанды жинақтарында, мысалы, «Principia» және «Opticks»-та енгізілген аспектілер ретінде таратылды. Ньютон математикалық білімін Кембриджде Исаак Барроудың таңдалған мұрагері ретінде бастады. Оның қабілеті ерте танылып, қазіргі теорияларды тез меңгерді. 1664 жылға қарай Ньютон өзінің алғашқы маңызды үлесін біномдық теореманы жетілдіру арқылы жасады, оны ол бөлшекті және теріс көрсеткіштерді қосу үшін кеңейтті. Ньютон біразы бар сандар алгебрасын шексіз қатарларды талдауда қолдану арқылы біномдық теореманың қолданылу аясын кеңейтуге қол жеткізді. Ол шексіз қатарларды тек жуықтау құралы ретінде ғана емес, сонымен қатар бір шартты білдірудің баламалы формасы ретінде қарастыруға дайын екенін көрсетті. Ньютонның көптеген маңызды ойлары 1665–1666 жылдардағы оба жылдарында пайда болды, оны ол кейіннен «менің өнертабыс және математика мен [табиғи] философиямен айналысқан жасымның гүлденген шағы» деп сипаттады. Оның обадан оқшауланған кезінде флюкциялық есептеудің алғашқы жазбаша тұжырымдамасы жарияланбаған «De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas» еңбегінде жазылды. Бұл еңбекте Ньютон қисық сызық астындағы ауданды ең алдымен өзгерудің бір сәттік жылдамдығын есептеу арқылы, содан кейін жалпы ауданды экстраполяциялау арқылы анықтады. Ол ауданы x және y функциясы болатын шексіз кішкентай үшбұрыш туралы ойлаудан бастады. Содан кейін ол абсциссаның шексіз аз өсуі 1=x = x + o (маңыздысы, o – әріп, 0 саны емес) жаңа формула тудырады деп болжады. Содан кейін ол біномдық теореманы қолданып ауданды қайта есептеді, o әрпін қамтитын барлық шамаларды жойды және аудан үшін алгебралық өрнекті қайта құрды. Қызықтысы, Ньютон o әрпін қамтитын шамаларды «жояды», өйткені «оған көбейтілген мүшелер қалғандарына қатысты нөлге тең болады». Осы кезде Ньютон инверсияның негізгі қасиетін түсіне бастады. Ол қисық сызық астындағы аудан үшін өрнек жасады, бір нүктедегі біршама өсуді қарастыра отырып. Іс жүзінде, есептеудің негізгі теоремасы оның есептеулеріне енгізілді. Оның жаңа формуласы үлкен әлеует ұсынғанмен, Ньютон сол кезде оның логикалық шектеулерін жақсы білді. Ол «математикадағы қателіктер, қаншалықты кішкентай болса да, ескерілмеуі керек» және өзінің жетістіктерін «нақты дәлелдеудің орнына қысқаша түсіндіргенін» мойындады. Калькульді нақтырақ түсіндіру және негіздеу үшін Ньютон 1671 жылы «Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum» еңбегін жинақтады. Бұл кітапта Ньютонның қатаң эмпиризімі оның флюкциялық есептеуін қалыптастырды және анықтады. Ол бірден қозғалысты және шексіз кішкентай шамаларды бейресми түрде пайдаланды. Ол физикалық әлемді түсіндіру үшін математиканы әдістемелік құрал ретінде қолданды. Ньютонның қайта қарастырылған есептеуінің негізі сабақтастық болды; сондықтан ол өз есептеулерін үздіксіз ағып жатқан қозғалыс тұрғысынан қайта анықтады. Ньютон үшін өзгермелі шамалар шексіз кішкентай элементтердің жиынтығы емес, олар қозғалыс туралы даусыз фактімен туындайды. Көптеген еңбектері сияқты, Ньютон жариялауды кейінге қалдырды. «Methodus Fluxionum» 1736 жылға дейін жарияланбады. Ньютон шексіз кішкентай шамаларды пайдаланудан аулақ болу үшін өзгерістің қатынасына негізделген есептеулер жасауға тырысты. «Methodus Fluxionum» еңбегінде ол қалыптасқан өзгерісті флюкция деп анықтады, оны нүктелі әріппен белгіледі, ал қалыптасқан шаманы флюент деп анықтады. Мысалы, егер және флюенттер болса, онда және олардың тиісті флюкциялары болады. Бұл қайта қарастырылған қатынастар есептеуі 1676 жылғы «De Quadratura Curvarum» мәтінінде дамып, жетілді, онда Ньютон бүгінгі туындыны өзгерістің түпкілікті қатынасы ретінде анықтады, оны ол сөз болған сәттегі evanescent өсімдер арасындағы қатынас (флюкциялар қатынасы) деп анықтады. Негізгі қатынас – бұл өсімдердің біржола жойылуындағы қатынас. Маңыздысы, Ньютон соңғы қатынастың бар екенін қозғалысқа сілтеме жасап түсіндірді: «Ақырғы жылдамдық дегеніміз дене соңғы орынға жеткенге дейін емес, қозғалыс тоқтағаннан кейін де емес, бірақ ол келген кездегі сәттегі жылдамдық, жоғалып бара жатқан шамалардың соңғы қатынасы олар жоғалып кетуден бұрын емес, кейін емес, бірақ олар жоғалып кетуімен бірге түсінілуі керек». Ньютон өзінің флюкциялық есептеуін өзінің есептеулерінде шексіз кішкентай шамаларды бейресми пайдаланудан аулақ болу үшін жасады.

Newton completed no definitive publication formalizing his fluxional calculus; rather, many of his mathematical discoveries were transmitted through correspondence, smaller papers or as embedded aspects in his other definitive compilations, such as the Principia and Opticks. Newton would begin his mathematical training as the chosen heir of Isaac Barrow in Cambridge. His aptitude was recognized early and he quickly learned the current theories. By 1664 Newton had made his first important contribution by advancing the binomial theorem, which he had extended to include fractional and negative exponents. Newton succeeded in expanding the applicability of the binomial theorem by applying the algebra of finite quantities in an analysis of infinite series. He showed a willingness to view infinite series not only as approximate devices, but also as alternative forms of expressing a term. Many of Newton's critical insights occurred during the plague years of 1665–1666 which he later described as, "the prime of my age for invention and minded mathematics and [natural] philosophy more than at any time since." It was during his plague induced isolation that the first written conception of fluxionary calculus was recorded in the unpublished De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas. In this paper, Newton determined the area under a curve by first calculating a momentary rate of change and then extrapolating the total area. He began by reasoning about an indefinitely small triangle whose area is a function of x and y. He then reasoned that the infinitesimal increase in the abscissa will create a new formula where 1=x = x + o (importantly, o is the letter, not the digit 0). He then recalculated the area with the aid of the binomial theorem, removed all quantities containing the letter o and re formed an algebraic expression for the area. Significantly, Newton would then "blot out" the quantities containing o because terms "multiplied by it will be nothing in respect to the rest". At this point Newton had begun to realize the central property of inversion. He had created an expression for the area under a curve by considering a momentary increase at a point. In effect, the fundamental theorem of calculus was built into his calculations. While his new formulation offered incredible potential, Newton was well aware of its logical limitations at the time. He admits that "errors are not to be disregarded in mathematics, no matter how small" and that what he had achieved was "shortly explained rather than accurately demonstrated". In an effort to give calculus a more rigorous explication and framework, Newton compiled in 1671 the Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. In this book, Newton's strict empiricism shaped and defined his fluxional calculus. He exploited instantaneous motion and infinitesimals informally. He used math as a methodological tool to explain the physical world. The base of Newton's revised calculus became continuity; as such he redefined his calculations in terms of continual flowing motion. For Newton, variable magnitudes are not aggregates of infinitesimal elements, but are generated by the indisputable fact of motion. As with many of his works, Newton delayed publication. Methodus Fluxionum was not published until 1736. Newton attempted to avoid the use of the infinitesimal by forming calculations based on ratios of changes. In the Methodus Fluxionum he defined the rate of generated change as a fluxion, which he represented by a dotted letter, and the quantity generated he defined as a fluent. For example, if and are fluents, then and are their respective fluxions. This revised calculus of ratios continued to be developed and was maturely stated in the 1676 text De Quadratura Curvarum where Newton came to define the present day derivative as the ultimate ratio of change, which he defined as the ratio between evanescent increments (the ratio of fluxions) purely at the moment in question. Essentially, the ultimate ratio is the ratio as the increments vanish into nothingness. Importantly, Newton explained the existence of the ultimate ratio by appealing to motion;

"For by the ultimate velocity is meant that, with which the body is moved, neither before it arrives at its last place, when the motion ceases nor after but at the very instant when it arrives the ultimate ratio of evanescent quantities is to be understood, the ratio of quantities not before they vanish, not after, but with which they vanish"

Newton developed his fluxional calculus in an attempt to evade the informal use of infinitesimals in his calculations.

Лейбниц

Ньютон өзінің флюкциялық есептеуін 1665–1666 жылдары дамыта бастағанмен, оның нәтижелері кейін ғана кеңінен таралды. Осы аралықта Лейбниц өзінің есептеуін жасауға тырысты. Ньютонмен салыстырғанда, ол математиканы ерте жастан емес, есейген шағында жан-жақты зерттеді. Ол көп салалы ғалым болды, оның зияткерлік қызығушылықтары мен жетістіктері метафизика, құқық, экономика, саясат, логика және математиканы қамтыды. Лейбництің есептеудегі ойлауын түсіну үшін оның білімі мен өмірі ескерілуі керек. Әсіресе, оның ғаламды Монодология ретінде сипаттаған метафизикасы және «ақыл-ойдың барлық шындықтарын есептеу түріне келтіретін жалпы әдіс» құру жоспарлары. 1672 жылы Лейбниц математик Гюйгенспен кездесіп, оны математиканы зерттеуге көп уақыт жұмсауға көндірді. 1673 жылы ол Паскальдің «Шеңбердің төрттен бірін синустары туралы трактатын» оқыды. Лейбниц өзінің көптеп оқып үйренген зерттеулері барысында «жарық жанды» деді. Ньютон сияқты Лейбниц те жанаманы қатынас ретінде қарастырды, бірақ оны ординаталар мен абсциссалар арасындағы қарапайым қатынас деп мәлімдеді. Ол осы ойды дамытып, интегралдың абсциссадағы шексіз кіші аралықтардағы ординаттардың қосындысы екенін, яғни шексіз көп тіктөртбұрыштардың қосындысын көрсетті. Осы анықтамалар бойынша кері қатынас немесе дифференциал анықталды және Лейбниц математиканың жаңа жүйесін құруға болатынын тез түсінді. Ньютон мансабында шексіз кішіліктерді қолданумен қатар бірнеше тәсілдерді пайдаланса, Лейбниц оны өзінің нотациясы мен есептеуінің негізгі тасы етті. 1675 жылдың 25 қазанынан 11 қарашасына дейінгі қолжазбаларында Лейбниц түрлі жазу формаларындағы жаңалықтары мен тәжірибелерін жазды. Ол қолданылған терминдерді жақсы білді және оның нақты логикалық символика құру жоспарлары айқын болды. Соңында, Лейбниц абсциссалар мен ординаттардың шексіз кіші өсімдерін dx және dy арқылы, ал шексіз көп жұқа тіктөртбұрыштардың қосындысын ұзын s (∫) символымен белгіледі, ол қазіргі интеграл символына айналды. Лейбництің нотациясы қазіргі математикада қолданылса да, оның логикалық негізі қазіргісінен өзгеше болды. Лейбниц шексіз кішіліктерді қабылдады және «Паскаль сияқты шексіз кішіні құпияға айналдырмау» үшін көп жазды. Жиль Делеуздің айтуынша, Лейбництің нөлдері «ешнәрсе емес, бірақ абсолютті ештеңе емес, олар тиісінше ештеңе емес» (Лейбництің «Жалпы алгебраның есептеуі арқылы шексіз сандар есептеуін негіздеу» мәтінінен цитата келтіріледі). Басқаша айтқанда, ол оларды «кез келген саннан кіші» деп анықтайды. Лейбниц үшін әлем – шексіз ұсақ нүктелердің жиынтығы еді және олардың бар екендігіне ғылыми дәлелдің болмауы оны мазаламады. Лейбниц үшін шексіз кішіліктер – нақты сандардан өзге типтегі идеалдық шамалар болды. Ұдайылықтың шындығы өмірдің өзімен дәлелденді. Лейбниц үшін Ұдайылық принципі және осылайша оның есептеуінің дұрыстығы қамтамасыз етілді. Лейбництің еңбегінен үш жүз жыл өткен соң, Абрахам Робинсон есептеуде шексіз кіші шамаларды қолдануға берік негіз беруге болатынын көрсетті.

While Newton began development of his fluxional calculus in 1665–1666 his findings did not become widely circulated until later. In the intervening years Leibniz also strove to create his calculus. In comparison to Newton who came to math at an early age, Leibniz began his rigorous math studies with a mature intellect. He was a polymath, and his intellectual interests and achievements involved metaphysics, law, economics, politics, logic, and mathematics. In order to understand Leibniz's reasoning in calculus his background should be kept in mind. Particularly, his metaphysics which described the universe as a Monadology, and his plans of creating a precise formal logic whereby, "a general method in which all truths of the reason would be reduced to a kind of calculation". In 1672, Leibniz met the mathematician Huygens who convinced Leibniz to dedicate significant time to the study of mathematics. By 1673 he had progressed to reading Pascal's Traité des Sinus du Quarte Cercle and it was during his largely autodidactic research that Leibniz said "a light turned on". Like Newton, Leibniz saw the tangent as a ratio but declared it as simply the ratio between ordinates and abscissas. He continued this reasoning to argue that the integral was in fact the sum of the ordinates for infinitesimal intervals in the abscissa; in effect, the sum of an infinite number of rectangles. From these definitions the inverse relationship or differential became clear and Leibniz quickly realized the potential to form a whole new system of mathematics. Where Newton over the course of his career used several approaches in addition to an approach using infinitesimals, Leibniz made this the cornerstone of his notation and calculus. In the manuscripts of 25 October to 11 November 1675, Leibniz recorded his discoveries and experiments with various forms of notation. He was acutely aware of the notational terms used and his earlier plans to form a precise logical symbolism became evident. Eventually, Leibniz denoted the infinitesimal increments of abscissas and ordinates dx and dy, and the summation of infinitely many infinitesimally thin rectangles as a long s (∫ ), which became the present integral symbol
While Leibniz's notation is used by modern mathematics, his logical base was different from our current one. Leibniz embraced infinitesimals and wrote extensively so as, "not to make of the infinitely small a mystery, as had Pascal." According to Gilles Deleuze, Leibniz's zeroes "are nothings, but they are not absolute nothings, they are nothings respectively" (quoting Leibniz' text "Justification of the calculus of infinitesimals by the calculus of ordinary algebra"). Alternatively, he defines them as, "less than any given quantity". For Leibniz, the world was an aggregate of infinitesimal points and the lack of scientific proof for their existence did not trouble him. Infinitesimals to Leibniz were ideal quantities of a different type from appreciable numbers. The truth of continuity was proven by existence itself. For Leibniz the principle of continuity and thus the validity of his calculus was assured. Three hundred years after Leibniz's work, Abraham Robinson showed that using infinitesimal quantities in calculus could be given a solid foundation.

Мұра

Математикадағы ерекше кезең ретінде калькулустың пайда болуы ерекшеленеді. Калькулус – қозғалыс және өзгерістер математикасы, сондықтан оның өнертабысы жаңа математикалық жүйені құруды қажет етті. Ең маңыздысы, Ньютон мен Лейбниц бірдей калькулусты жасаған жоқ және олар қазіргі заманғы калькулусты ойлап тапқан жоқ. Олардың екеуі де өзгермелі шамалармен жұмыс істейтін математикалық жүйе құру процесіне қатысқан болса да, олардың бастауыш негізі әртүрлі болды. Ньютон үшін өзгеріс – уақыт бойынша өзгеретін шама, ал Лейбниц үшін – шексіз жақын мәндер тізбегіндегі айырмашылық. Айта кетейік, әрбір жүйе өзгерісті сипаттау үшін қолданған терминология әртүрлі болды. Тарихи тұрғыдан алғанда, Ньютон немесе Лейбництің бірінші болып «калькулусты» «ойлап тапқаны» туралы көптеген пікірталастар болды. Бұл дау – неміс Лейбниц пен ағылшын Ньютон арасындағы калькулус дауы, еуропалық математикалық қауымдастықты бір ғасырдан астам уақытқа бөліп тастады. Лейбниц өзінің зерттеулерін бірінші болып жариялады; алайда, Ньютон Лейбництен бірнеше жыл бұрын жұмысын бастағаны және Лейбниц бұл мәселеге қызығушылық танытқанға дейін-ақ жанамалар теориясын жасағаны белгілі. Бұл Лейбницке қаншалықты әсер еткені белгісіз. Алғашқы айыптауларды ғасырдың басында екі ғалымның шәкірттері мен жақтастары жасады, бірақ 1711 жылдан кейін олар өзара плагиатта айыпталып, жеке қатысты. Басымдық дауы көп жылдар бойы ағылшын тілінде сөйлейтін математиктерді континенттік Еуропадан бөліп тұрды. Тек 1820 жылдары Аналитикалық қоғамның күш-жігерінің арқасында Лейбництің аналитикалық калькулусы Англияда қабылданды. Бүгінде Ньютон мен Лейбництің екеуіне де калькулустың негіздерін тәуелсіз түрде жасағаны үшін құрмет көрсетіледі. Алайда, жаңа ғылымға бүгінгі таңда белгілі «калькулус» деген атауды берген – Лейбниц. Ньютон оны «ағындар және ағылыстар ғылымы» деп атады. Ньютон мен Лейбництің еңбектері бүгінгі таңда қолданылатын жазуда көрініс тапқан. Ньютон f функциясының туындысы үшін белгісін енгізді. Лейбниц интеграл символын енгізді және функцияның туындысын x айнымалының y ретінде түрлендірді, екеуі де қазірге дейін қолданылуда. Лейбниц пен Ньютоннан бері көптеген математиктер калькулустың дамуына үлес қосты. Инфинитезимальды және интегралды калькулус бойынша алғашқы және ең толық еңбектердің бірі 1748 жылы Мария Гаэтана Агнези жазды.

The rise of calculus stands out as a unique moment in mathematics. Calculus is the mathematics of motion and change, and as such, its invention required the creation of a new mathematical system. Importantly, Newton and Leibniz did not create the same calculus and they did not conceive of modern calculus. While they were both involved in the process of creating a mathematical system to deal with variable quantities their elementary base was different. For Newton, change was a variable quantity over time and for Leibniz it was the difference ranging over a sequence of infinitely close values. Notably, the descriptive terms each system created to describe change was different. Historically, there was much debate over whether it was Newton or Leibniz who first "invented" calculus. This argument, the Leibniz and Newton calculus controversy, involving Leibniz, who was German, and the Englishman Newton, led to a rift in the European mathematical community lasting over a century. Leibniz was the first to publish his investigations; however, it is well established that Newton had started his work several years prior to Leibniz and had already developed a theory of tangents by the time Leibniz became interested in the question. It is not known how much this may have influenced Leibniz. The initial accusations were made by students and supporters of the two great scientists at the turn of the century, but after 1711 both of them became personally involved, accusing each other of plagiarism. The priority dispute had an effect of separating English speaking mathematicians from those in continental Europe for many years. Only in the 1820s, due to the efforts of the Analytical Society, did Leibnizian analytical calculus become accepted in England. Today, both Newton and Leibniz are given credit for independently developing the basics of calculus. It is Leibniz, however, who is credited with giving the new discipline the name it is known by today: "calculus". Newton's name for it was "the science of fluents and fluxions". The work of both Newton and Leibniz is reflected in the notation used today. Newton introduced the notation for the derivative of a function f. Leibniz introduced the symbol for the integral and wrote the derivative of a function y of the variable x as , both of which are still in use. Since the time of Leibniz and Newton, many mathematicians have contributed to the continuing development of calculus. One of the first and most complete works on both infinitesimal and integral calculus was written in 1748 by Maria Gaetana Agnesi.

Өзгерістерді есептеу

Вариациялар есебін Иоганн Бернуллидің (1696) қойған мәселесімен бастауға болады. Ол бірден Якоб Бернуллидің назарын аударды, бірақ Леонард Эйлер бұл пәнды алғаш рет толықтырып дамытты. Оның еңбектері 1733 жылы басталды, ал оның "Elementa Calculi Variationum" еңбегі осы ғылымға атын берді. Жозеф Луи Лагранж теорияға зор үлес қосты, ал Адриен Мари Лежандр (1786) максимумдар мен минимумдарды ажырату үшін толыққанды қанағаттандырмайтын әдіс ұсынды. Бұл ажыратуға Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Денис Пуассон (1831), Михаил Васильевич Остроградский (1834) және Карл Густав Якоб Якоби (1837) да үлес қосты. Маңызды жалпы еңбек – Саррустың (1842) еңбегі, оны Августин Луи Коши (1844) жинақтап, жетілдірді. Штраух (1849), Джеллет (1850), Отто Гессе (1857), Альфред Клебш (1858) және Карлл (1885) басқа да құнды трактаттар мен еңбектер жазды, бірақ бәлкім, ғасырдың ең маңызды жұмысы Карл Вейерштрассқа тиесілі. Оның теория бойынша курсы есептеуді берік және қатаң негізге қойған алғашқы жұмыс деп айтуға болады.

Операциялық әдістер

Антуан Арбогаст (1800) дифференциалдық теңдеуде операция символын сан символынан бөліп қарастырған алғашқы адам болды. Франсуа Жозеф Сервуа (1814) осы мәселе бойынша дұрыс ережелерді алғаш рет ұсынған көрінеді. Чарльз Джеймс Харгрив (1848) осы әдістерді дифференциалдық теңдеулер туралы еңбегінде қолданды, ал Джордж Буль оларды кеңінен пайдаланды. Герман Грасман және Герман Хэнкель теорияны жемісті қолданды, біріншісі теңдеулерді зерттеуде, екіншісі – комплекс сандар теориясында.

Қолданбалар

Физика мен астрономия проблемаларына инфинитезимальды есептеуді қолдану ғылымның пайда болуымен бірге жүрді. XVIII ғасыр бойында осы қолданыстар көбейіп, ғасыр соңында Лаплас пен Лагранж күштерді зерттеудің барлық саласын талдау шеңберіне енгізді. Лагранжқа (1773) динамикаға потенциал теориясын енгізгені тиесілі, бірақ «потенциалдық функция» атауы мен осы тақырыптағы негізгі еңбек Гринге (1827, 1828 жылы жарияланған) қатысты. «Потенциал» атауын Гаусс (1840) берген, ал потенциал мен потенциалдық функция арасындағы айырмашылықты Клаузиус анықтады. Оның дамуымен Лежен Дирихле, Риман, фон Нейман, Хайне, Кронекер, Липшиц, Кристоффель, Кирхгофф, Белтрами және ғасырдың көптеген жетекші физиктерінің есімдері байланысты. Осы мақалада физикалық проблемаларға талдаудың басқа да көптеген қолданыстарын қарастыру мүмкін емес. Олардың ішінде Эйлердің дірілдейтін ішектер туралы зерттеулері; Софи Жерменнің серпімді мембраналар туралы; Пуассон, Ламе, Сен-Венан және Клебш үш өлшемді денелердің серпімділігі туралы; Фурьеның жылу таралуы туралы; Френельдің жарық туралы; Максвелл, Гельмгольц және Герцтің электр туралы; Хансен, Хилл және Гилденнің астрономия туралы; Максвеллдің сфералық гармоникалар туралы; Лорд Рэлейдің акустика туралы; және Лежен Дирихле, Вебер, Кирхгофф, Ф. Нейман, Лорд Кельвин, Клаузиус, Бьеркнес, Маккуллах және Фурманның жалпы физикаға қосқан үлестері бар. Гельмгольцтің еңбектерін ерекше атап өткен жөн, өйткені ол динамика, электр және т.б. теорияларына үлес қосты және өзінің зор талдау қабілетін механиканың негізгі аксиомаларына, сондай-ақ таза математикаға қолданды. Бұдан бөлек, инфинитезимальды есептеу неоклассикалық экономикадан бастап әлеуметтік ғылымдарға енгізілді. Бүгінде ол қазіргі экономиканың құнды құралы болып табылады.