Математический анализ: История и развитие исчисления

Введение

Калькулус, первоначально называемый бесконечно малым исчислением, — это математическая дисциплина, сосредоточенная на пределах, непрерывности, производных, интегралах и бесконечных рядах. Многие элементы исчисления возникли в Древней Греции, затем в Китае и на Ближнем Востоке, а позднее – в средневековой Европе и Индии. Бесконечно малое исчисление было разработано в конце XVII века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем независимо друг от друга. Споры о первенстве привели к полемике между Лейбницем и Ньютоном, которая продолжалась до смерти Лейбница в 1716 году. Развитие исчисления и его применение в науках продолжается и по сей день.

Этимология

В математическом образовании термин "исчисление" обозначает курсы элементарного математического анализа, которые в основном посвящены изучению функций и пределов. Слово "calculus" в переводе с латыни означает "маленький камешек" (уменьшительное от "calx", что означает "камень"), значение которого сохранилось и в медицине. Поскольку такие камешки использовались для отсчета расстояний, подсчета голосов и вычислений на счетах, слово стало означать метод вычислений. В этом значении оно употреблялось в английском языке как минимум с 1672 года, за несколько лет до публикаций Лейбница и Ньютона. Помимо дифференциального и интегрального исчисления, этот термин широко используется для обозначения конкретных методов расчетов. Примеры включают логику высказываний в логике, вариационное исчисление в математике, исчисление процессов в информатике и исчисление полезности в философии.

Египет и Вавилон

В древности были заложены некоторые идеи, приведшие к созданию интегрального исчисления, однако эти идеи, по-видимому, не получили строгого и систематического развития. Вычисления объемов и площадей, одна из задач интегрального исчисления, встречаются в египетском московском папирусе (ок. 1820 г. до н.э.), но формулы приведены лишь для конкретных чисел, некоторые из них верны лишь приблизительно, и они не выводятся посредством дедуктивного мышления. Вавилоняне, возможно, открыли правило трапеций при проведении астрономических наблюдений Юпитера.

Греция

С эпохи греческой математики Эвдокс (ок. 408–355 до н.э.) использовал метод исчерпывания, предвосхищающий понятие предела, для вычисления площадей и объемов, а Архимед (ок. 287–212 до н.э.) развил эту идею, изобретя эвристические методы, напоминающие методы интегрального исчисления. Греческим математикам также приписывают значительное использование бесконечно малых величин. Демокрит был первым, кто серьезно рассмотрел возможность деления объектов на бесконечное число поперечных сечений, но его неспособность согласовать дискретные сечения с гладким наклоном конуса помешала ему принять эту идею. Примерно в то же время Зенон Элейский еще больше дискредитировал бесконечно малые, сформулировав парадоксы, которые они, казалось, порождают. Архимед развил этот метод дальше, а также изобрел эвристические методы, в некоторой степени напоминающие современные концепции, в своих трудах «Квадратура параболы», «Метод» и «О сфере и цилиндре». Однако не следует полагать, что в то время бесконечно малые были поставлены на прочную основу. Греческие математики принимали какое-либо утверждение за истинное только при наличии надлежащего геометрического доказательства. Формализация этого метода как метода неделимых произошла лишь в XVII веке благодаря Кавальери, а затем Ньютон включил его в общую структуру интегрального исчисления. Архимед первым нашел касательную к кривой, отличной от окружности, используя метод, схожий с дифференциальным исчислением. Изучая спираль, он разделил движение точки на две составляющие – радиальное и круговое, а затем суммировал эти две составляющие, тем самым находя касательную к кривой.

Китай

Метод исчерпания был независимо изобретён в Китае Лю Хуэем в IV веке нашей эры для нахождения площади круга. В V веке Цу Чунчжи разработал метод, который впоследствии был назван принципом Кавальери для вычисления объёма сферы.

Ближний Восток

На Ближнем Востоке Хасан Ибн аль-Хайтам, латинизированный как Альхазен (н.э.), вывел формулу для суммы четвёртых степеней. Он использовал полученные результаты для выполнения операции, которую сегодня называют интегрированием, где формулы для сумм интегральных квадратов и четвёртых степеней позволили ему вычислить объём параболоида. Рошди Рашид предположил, что математик XII века Шараф ад-Дин ат-Туси, вероятно, использовал производную кубических многочленов в своём трактате об уравнениях. Этот вывод Рашида был поставлен под сомнение другими исследователями, которые утверждают, что он мог получить свои результаты иными методами, не требующими знания производной функции.

Индия

Существуют свидетельства того, что Бхаскара II был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления. Бхаскара также глубже исследует "дифференциальное исчисление" и предполагает, что дифференциальный коэффициент обращается в ноль в точке экстремума функции, что указывает на знание концепции "бесконечно малых величин". В его работах имеются свидетельства ранней формы теоремы Ролля. Современная формулировка теоремы Ролля гласит: если , то для некоторого , где . В своих астрономических работах Бхаскара приводит результат, который выглядит как предшественник методов бесконечно малых: если , то . Это приводит к производной функции синуса, хотя он и не развил само понятие производной. Некоторые идеи, связанные с исчислением, позже появились в индийской математике, в Керальской школе астрономии и математики. Однако они не объединили множество различных идей под двумя объединяющими темами – производной и интегралом, не установили связь между ними и не превратили исчисление в мощный инструмент решения задач, которым мы располагаем сегодня.

Интегралы

Работа Иоганна Кеплера «Stereometrica Doliorum», опубликованная в 1615 году, заложила основы интегрального исчисления. Кеплер разработал метод вычисления площади эллипса, суммируя длины множества радиусов, проведённых из фокуса эллипса. Важным трудом стал трактат, вдохновлённый методами Кеплера. Ферма также разработал метод определения центров тяжести различных плоских и объёмных фигур, что оказало влияние на дальнейшие исследования в области квадратур.

Деривативы

В 17 веке европейские математики Исаак Барроу, Рене Декарт, Пьер де Ферма, Блез Паскаль, Джон Уоллис и другие обсуждали идею производной. В частности, в трудах "Methodus ad disquirendam maximam et minima" и "De tangentibus linearum curvarum", опубликованных в 1636 году, Ферма ввел понятие адекватности, которое представляло собой равенство с точностью до бесконечно малой погрешности. Этот метод можно было использовать для определения максимумов, минимумов и касательных к различным кривым и был тесно связан с дифференцированием. Исаак Ньютон позже писал, что его собственные ранние идеи об исчислении возникли непосредственно из "способа Ферма построения касательных".

Основная теорема исчисления

Формальное изучение математического анализа объединило бесконечно малые Кавальери с исчислением конечных разностей, разработанным в Европе примерно в то же время, и принципом адекватности Ферма. Это объединение было осуществлено Джоном Уоллисом, Исааком Барроу и Джеймсом Грегори, причем последние два стали предшественниками второй основной теоремы математического анализа, доказав ее около 1670 года. Джеймс Грегори, вдохновленный вкладом Ферма как в теорию касательных, так и в квадратуры, смог доказать частный случай второй основной теоремы математического анализа, утверждающий, что интегралы могут быть вычислены с использованием любой первообразной функции. Первое полное доказательство основной теоремы математического анализа было дано Исааком Барроу.

Другие события

Одним из предварительных условий для создания дифференциального и интегрального исчисления функций вещественной переменной было нахождение первообразной для рациональной функции. Эту задачу можно сформулировать как квадратуру прямоугольной гиперболы xy = 1. В 1647 году Грегуар де Сент-Винсент заметил, что требуемая функция F удовлетворяет соотношению , так что геометрическая прогрессия переходит, при преобразовании функцией F, в арифметическую прогрессию. А. А. де Сараса связал эту особенность с современными алгоритмами, называемыми логарифмами, которые упрощали вычисления, заменяя умножение сложением. Поэтому F впервые была известна как гиперболический логарифм. После того как Эйлер использовал число e = 2.71828, и F была идентифицирована как обратная функция к экспоненциальной функции, она стала называться натуральным логарифмом, удовлетворяющим .

Первое доказательство теоремы Ролля было дано Мишелем Роллем в 1691 году с использованием методов, разработанных голландским математиком Иоганном ван Вавереном Худде. Теорема о среднем значении в ее современной формулировке была сформулирована Бернардом Болцано и Огюстеном Луи Коши (1789–1857) также после основания современного математического анализа. Значительный вклад внесли также Барроу, Гюйгенс и многие другие.

Ньютон и Лейбниц

До Ньютона и Лейбница слово "калькулус" обозначало любую область математики, но в последующие годы "калькулус" стал общепринятым термином для раздела математики, основанного на их открытиях. Ньютон и Лейбниц, опираясь на предшествующие работы, независимо друг от друга разработали теорию дифференциального и интегрального исчисления в конце XVII века. Лейбниц также внес значительный вклад в разработку последовательной и удобной нотации и концепций. Ньютон предоставил наиболее важные применения в физике, особенно в области интегрального исчисления. К середине XVII века европейская математика изменила свой основной источник знаний. В отличие от предыдущего столетия, когда отправной точкой для исследований служила эллинистическая математика, Ньютон, Лейбниц и их современники все больше обращались к трудам более современных мыслителей. Ньютон пришел к исчислению в рамках своих исследований в физике и геометрии, рассматривая его как научное описание возникновения движения и величин. В отличие от него, Лейбниц сосредоточился на задаче о касательной и пришел к выводу, что исчисление представляет собой метафизическое объяснение изменений. Важно отметить, что суть их открытия заключалась в формализации обратных свойств интеграла и дифференциала функции. Это понимание предвосхитили их предшественники, но именно они впервые представили исчисление как систему, в которой были созданы новые риторические и описательные средства.

Ньютон

Ньютон не завершил окончательной публикации, формализующей его флюкциональное исчисление; скорее, многие из его математических открытий были переданы посредством переписки, небольших работ или как встроенные элементы в его других фундаментальных трудах, таких как «Математические начала натуральной философии» и «Оптика». Ньютон начал математическую подготовку в качестве преемника Исаака Барроу в Кембридже. Его способности были признаны рано, и он быстро усвоил современные теории. К 1664 году Ньютон сделал свой первый важный вклад, развив теорему бинома, которую он расширил, включив дробные и отрицательные показатели. Ньютону удалось расширить применимость теоремы бинома, применив алгебру конечных величин в анализе бесконечных рядов. Он проявил готовность рассматривать бесконечные ряды не только как приближенные средства, но и как альтернативные формы представления члена. Многие критические идеи Ньютона возникли в годы чумы 1665–1666 годов, которые он позже описал как «лучшее время моей жизни для изобретений, когда я занимался математикой и [естественной] философией больше, чем когда-либо после». Именно во время его изоляции, вызванной чумой, была записана первая письменная концепция флюкционального исчисления в неопубликованной работе «De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas». В этой работе Ньютон определил площадь под кривой, сначала вычислив мгновенную скорость изменения, а затем экстраполировав общую площадь. Он начал с рассуждений о бесконечно малом треугольнике, площадь которого является функцией x и y. Затем он предположил, что бесконечно малое увеличение абсциссы создаст новую формулу, где 1 = x = x + o (важно, что o – это буква, а не цифра 0). Затем он пересчитал площадь с помощью теоремы бинома, удалил все величины, содержащие букву o, и сформировал алгебраическое выражение для площади. Примечательно, что Ньютон затем «вычеркивал» величины, содержащие o, поскольку члены, «умноженные на него, будут пренебрежимо малы по сравнению с остальными». В этот момент Ньютон начал осознавать центральное свойство обращения. Он создал выражение для площади под кривой, рассматривая мгновенное увеличение в точке. По сути, фундаментальная теорема исчисления была заложена в его вычислениях. Хотя его новая формулировка предлагала огромный потенциал, Ньютон хорошо осознавал ее логические ограничения в то время. Он признает, что «ошибки в математике нельзя игнорировать, какими бы малыми они ни были», и что его достижения были «скорее кратко изложены, чем точно продемонстрированы». В стремлении придать исчислению более строгую формулировку и основу, Ньютон в 1671 году составил «Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum». В этой книге строгий эмпиризм Ньютона сформировал и определил его флюкциональное исчисление. Он неформально использовал мгновенное движение и бесконечно малые величины. Он использовал математику как методологический инструмент для объяснения физического мира. Основой пересмотренного исчисления Ньютона стала непрерывность; таким образом, он переопределил свои вычисления в терминах непрерывного течения движения. Для Ньютона переменные величины не являются агрегатами бесконечно малых элементов, а порождаются неоспоримым фактом движения. Как и многие его работы, Ньютон отложил публикацию. «Methodus Fluxionum» была опубликована только в 1736 году. Ньютон пытался избежать использования бесконечно малых, формируя вычисления на основе соотношений изменений. В «Methodus Fluxionum» он определил скорость генерируемого изменения как флюксию, которую он представлял точкой над буквой, а генерируемую величину – как флюент. Например, если и являются флюентами, то и являются их соответствующими флюксиями. Это пересмотренное исчисление соотношений продолжало развиваться и было зрело сформулировано в тексте 1676 года «De Quadratura Curvarum», где Ньютон пришел к определению современной производной как предельного соотношения изменения, которое он определил как соотношение между исчезающими приращениями (соотношение флюкций) в рассматриваемый момент. По сути, предельное соотношение – это соотношение, когда приращения стремятся к нулю. Важно отметить, что Ньютон объяснил существование предельного соотношения, апеллируя к движению: «Потому что конечная скорость – это та, с которой тело движется, ни до того, как оно достигнет своего последнего места, когда движение прекращается, ни после, а в тот самый момент, когда оно достигает его. Предельное соотношение исчезающих величин следует понимать как соотношение величин не до того, как они исчезнут, не после, а с той скоростью, с которой они исчезают». Ньютон разработал свое флюкциональное исчисление, пытаясь избежать неформального использования бесконечно малых в своих вычислениях.

Newton completed no definitive publication formalizing his fluxional calculus; rather, many of his mathematical discoveries were transmitted through correspondence, smaller papers or as embedded aspects in his other definitive compilations, such as the Principia and Opticks. Newton would begin his mathematical training as the chosen heir of Isaac Barrow in Cambridge. His aptitude was recognized early and he quickly learned the current theories. By 1664 Newton had made his first important contribution by advancing the binomial theorem, which he had extended to include fractional and negative exponents. Newton succeeded in expanding the applicability of the binomial theorem by applying the algebra of finite quantities in an analysis of infinite series. He showed a willingness to view infinite series not only as approximate devices, but also as alternative forms of expressing a term. Many of Newton's critical insights occurred during the plague years of 1665–1666 which he later described as, "the prime of my age for invention and minded mathematics and [natural] philosophy more than at any time since." It was during his plague induced isolation that the first written conception of fluxionary calculus was recorded in the unpublished De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas. In this paper, Newton determined the area under a curve by first calculating a momentary rate of change and then extrapolating the total area. He began by reasoning about an indefinitely small triangle whose area is a function of x and y. He then reasoned that the infinitesimal increase in the abscissa will create a new formula where 1=x = x + o (importantly, o is the letter, not the digit 0). He then recalculated the area with the aid of the binomial theorem, removed all quantities containing the letter o and re formed an algebraic expression for the area. Significantly, Newton would then "blot out" the quantities containing o because terms "multiplied by it will be nothing in respect to the rest". At this point Newton had begun to realize the central property of inversion. He had created an expression for the area under a curve by considering a momentary increase at a point. In effect, the fundamental theorem of calculus was built into his calculations. While his new formulation offered incredible potential, Newton was well aware of its logical limitations at the time. He admits that "errors are not to be disregarded in mathematics, no matter how small" and that what he had achieved was "shortly explained rather than accurately demonstrated". In an effort to give calculus a more rigorous explication and framework, Newton compiled in 1671 the Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. In this book, Newton's strict empiricism shaped and defined his fluxional calculus. He exploited instantaneous motion and infinitesimals informally. He used math as a methodological tool to explain the physical world. The base of Newton's revised calculus became continuity; as such he redefined his calculations in terms of continual flowing motion. For Newton, variable magnitudes are not aggregates of infinitesimal elements, but are generated by the indisputable fact of motion. As with many of his works, Newton delayed publication. Methodus Fluxionum was not published until 1736. Newton attempted to avoid the use of the infinitesimal by forming calculations based on ratios of changes. In the Methodus Fluxionum he defined the rate of generated change as a fluxion, which he represented by a dotted letter, and the quantity generated he defined as a fluent. For example, if and are fluents, then and are their respective fluxions. This revised calculus of ratios continued to be developed and was maturely stated in the 1676 text De Quadratura Curvarum where Newton came to define the present day derivative as the ultimate ratio of change, which he defined as the ratio between evanescent increments (the ratio of fluxions) purely at the moment in question. Essentially, the ultimate ratio is the ratio as the increments vanish into nothingness. Importantly, Newton explained the existence of the ultimate ratio by appealing to motion;

"For by the ultimate velocity is meant that, with which the body is moved, neither before it arrives at its last place, when the motion ceases nor after but at the very instant when it arrives the ultimate ratio of evanescent quantities is to be understood, the ratio of quantities not before they vanish, not after, but with which they vanish"

Newton developed his fluxional calculus in an attempt to evade the informal use of infinitesimals in his calculations.

Лейбниц

Хотя Ньютон начал разработку своего флюкционного исчисления в 1665–1666 годах, его открытия не получили широкой известности до более позднего времени. В эти годы Лейбниц также стремился создать свой анализ. В отличие от Ньютона, который пришел к математике в раннем возрасте, Лейбниц начал серьезно изучать математику, обладая зрелым интеллектом. Он был энциклопедистом, и его интеллектуальные интересы и достижения охватывали метафизику, право, экономику, политику, логику и математику. Чтобы понять ход мыслей Лейбница в исчислении, необходимо учитывать его бэкграунд. В частности, его метафизику, которая описывала вселенную как монадологию, и его планы по созданию точной формальной логики, посредством которой "общий метод, при котором все истины разума были бы сведены к своего рода вычислению". В 1672 году Лейбниц встретился с математиком Гюйгенсом, который убедил его посвятить значительное время изучению математики. К 1673 году он приступил к чтению "Трактата о синусах четверти окружности" Паскаля, и именно во время его преимущественно самостоятельных исследований Лейбниц сказал, что "в его голове зажегся свет". Как и Ньютон, Лейбниц рассматривал тангенс как отношение, но определял его просто как отношение между ординатами и абсциссами. Он продолжил эту логику, утверждая, что интеграл фактически является суммой ординат для бесконечно малых интервалов по абсциссе, то есть суммой бесконечного числа прямоугольников. Из этих определений стала ясна обратная связь или дифференциал, и Лейбниц быстро осознал потенциал для создания совершенно новой математической системы. В то время как Ньютон на протяжении своей карьеры использовал несколько подходов, в дополнение к подходу с использованием бесконечно малых, Лейбниц сделал последний краеугольным камнем своей нотации и исчисления. В рукописях от 25 октября до 11 ноября 1675 года Лейбниц зафиксировал свои открытия и эксперименты с различными формами обозначений. Он хорошо осознавал используемые обозначения и его ранние планы по созданию точного логического символизма стали очевидны. В конечном итоге Лейбниц обозначил бесконечно малые приращения абсциссы и ординаты как dx и dy, а суммирование бесконечного числа бесконечно тонких прямоугольников – как длинную s (∫), которая и стала современным символом интеграла. Хотя современная математика использует обозначения Лейбница, его логическая база отличалась от современной. Лейбниц принимал бесконечно малые и много писал о том, чтобы "не превращать бесконечно малые в тайну, как это сделал Паскаль". По словам Жиля Делёза, нули Лейбница "не есть ничто, но они не являются абсолютным ничто, они ничто относительно" (цитируя текст Лейбница "Обоснование исчисления бесконечно малых посредством исчисления обычной алгебры"). В качестве альтернативы, он определяет их как "меньше любого заданного количества". Для Лейбница мир был агрегатом бесконечно малых точек, и отсутствие научных доказательств их существования его не беспокоило. Бесконечно малые для Лейбница были идеальными величинами, отличными от измеримых чисел. Истина непрерывности была доказана самим существованием. Для Лейбница принцип непрерывности и, следовательно, обоснованность его исчисления были гарантированы. Спустя триста лет после работы Лейбница Авраам Робинсон показал, что использование бесконечно малых величин в исчислении может быть подкреплено прочным фундаментом.

While Newton began development of his fluxional calculus in 1665–1666 his findings did not become widely circulated until later. In the intervening years Leibniz also strove to create his calculus. In comparison to Newton who came to math at an early age, Leibniz began his rigorous math studies with a mature intellect. He was a polymath, and his intellectual interests and achievements involved metaphysics, law, economics, politics, logic, and mathematics. In order to understand Leibniz's reasoning in calculus his background should be kept in mind. Particularly, his metaphysics which described the universe as a Monadology, and his plans of creating a precise formal logic whereby, "a general method in which all truths of the reason would be reduced to a kind of calculation". In 1672, Leibniz met the mathematician Huygens who convinced Leibniz to dedicate significant time to the study of mathematics. By 1673 he had progressed to reading Pascal's Traité des Sinus du Quarte Cercle and it was during his largely autodidactic research that Leibniz said "a light turned on". Like Newton, Leibniz saw the tangent as a ratio but declared it as simply the ratio between ordinates and abscissas. He continued this reasoning to argue that the integral was in fact the sum of the ordinates for infinitesimal intervals in the abscissa; in effect, the sum of an infinite number of rectangles. From these definitions the inverse relationship or differential became clear and Leibniz quickly realized the potential to form a whole new system of mathematics. Where Newton over the course of his career used several approaches in addition to an approach using infinitesimals, Leibniz made this the cornerstone of his notation and calculus. In the manuscripts of 25 October to 11 November 1675, Leibniz recorded his discoveries and experiments with various forms of notation. He was acutely aware of the notational terms used and his earlier plans to form a precise logical symbolism became evident. Eventually, Leibniz denoted the infinitesimal increments of abscissas and ordinates dx and dy, and the summation of infinitely many infinitesimally thin rectangles as a long s (∫ ), which became the present integral symbol
While Leibniz's notation is used by modern mathematics, his logical base was different from our current one. Leibniz embraced infinitesimals and wrote extensively so as, "not to make of the infinitely small a mystery, as had Pascal." According to Gilles Deleuze, Leibniz's zeroes "are nothings, but they are not absolute nothings, they are nothings respectively" (quoting Leibniz' text "Justification of the calculus of infinitesimals by the calculus of ordinary algebra"). Alternatively, he defines them as, "less than any given quantity". For Leibniz, the world was an aggregate of infinitesimal points and the lack of scientific proof for their existence did not trouble him. Infinitesimals to Leibniz were ideal quantities of a different type from appreciable numbers. The truth of continuity was proven by existence itself. For Leibniz the principle of continuity and thus the validity of his calculus was assured. Three hundred years after Leibniz's work, Abraham Robinson showed that using infinitesimal quantities in calculus could be given a solid foundation.

Наследие

Появление математического анализа выделяется как уникальный момент в математике. Математический анализ – это математика движения и изменения, и, как следствие, его изобретение потребовало создания новой математической системы. Важно отметить, что Ньютон и Лейбниц не создали одного и того же исчисления и не представляли себе современный математический анализ. Хотя оба были вовлечены в процесс создания математической системы для работы с переменными величинами, их исходные основы различались. Для Ньютона изменение было переменной величиной во времени, а для Лейбница – разностью, охватывающей последовательность бесконечно близких значений. Примечательно, что описательные термины, созданные каждой системой для описания изменения, были различными. Исторически велись многочисленные споры о том, кто из них – Ньютон или Лейбниц – первым «изобрел» математический анализ. Этот спор, известный как полемика между Лейбницем и Ньютоном, с участием немца Лейбница и англичанина Ньютона, привел к расколу в европейском математическом сообществе, продолжавшемуся более века. Лейбниц первым опубликовал свои исследования; однако, общепризнанно, что Ньютон начал свою работу за несколько лет до Лейбница и уже разработал теорию касательных к тому времени, когда Лейбниц заинтересовался этим вопросом. Неизвестно, в какой степени это могло повлиять на Лейбница. Первоначальные обвинения были выдвинуты студентами и сторонниками двух великих ученых на рубеже веков, но после 1711 года оба они лично включились в полемику, обвиняя друг друга в плагиате. Этот спор о приоритете на протяжении многих лет отделил математиков, говорящих на английском языке, от математиков континентальной Европы. Лишь в 1820-х годах, благодаря усилиям Аналитического общества, аналитическое исчисление Лейбница было принято в Англии. Сегодня и Ньютону, и Лейбницу приписывают независимую разработку основ математического анализа. Однако Лейбницу приписывают присвоение новому направлению науки названия, под которым оно известно сегодня: «математический анализ». Ньютон называл его «наукой о флюентах и флюксиях». Работа и Ньютона, и Лейбница отражена в современной нотации. Ньютон ввел обозначение для производной функции f. Лейбниц ввел символ интеграла и записал производную функции y от переменной x как , оба из которых до сих пор используются. Со времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли вклад в дальнейшее развитие математического анализа. Одной из первых и наиболее полных работ по дифференциальному и интегральному исчислению была написана в 1748 году Марией Гаетеной Агнези.

The rise of calculus stands out as a unique moment in mathematics. Calculus is the mathematics of motion and change, and as such, its invention required the creation of a new mathematical system. Importantly, Newton and Leibniz did not create the same calculus and they did not conceive of modern calculus. While they were both involved in the process of creating a mathematical system to deal with variable quantities their elementary base was different. For Newton, change was a variable quantity over time and for Leibniz it was the difference ranging over a sequence of infinitely close values. Notably, the descriptive terms each system created to describe change was different. Historically, there was much debate over whether it was Newton or Leibniz who first "invented" calculus. This argument, the Leibniz and Newton calculus controversy, involving Leibniz, who was German, and the Englishman Newton, led to a rift in the European mathematical community lasting over a century. Leibniz was the first to publish his investigations; however, it is well established that Newton had started his work several years prior to Leibniz and had already developed a theory of tangents by the time Leibniz became interested in the question. It is not known how much this may have influenced Leibniz. The initial accusations were made by students and supporters of the two great scientists at the turn of the century, but after 1711 both of them became personally involved, accusing each other of plagiarism. The priority dispute had an effect of separating English speaking mathematicians from those in continental Europe for many years. Only in the 1820s, due to the efforts of the Analytical Society, did Leibnizian analytical calculus become accepted in England. Today, both Newton and Leibniz are given credit for independently developing the basics of calculus. It is Leibniz, however, who is credited with giving the new discipline the name it is known by today: "calculus". Newton's name for it was "the science of fluents and fluxions". The work of both Newton and Leibniz is reflected in the notation used today. Newton introduced the notation for the derivative of a function f. Leibniz introduced the symbol for the integral and wrote the derivative of a function y of the variable x as , both of which are still in use. Since the time of Leibniz and Newton, many mathematicians have contributed to the continuing development of calculus. One of the first and most complete works on both infinitesimal and integral calculus was written in 1748 by Maria Gaetana Agnesi.

Расчет вариаций

Можно сказать, что исчисление вариаций берёт своё начало в задаче, предложенной Иоганном Бернулли (1696). Она сразу же привлекла внимание Якоба Бернулли, но Леонард Эйлер первым систематически разработал эту область. Его работы начались в 1733 году, а его «Elementa Calculi Variationum» дало науке её название. Джозеф-Луи Лагранж внес значительный вклад в теорию, а Адриен-Мари Лежандр (1786) предложил метод, не вполне удовлетворительный, для определения максимумов и минимумов. В развитие этого метода внесли вклад Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Денис Пуассон (1831), Михаил Васильевич Остроградский (1834) и Карл Густав Якоб Якоби (1837). Важным общим трудом является работа Сарруса (1842), которая была сокращена и улучшена Августеном Луи Коши (1844). Другие ценные трактаты и мемуары были написаны Штраухом (1849), Джеллетом (1850), Отто Гессе (1857), Альфредом Клебшем (1858) и Карллом (1885), но, возможно, наиболее важной работой века является работа Карла Вейерштрасса. Его курс теории можно считать первым, который заложил прочный и строгий фундамент исчисления.

Методы эксплуатации

Антуан Арбогаст (1800) первым отделил символ операции от символа величины в дифференциальном уравнении. Франсуа Жозеф Сервуа (1814) по-видимому, был первым, кто сформулировал правильные правила в этой области. Чарльз Джеймс Харгрив (1848) применил эти методы в своей работе по дифференциальным уравнениям, а Джордж Буль широко их использовал. Герман Грассман и Герман Хэнкель активно использовали эту теорию: первый – при изучении уравнений, второй – в своей теории комплексных чисел.

Приложения

Применение бесконечно малых вычислений к проблемам физики и астрономии возникло одновременно с зарождением этих наук. На протяжении всего XVIII века эти применения расширялись, пока к его концу Лаплас и Лагранж не включили весь спектр изучения сил в область анализа. Мы обязаны Лагранжу (1773) введением теории потенциала в динамику, хотя название "потенциальная функция" и основополагающие работы по этой теме принадлежат Грин (1827, опубликованы в 1828 году). Название "потенциал" ввел Гаусс (1840), а разграничение между потенциалом и потенциальной функцией – Клаузиус. С развитием этой теории связаны имена Лежона Дирихле, Римана, фон Неймана, Гейне, Кронекера, Липшица, Кристоффеля, Кирхгофа, Белтрами и многих ведущих физиков того столетия. В рамках данной статьи невозможно охватить все многообразие других применений анализа к физическим задачам. Среди них – исследования Эйлера в области колебаний струн; Софи Жермен об упругих мембранах; Пуассона, Ламе, Сен-Венана и Клебша об упругости трехмерных тел; Фурье о распространении тепла; Френеля о свете; Максвелла, Гельмгольца и Герца об электричестве; Хансена, Хилла и Гилдена в астрономии; Максвелла о сферических гармониках; лорда Рэлея об акустике; а также вклад Лежона Дирихле, Вебера, Кирхгофа, Ф. Неймана, лорда Кельвина, Клаузиуса, Бьеркнеса, Маккуллаха и Фурманна в физику в целом. Особого упоминания заслуживают труды Гельмгольца, поскольку он внес вклад в теории динамики, электричества и других областей, и применил свои выдающиеся аналитические способности как к фундаментальным аксиомам механики, так и к задачам чистой математики. Кроме того, бесконечно малые вычисления были внедрены в социальные науки, начиная с неоклассической экономики. В настоящее время это ценный инструмент в современной экономической теории.