Кіріспе
Алгебралық құрылым
Математикада Муфанг циклы – алгебралық құрылымның ерекше түрі. Ол көп жағынан топқа ұқсас, бірақ міндетті түрде коAssociativті болуы керек емес. Муфанг циклдары Smooth Муфанг циклдарымен байланысты алгебраны, Малцев алгебрасын қамтиды, бұл жағынан Lie тобының байланысты Lie алгебрасына ұқсас.
In mathematics, a Moufang loop is a special kind of algebraic structure. It is similar to a group in many ways but need not be associative. Moufang loops were introduced by Smooth Moufang loops have an associated algebra, the Malcev algebra, similar in some ways to how a Lie group has an associated Lie algebra.
Лагранж қасиеттері
Q шекті циклі Лагранж қасиетіне ие деп есептеледі, егер Q-ның кез келген кіші циклінің реті Q-ның ретімен бөлінетін болса. Топтар теориясындағы Лагранж теоремасы, кез келген шекті топтың Лагранж қасиетіне ие екенін айтады. Көп жылдар бойы шекті Муфанг циклдерінің Лагранж қасиеті бар-жоқ деген сұрақ ашық қалды. 2003 жылы Александр Гришков пен Андрей Заварницын, сондай-ақ Стивен Гагола III пен Джонатан Холл бұл мәселені тәуелсіз түрде шешті: кез келген шекті Муфанг циклі Лагранж қасиетіне ие. Соңғы жылдары Стивен Гагола III шекті топтар теориясының көптеген нәтижелерін Муфанг циклдарына жалпылады.
Муфанг квазитоптары
Муфанг теңдеулерінің біреуін қанағаттандыратын кез келген квазитоптың, шындығында, бірлік элементі болуы керек, сондықтан ол Муфанг циклы болады. Біз үшінші теңдеуді дәлелдейміз: a – Q квазитопының кез келген элементі болсын, ал e – ae = a шартын қанағаттандыратын бірегей элемент болсын. Q-дағы кез келген x үшін (xa)x = (x(ae))x = (xa)(ex). Сол жақтағы xa-ны қысқарту x = ex береді, сондықтан e – сол жақтан бірлік элемент. Q-дағы кез келген y үшін ye = (ey)(ee) = (e(ye))e = (ye)e. Оң жақтағы e-ді қысқарту y = ye береді, сондықтан e – оң жақтан да бірлік элемент. Демек, e – екі жақты бірлік элемент. Алғашқы екі теңдеуді дәлелдеу біршама қиын (Kunen 1996).
Let a be any element of Q, and let e be the unique element such that ae = a. Then for any x in Q, (xa)x = (x(ae))x = (xa)(ex). Cancelling xa on the left gives x = ex so that e is a left identity element. Now for any y in Q, ye = (ey)(ee) =(e(ye))e = (ye)e.
Cancelling e on the right gives y = ye, so e is also a right identity element. Therefore, e is a two sided identity element. The proofs for the first two identities are somewhat more difficult (Kunen 1996).