Введение
Алгебраическая структура
В математике, петля Муфанга — это особый вид алгебраической структуры. Она во многом похожа на группу, но не обязана быть ассоциативной. Петли Муфанга были введены. Гладкие петли Муфанга имеют ассоциированную алгебру, алгебру Мальцева, которая в некотором смысле аналогична тому, как группа Ли имеет ассоциированную алгебру Ли.
In mathematics, a Moufang loop is a special kind of algebraic structure. It is similar to a group in many ways but need not be associative. Moufang loops were introduced by Smooth Moufang loops have an associated algebra, the Malcev algebra, similar in some ways to how a Lie group has an associated Lie algebra.
Свойство Лагранжа
Определенная петля Q называется обладающей свойством Лагранжа, если порядок каждой подпетли Q делит порядок Q. Теорема Лагранжа в теории групп утверждает, что каждая конечная группа обладает свойством Лагранжа. На протяжении многих лет оставался открытым вопрос о том, обладают ли конечные петли Муфанга свойством Лагранжа. В 2003 году этот вопрос был окончательно решен Александром Гришковым и Андреем Заварницыным, а также независимо Стивеном Гаголой III и Джонатаном Холлом: любая конечная петля Муфанга обладает свойством Лагранжа. В последние годы Стивен Гагола III обобщил на петли Муфанга ряд результатов из теории конечных групп.
Квазигруппы муфанг
Любая квазигруппа, удовлетворяющая одному из тождеств Муфанга, на самом деле должна иметь единичный элемент и, следовательно, быть петлей Муфанга. Мы приводим здесь доказательство для третьего тождества: пусть a – любой элемент Q, и пусть e – единственный элемент, такой что ae = a. Тогда для любого x из Q, (xa)x = (x(ae))x = (xa)(ex). Сокращая xa слева, получаем x = ex, то есть e является левым единичным элементом. Теперь для любого y из Q, ye = (ey)(ee) = (e(ye))e = (ye)e. Сокращая e справа, получаем y = ye, то есть e также является правым единичным элементом. Следовательно, e является двусторонним единичным элементом. Доказательства первых двух тождеств несколько сложнее (Kunen 1996).
Let a be any element of Q, and let e be the unique element such that ae = a. Then for any x in Q, (xa)x = (x(ae))x = (xa)(ex). Cancelling xa on the left gives x = ex so that e is a left identity element. Now for any y in Q, ye = (ey)(ee) =(e(ye))e = (ye)e.
Cancelling e on the right gives y = ye, so e is also a right identity element. Therefore, e is a two sided identity element. The proofs for the first two identities are somewhat more difficult (Kunen 1996).