Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Векторлардың орнына нүктелермен анықталатын координаттар жүйесі
Coordinate system that is defined by points instead of vectors
Геометрияда барицентрлік координаттар жүйесі – нүктенің орналасуы симплексқа (жазықтықтағы нүктелер үшін үшбұрыш, үш өлшемді кеңістіктегі нүктелер үшін төртбұрышты пирамида және т.б.) қатысты анықталатын координаттар жүйесі. Нүктенің барицентрлік координаттарын симплекстің төбелеріне қойылған массалар ретінде қарастыруға болады, сонда нүкте осы массалардың массалық орталығы (немесе барицентрі) болады. Бұл массалар нөл немесе теріс болуы мүмкін; нүкте симплекстің ішінде болса ғана олар оң болады. Кез келген нүктенің барицентрлік координаттары болады, олардың қосындысы ешқашан нөлге тең болмайды. Барицентрлік координаттардың екі жиыны бірдей нүктені анықтайды, егер олар пропорционал болса ғана; яғни, бір жиынды екінші жиынның элементтерін нөлден өзге санға көбейту арқылы алуға болады. Сондықтан, барицентрлік координаттар нөлден өзге тұрақтыға көбейтуге дейін анықталады немесе бірлікке нормалдалады. Барицентрлік координаттарды 1827 жылы Август Мёбиус енгізген. Олар ерекше біртекті координаттар. Барицентрлік координаттар декарттік координаттармен және, жалпы алғанда, аффиндік координаттармен тығыз байланысты (қараңыз). Барицентрлік координаттар үшбұрыш геометриясында үшбұрыштың бұрыштарына тәуелді емес қасиеттерді зерттеу үшін өте пайдалы, мысалы, Сева теоремасы, Рут теоремасы және Менелай теоремасы. Компьютерлік дизайн саласында олар кейбір Безиер беттерін анықтау үшін қолданылады.
In geometry, a barycentric coordinate system is a coordinate system in which the location of a point is specified by reference to a simplex (a triangle for points in a plane, a tetrahedron for points in three dimensional space, etc.). The barycentric coordinates of a point can be interpreted as masses placed at the vertices of the simplex, such that the point is the center of mass (or barycenter) of these masses. These masses can be zero or negative; they are all positive if and only if the point is inside the simplex. Every point has barycentric coordinates, and their sum is never zero. Two tuples of barycentric coordinates specify the same point if and only if they are proportional; that is to say, if one tuple can be obtained by multiplying the elements of the other tuple by the same non zero number. Therefore, barycentric coordinates are either considered to be defined up to multiplication by a nonzero constant, or normalized for summing to unity. Barycentric coordinates were introduced by August Möbius in 1827. They are special homogenous coordinates. Barycentric coordinates are strongly related with Cartesian coordinates and, more generally, to affine coordinates (see ). Barycentric coordinates are particularly useful in triangle geometry for studying properties that do not depend on the angles of the triangle, such as Ceva's theorem, Routh's theorem, and Menelaus's theorem. In computer aided design, they are useful for defining some kinds of Bézier surfaces.
Бағаналық көзқарас
Картезиандық координаттардан барицентрикалық координаттарға түрлендіруді шешудің тағы бір жолы – матрицалық түрінде қатынасты жазу, яғни . Бірегей нормаланған шешімді алу үшін біз шартты қосуымыз керек. Барицентрикалық координаттар осылайша сызықтық жүйенің шешімі болып табылады: мұндағы – үшбұрыштың белгілі бір таңбасымен алынған екі еселенген ауданы. Барицентрикалық координаттардың аудандық интерпретациясын осы сызықтық жүйеге Креймер ережесін қолдану арқылы қайта қалпына келтіруге болады.
Another way to solve the conversion from Cartesian to barycentric coordinates is to write the relation in the matrix form with and i. e. To get the unique normalized solution we need to add the condition The barycentric coordinates are thus the solution of the linear systemwhich iswhere is twice the signed area of the triangle. The area interpretation of the barycentric coordinates can be recovered by applying Cramer's rule to this linear system.
Барицентрикалық және трилинейлік координаттардың түрленуі
x:y:z трилинейлік координаттары бар нүктенің барицентрлік координаттары ax:by:cz болады, мұнда a, b, c – үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары. Керісінше, барицентрлік координаттары берілген нүктенің трилинейлік координаттары болады.
A point with trilinear coordinates x : y : z has barycentric coordinates ax : by : cz where a, b, c are the side lengths of the triangle. Conversely, a point with barycentrics has trilinears
Абстракция
Кейіннен, жалпыланған барицентрлік координаттар n төбесі бар, өлшемге қарамастан, көпбұрышты көпбұрышты стандартты симплекстің бейнесі ретінде көрсетеді – бұл бейнелеу толық: Егер көпбұрыш симплекс болса, онда бейнелеу бірегей болады, бұл жағдайда бейнелеу изоморфизм болып табылады; бұл P симплекс болғанда ғана нүктенің бірегей жалпыланған барицентрлік координаттары болмайды. Жалпыланған барицентрлік координаттарға қарама-қарсы бос айнымалылар, олар нүктенің сызықтық шектеулерді қаншалықты орындалатынын өлшейді және f беттерінің санына (төбелерге қарама-қарсы) f-ортантқа енгізеді. Бұл бейнелеу бірегей (бос айнымалылар бірегей түрде анықталады), бірақ толық емес (барлық комбинацияларды жүзеге асыру мүмкін емес). Стандартты симплекс пен f-ортантты көпбұрышқа бейнелейтін немесе көпбұрышқа енгізілетін стандартты нысандар ретінде пайдалануды векторлық кеңістіктер үшін стандартты нысан ретінде стандартты векторлық кеңістікпен және аффиндік кеңістіктер үшін стандартты нысан ретінде стандартты аффиндік гипержазықтықпен салыстыру керек, мұнда әрбір жағдайда сызықтық немесе аффиндік базаны таңдау изоморфизмді қамтамасыз етеді, барлық векторлық және аффиндік кеңістіктерді осы стандартты кеңістіктер тұрғысынан қарастыруға мүмкіндік береді (барлық көпбұрыштар симплекс емес). Сонымен қатар, n-ортант конустарға бейнелейтін стандартты нысан болып табылады.
More abstractly, generalized barycentric coordinates express a convex polytope with n vertices, regardless of dimension, as the image of the standard simplex, which has n vertices – the map is onto: The map is one to one if and only if the polytope is a simplex, in which case the map is an isomorphism; this corresponds to a point not having unique generalized barycentric coordinates except when P is a simplex. Dual to generalized barycentric coordinates are slack variables, which measure by how much margin a point satisfies the linear constraints, and gives an embedding into the f orthant, where f is the number of faces (dual to the vertices). This map is one to one (slack variables are uniquely determined) but not onto (not all combinations can be realized). This use of the standard simplex and f orthant as standard objects that map to a polytope or that a polytope maps into should be contrasted with the use of the standard vector space as the standard object for vector spaces, and the standard affine hyperplane as the standard object for affine spaces, where in each case choosing a linear basis or affine basis provides an isomorphism, allowing all vector spaces and affine spaces to be thought of in terms of these standard spaces, rather than an onto or one to one map (not every polytope is a simplex). Further, the n orthant is the standard object that maps to cones.
Қолданбалар
Жалпыланған барицентрикалық координаттар компьютерлік графикада және әсіресе геометриялық модельдеуде қолданылады. Көп жағдайда үш өлшемді модельді көпжақпен жуықтауға болады, сонда осы көпжаққа қатысты жалпыланған барицентрикалық координаттар геометриялық мағынаға ие болады. Осылайша, осы мағыналы координаттарды пайдалану арқылы модельді өңдеуді жеңілдетуге болады. Барицентрикалық координаттар геофизика саласында да қолданылады.
Generalized barycentric coordinates have applications in computer graphics and more specifically in geometric modelling. Often, a three dimensional model can be approximated by a polyhedron such that the generalized barycentric coordinates with respect to that polyhedron have a geometric meaning. In this way, the processing of the model can be simplified by using these meaningful coordinates. Barycentric coordinates are also used in geophysics.