Введение

Координатная система, определяемая точками, а не векторами.

В геометрии барицентрическая система координат — это система координат, в которой положение точки задается относительно симплекса (треугольника для точек на плоскости, тетраэдра для точек в трехмерном пространстве и т. д.). Барицентрические координаты точки можно интерпретировать как массы, расположенные в вершинах симплекса, так что точка является центром масс (или барицентром) этих масс. Эти массы могут быть нулевыми или отрицательными; все они положительны тогда и только тогда, когда точка находится внутри симплекса. Каждая точка имеет барицентрические координаты, и их сумма никогда не равна нулю. Две упорядоченные группы барицентрических координат задают одну и ту же точку, если и только если они пропорциональны, то есть если одна группа может быть получена умножением элементов другой группы на одно и то же ненулевое число. Поэтому барицентрические координаты либо рассматриваются как определенные с точностью до умножения на ненулевую константу, либо нормализуются так, чтобы их сумма равнялась единице. Барицентрические координаты были введены Августом Мёбиусом в 1827 году. Это частный случай однородных координат. Барицентрические координаты тесно связаны с декартовыми координатами и, в более общем смысле, с аффинными координатами (см.). Барицентрические координаты особенно полезны в геометрии треугольника для изучения свойств, не зависящих от углов треугольника, таких как теорема Чевы, теорема Рута и теорема Менелая. В системах автоматизированного проектирования они полезны для определения некоторых типов поверхностей Безье.

Вертикальный подход

Другой способ решения преобразования из декартовых в барицентрические координаты — записать это соотношение в матричном виде с и, то есть. Чтобы получить единственное нормализованное решение, необходимо добавить условие. Таким образом, барицентрические координаты являются решением линейной системы, где — это удвоенная знаковая площадь треугольника. Площадная интерпретация барицентрических координат может быть получена путем применения правила Крамера к этой линейной системе.

Перевод между барицентрическими и трилинейными координатами

Точка с трилинейными координатами x : y : z имеет барицентрические координаты ax : by : cz, где a, b, c – длины сторон треугольника. Обратно, точка с барицентрическими координатами имеет трилинейные координаты x : y : z.

Абстракция

Более абстрактно, обобщённые барицентрические координаты выражают выпуклый политоп с n вершинами, независимо от размерности, как образ стандартного симплекса, который также имеет n вершин – отображение является сюръективным (onto). Отображение является биективным (один к одному) тогда и только тогда, когда политоп является симплексом, в этом случае отображение является изоморфизмом; это соответствует тому, что точка не имеет уникальных обобщённых барицентрических координат, за исключением случая, когда P является симплексом. Двойственными к обобщённым барицентрическим координатам являются переменные слабины, которые измеряют степень выполнения точки линейных ограничений и обеспечивают вложение в f-ортант, где f – число граней (двойственных к вершинам). Это отображение биективно (переменные слабины определяются однозначно), но не сюръективно (не все комбинации могут быть реализованы). Использование стандартного симплекса и f-ортанта в качестве стандартных объектов, отображаемых на политоп или в которые политоп отображается, следует противопоставить использованию стандартного векторного пространства в качестве стандартного объекта для векторных пространств и стандартной аффинной гиперплоскости в качестве стандартного объекта для аффинных пространств, где в каждом случае выбор линейного базиса или аффинного базиса обеспечивает изоморфизм, позволяя рассматривать все векторные и аффинные пространства с точки зрения этих стандартных пространств, а не сюръективное или биективное отображение (не каждый политоп является симплексом). Кроме того, n-ортант является стандартным объектом, отображаемым на конусы.

Приложения

Обобщенные барицентрические координаты находят применение в компьютерной графике и, в частности, в геометрическом моделировании. Зачастую трехмерную модель можно аппроксимировать полиэдром, при этом обобщенные барицентрические координаты относительно этого полиэдра приобретают геометрический смысл. Это позволяет упростить обработку модели, используя эти осмысленные координаты. Барицентрические координаты также применяются в геофизике.