Кіріспе

Арифметикалық амал

Қосу (әдетте плюс белгісімен белгіленеді) – арифметиканың төрт негізгі амалының бірі, ал қалған үшеуі – алу, көбейту және бөлу. Екі толық санды қосу нәтижесінде осы мәндердің жалпы саны немесе қосындысы шығады. Жанындағы суретте үш алмадан және әрқайсысы екі алмадан тұратын екі баған көрсетілген, барлығы бес алма. Бұл байқау математикалық өрнекпен 3 + 2 = 5 (яғни "үш плюс екі беске тең") тең келеді. Заттарды санаудан басқа, қосуды нақты объектілерге сілтеме жасамай, оның орнына бүтін сандар, нақты сандар және кешенді сандар сияқты абстракцияларды қолдана отырып анықтауға және орындауға болады. Қосу – математиканың бір саласы, арифметикаға жатады. Алгебрада, математиканың тағы бір саласында, қосу векторлар, матрицалар, кіші кеңістіктер және кіші топтар сияқты абстракт объектілерде де орындалуы мүмкін. Қосудың бірнеше маңызды қасиеттері бар. Ол коммутативті, яғни қосылғыштардың реті маңызды емес, және ассоциативті, яғни екіден астам санды қосқанда, қосудың орындалу реті маңызды емес. Бір санды қайта-қайта қосу санаумен бірдей (Successor функциясын қараңыз). Кез келген санды қосу оны өзгерте алмайды. Қосу сондай-ақ, алу және көбейту сияқты байланысты амалдарға қатысты болжамды ережелерге де бағынады. Қосу – ең қарапайым сандық амалдардың бірі. Кішкентай сандарды қосу нәрестелерге де қолжетімді; ең қарапайым амал, 1 + 1, бес айлық сәбилер және тіпті басқа жануарлардың кейбір түрлері орындай алады. Бастауыш білім беруде оқушылар ондық жүйеде сандарды қосуды үйренеді, бір таңбалы сандардан бастап, күрделірек есептерге көшеді. Механикалық құралдар ежелгі санау тақтасынан (абак) бастап қазіргі заманғы компьютерге дейін, қосудың ең тиімді әдістерін зерттеу осы күнгә дейін жалғасуда.

Шарттары

Жалпы қосуда қосылатын сандар немесе объектілер жиынтық түрде терминдер, қосылғыштар немесе қосылатындар деп аталады; бұл терминология көптеген терминдерді қосуға да қатысты. Бұл көбейтілетін көбейткіштерден ерекшеленеді. Кейбір авторлар бірінші қосылатынды аугенд деп атайды. Жоғарыда аталған терминдердің барлығы латын тілінен алынған. "Addition" және "add" сөздері ағылшын тіліндегі сөздер, олар латын тіліндегі addere етістігінен шыққан, ол өз кезегінде "ad" ("қа") және "dare" ("беру") сөздерінің құрамынан пайда болған, ал олардың түбірі прото-үнді-еуропалық тілде "беру" дегенді білдіреді; демек, қосу – берумен байланысты. Сондай-ақ, augere ("ұлғайту") сөзінен "augend" ("ұлғайтылатын нәрсе") сөзі туындайды. "Sum" және "summand" сөздері латын тіліндегі summa ("ең жоғары, шыңы") және оған байланысты summare етістігінен алынған. Бұл орынды, себебі екі оң санның қосындысы олардың екеуінен де үлкен, сонымен қатар ежелгі гректер мен римдіктердің жоғары қарай қосу әдеті, қазіргі заманғы төмен қарай қосу практикасына кері, сондықтан қосынды әдепкі қосылатындардан жоғары болған. Addere және summare кем дегенде Боэцийге дейін, тіпті Витрувий мен Фронтин сияқты ертерек рим авторларына дейін жетеді; Боэций қосу операциясы үшін тағы да бірнеше терминдерді қолданған. Кейінгі орта ағылшын тіліндегі "adden" және "adding" терминдерін Чаусер танымал етті. "+" белгісі (Unicode:U+002B; ASCII: +) латын сөзі "et" ("және") сөзінің қысқартылған түрі болып табылады. Бұл белгі кем дегенде 1489 жылға дейін математикалық еңбектерде кездеседі.

Түсіндірме

Қосу көптеген физикалық процестерді модельдеуге қолданылады. Тіпті жай ғана натурал сандарды қосудың өзінде көптеген мүмкін түсіндірулер мен одан да көп көрінетін бейнелеулер бар.

Коммутативтілік

Қосу амалы коммутативті, яғни қосылғыштардың орнын ауыстырғанның өзінде, нәтиже өзгермейді. Символдық түрде, егер a және b кез келген екі сан болса, онда a + b = b + a. Қосудың коммутативті болуы "қосудың коммутативтік заңы" немесе "қосудың коммутативтік қасиеті" деп аталады. Көбейту сияқты кейбір басқа бинарлық амалдар да коммутативті, бірақ алу және бөлу сияқты көптеген амалдар коммутативті емес.

Қауымдастық

Қосу ассоциативті, яғни үш немесе одан көп санды қоссақ, операциялардың реті нәтижесін өзгерте алмайды. Мысалы, a + b + c өрнегі (a + b) + c ретінде немесе a + (b + c) ретінде анықталса, қандай маңызы бар? Қосу ассоциативті екендігіне байланысты, анықтаманы қалай таңдаудың маңызы жоқ. Кез келген үш сан a, b және c үшін, (a + b) + c = a + (b + c) теңдігі орындалады. Мысалы, (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6. Қосу басқа операциялармен бірге қолданылғанда, операциялардың реті маңызды бола бастайды. Операциялардың қалыпты реті бойынша, қосу дәрежелеу, n-ші дәрежеден шығару, көбейту және бөлуден төмен дәрежеде тұрады, бірақ азайтумен бірдей дәрежеде қарастырылады.

Жекелік элементі

Кез келген санға нөлді қосса, сан өзгермейді; яғни нөл қосу амалының сәйкестік элементі болып табылады және қосу сәйкестігі деп те аталады. Белгілермен айтқанда, кез келген a үшін 1=a + 0 = 0 + a = a теңдігі орындалады. Бұл заң алғаш рет 628 жылы Брахмагуптаның «Брахмасфутасиддханта» еңбегінде айқындалған, бірақ ол оны a саны теріс, оң немесе нөл болатын жағдайларға қарай үш жеке заң ретінде келтірген, сондай-ақ алгебралық белгілердің орнына сөздерді пайдаланған. Кейіннен үнді математиктері бұл тұжырымды дамытты; шамамен 830 жылы Махавира «нөл оған қосылған санды өзгерте алмайды» деп жазды, бұл 1=0 + a = a деген бірлік теңдігімен сәйкес келеді. 12 ғасырда Бхаскара «цифрді қосу немесе одан алу санды, оң немесе теріс болсын, өзгерте алмайды» деп жазды, бұл да 1=a + 0 = a деген бірлік теңдігімен сәйкес келеді.

Орынбасары

Бүкіл сандар контекстінде, бірді қосу да ерекше рөл атқарады: кез келген a бүтін саны үшін (a + 1) саны a-дан үлкен ең кіші бүтін сан болып табылады, және ол a-ның ізбасары деп аталады. Мысалы, 3 – 2-нің, ал 7 – 6-ның ізбасары. Осы ізбасарлықтың арқасында a + b мәні a-ның b-інші ізбасары ретінде де қарастырылуы мүмкін, бұл қосуды қайталама ізбасарлық етеді. Мысалы, 6 + 2 = 8, себебі 8 – 7-нің ізбасары, ал 7 – 6-ның ізбасары, демек 8 – 6-ның екінші ізбасары.

Бірліктер

Физикалық шамаларды сандық түрде бірліктермен қосу үшін оларды бірдей бірліктерде көрсету қажет. Мысалы, 50 миллилитрді 150 миллилитрге қосқанда 200 миллилитр шығады. Дегенмен, егер 5 футты 2 дюймге арттырсақ, қосындысы 62 дюймды құрайды, себебі 60 дюйм 5 футқа баламалы. Ал 3 метр мен 4 шаршы метрді қосу әдетте мағынасыз, өйткені бұл бірліктер салыстырылмайды; мұндай мәселелер өлшемдік талдаудың негізгі принципі болып табылады.

Туған қабілет

1980 жылдардан бастап математикалық даму туралы зерттеулер дағдылану құбылысын пайдаланды: нәрестелер күтпеген жағдайларды ұзаққа дейін қарап тұрады. 1992 жылы Карен Уинн жасаған, экран артында манипуляцияланған Микки-Маус қуыршақтарын қолданған тәжірибеде бес айлық нәрестелер 1 + 1 = 2 болатынын күтеді және физикалық жағдай 1 + 1 = 1 немесе 3 екенін көргенде салыстырмалы түрде таңғалады. Бұл тұжырым әртүрлі зертханаларда әртүрлі әдістемелерді қолдана отырып, көп рет расталды. Тағы бір 1992 жылғы тәжірибеде 18 мен 35 ай аралығындағы үлкен балалардың моторлық бақылау дамуы пайдаланылды, оларға қораптан пинг-понг доптарын алуға мүмкіндік берілді; ең кішілері кішкентай сандарға жақсы жауап берді, ал үлкендері 5-ке дейінгі қосындыларды есептей алды. Тіпті кейбір жануарлар, әсіресе приматтар, қосуға шектеулі қабілет көрсетеді. 1995 жылы Уинннің 1992 жылғы нәтижесін қайталайтын (бірақ қуыршақтардың орнына баклажан қолданған) тәжірибеде резус макакалары мен мамықтай тамарин маймылдары адам баласына ұқсас нәтижелер көрсетті. Көбірек қызықтырған жайт, бір шимпанзеге араб цифрларының 0-ден 4-ке дейінгі мәнін үйреткеннен кейін, ол қосымша оқытусыз екі цифрдың қосындысын есептей алды. Соңғы кезде Азия пілдері негізгі арифметикалық амалдарды орындай алатынын көрсетті.

Балалық шақтағы білім

Әдетте балалар алдымен санауды меңгеріп алады. Екі және үш затты біріктіруді талап ететін есеп берілген кезде, кішкентай балалар жағдайды физикалық заттармен, көбінесе саусақтарымен немесе сурет арқылы бейнелейді, содан кейін барлығын санайды. Тәжірибе жинаған сайын, олар «санауды жалғастыру» стратегиясын үйренеді немесе табады: екіге үш қосуды сұрағанда, балалар екіден кейін үш санайды, «үш, төрт, бес» дейді (әдетте саусақтарын бүгіп), соның нәтижесінде бес алады. Бұл стратегия дерлік барлық жерде кездеседі; балалар оны әріптестерінен немесе ұстаздарынан оңай үйрене алады. Көпшілігі оны өздігінен ашады. Қосымша тәжірибемен, балалар қосудың ауыстыру қасиетін пайдаланып, үлкен саннан санау арқылы жылдамырақ қосуды үйренеді, мысалы, үштен бастап «төрт, бес» деп санау арқылы. Соңында балалар белгілі бір қосу фактілерін («сандардың байланысын») тәжірибе немесе жаттап алу арқылы еске ала бастайды. Кейбір фактілер жадына сіңгеннен кейін, балалар белгісіз фактілерді белгілі фактілерден шығара бастайды. Мысалы, балаға алты мен жетіні қосуды сұрағанда, ол 6 + 6 = 12 екенін біледі де, 6 + 7 бірге қосылғанда 13 болатынын ойлайды. Мұндай шығарылған фактілерді өте жылдам табуға болады және көптеген бастауыш сынып оқушылары ағылшынша сөйлей алу үшін жатталған және шығарылған фактілердің қосындысын пайдаланады. Әртүрлі елдер бүтін сандар мен арифметиканы әртүрлі жаста енгізеді, көптеген елдер мектепке дейінгі білім беруде қосуды оқытады. Дегенмен, бүкіл әлемде қосу бастауыш мектептің бірінші сыныбының соңында оқытылады.

Ондық жүйе

Ондық жүйеде қосудың алғышарты – 100 бір таңбалы "қосу фактілерін" еркін еске түсіру немесе есептеп табу. Барлық фактілерді жатқа айтуға болады, бірақ үлгілерге негізделген стратегиялар көбірек түсінік береді және көптеген адамдар үшін тиімдірек: Коммутативтік қасиет: Жоғарыда айтылғандай, a + b = b + a үлгісін пайдалану "қосу фактілерінің" санын 100-ден 55-ке дейін азайтады. Бір-екі қосымша тәсіл: 1 немесе 2 қосу – бұл қарапайым тапсырма, оны санау арқылы немесе соңында сезім арқылы орындауға болады. Басқа стратегия сол жақтағы ең үлкен разрядтан қосуды бастайды; бұл тәсілмен қарызға алу сәл қиынға соғады, бірақ қосындының жуық шамасын жылдам анықтауға мүмкіндік береді. Көптеген балама әдістер бар. 20-шы ғасырдың соңынан бастап, АҚШ-тың кейбір бағдарламалары, соның ішінде TERC, дәстүрлі ауыстыру әдісін оқу жоспарынан алып тастауға шешім қабылдады. Бұл шешімге қарсылық білдірілді, сондықтан кейбір штаттар мен округтер бұл тәжірибеге қолдау көрсетпеді.

Сандарды қосу

Қосудың қалыпты қасиеттерін дәлелдеу үшін, ең алдымен, қарастырылып отырған жағдайға сәйкес қосуды анықтау қажет. Қосу алдымен натурал сандар үшін анықталады. Жиын теориясында қосу, натурал сандарды қамтитын, одан әрі үлкен жиындарға: бүтін сандарға, рационал сандарға және нақты сандарға қарай кеңейтіледі. (Математика оқытуда оң бөлшектер теріс сандар туралы ойлаудың алдында қосылады; бұл сондай-ақ тарихи жол.)

Күрделі сандар

Күрделі сандар қосылғанда, қосылғыштардың нақты және жолғары бөліктері қосылады. Яғни:

Күрделі жазықтықта күрделі сандарды бейнелеу арқылы, қосудың геометриялық мағынасы мынадай: екі күрделі сан A және B, күрделі жазықтықтағы нүктелер ретінде қарастырылса, олардың қосындысы – O, A және B нүктелері үш төбесі болатын параллелограммды салу арқылы алынатын X нүктесі болады. Басқаша айтқанда, X нүктесі – O, A, B және B, A нүктелері төбелері болатын сәйкес үшбұрыштардың тең келетін нүктесі.

Жалпылау

Нақты сандардағы қосу операциясының жалпылама нұсқалары ретінде қарастырылатын көптеген бинарлық операциялар бар. Абстракт алгебра саласы мұндай жалпыланған операциялармен тікелей айналысады, және олар жиын теориясы мен категория теориясында да кездеседі.

Векторлар

Сызықтық алгебрада векторлық кеңістік – кез келген екі векторды қосуға және векторларды масштабтауға мүмкіндік беретін алгебралық құрылым. Көрінетін векторлық кеңістік – нақты сандардың барлық реттелген жұптарының жиынтығы; реттелген жұп (a,b) Евклид жазықтығындағы бастапқы нүктеден (a,b) нүктесіне дейінгі вектор ретінде қарастырылады. Екі вектордың қосындысы олардың сәйкес координаттарын қосу арқылы есептеледі:

Бұл қосу амалы классикалық механикада маңызды рөл атқарады, онда жылдамдықтар, үдеулер және күштер векторлар арқылы бейнеленеді.

Модульді арифметика

Модульдік арифметикада қолданылатын сандар жиыны бүтін сандардың шектік ішкі жиынымен шектеледі, ал қосу белгілі бір мәнге жеткенде "қайта оралады", бұл мән модуль деп аталады. Мысалы, 12-ге модульдік бүтін сандар жиынында он екі элемент болады; ол бүтін сандардан музыкалық жиын теориясының орталық бөлігі болып табылатын қосу амалын мұралайды. 2-ге модульдік бүтін сандар жиынында тек екі элемент бар; оған мұрагерлік етілген қосу амалы Бульдік логикада "ексклюзивті немесе" функциясы ретінде белгілі. Геометрияда да ұқсас "қайта оралу" амалы кездеседі, онда екі бұрыштың шамаларының қосындысы көбінесе олардың нақты сандар ретіндегі 2π-ге модульдік қосындысы ретінде қарастырылады. Бұл шеңбердегі қосу амалына тең, ол өз кезегінде көп өлшемді торлардағы қосу амалдарына жалпыланады.

Жалпы теория

Абстракт алгебраның жалпы теориясы "қосу" операциясын жиын үстіндегі кез келген ассоциативті және коммутативті операция деп қарастырады. Мұндай қосу операциясы бар негізгі алгебралық құрылымдардың қатарында коммутативті моноидтар және абельдік топтар тұрады.

Жинақтар теориясы мен категориялар теориясы

Натурал сандарды қосудың кең ауқымды жалпылауы – жиын теориясындағы ординал сандар мен кардинал сандарды қосу болып табылады. Бұл трансфинит сандарға табиғи сандарды қосудың екі түрлі жалпылауын ұсынады. Көптеген қосу операцияларынан өзгеше, ординал сандарды қосу коммутативті емес. Кардинал сандарды қосу, керісінше, дизъюнкт жиын операциясымен тығыз байланысты коммутативті операция болып табылады. Категориялар теориясында дизъюнкт жиын копродукт операциясының ерекше жағдайы ретінде қарастырылады, ал жалпы копродукттер, мүмкін, қосудың барлық жалпыламаларының ең абстрактілі түрі болып табылады. Кейбір копродукттер, мысалы, тікелей қосынды және үшбұрышты қосынды, олардың қосумен байланысын білдіру үшін осылай аталады.

Қатысушы операциялар

Қосу, алу, көбейту және бөлу сияқты негізгі амалдардың бірі саналады және бастауыш арифметикада қолданылады.

Қосудың басқа жолдары

Инкрементация, сондай-ақ, жалғастыру операциясы деп аталады, – бұл санға 1-ді қосу. Жиынтық – кез келген сандардың қосылуын, әдетте екі сандан көптің қосылуын білдіреді. Оған бір санның өзіне қосылуы, ал бос жиынтықтың қосындысы – нөл деген түсінік кіреді. Шексіз жиынтық – серия деп аталатын күрделі процесс. Шекті жиынтықты санау, жиынтықтағы әрбір элементке 1-ді қосумен тең. Интеграция – континуумда немесе, дәлірек айтқанда, дифференциалданатын көптүрлілікте "қосудың" бір түрі. Нөлдік өлшемді көптүрлілік бойынша интегралдау жиынтықтауға дейін тоғытылады. Сызықтық комбинациялар көбейту мен қосуды біріктіреді; олар – әрбір мүшесінде көбейткіші бар қосындылар, көбінесе нақты немесе кешенді сан. Сызықтық комбинациялар, әсіресе, тікелей қосу кейбір нормалау қағидасын бұзатын жағдайларда, мысалы, ойын теориясындағы стратегияларды араластыру немесе кванттық механикадағы күйлердің суперпозициясы сияқты жағдайларда пайдалы. Конволюция екі тәуелсіз кездейсоқ айнымалыны олардың үлестіру функциялары арқылы қосу үшін қолданылады. Оның стандартты анықтамасы интеграция, азайту және көбейтуді біріктіреді. Жалпы, конволюция домендік қосу түрі ретінде пайдалы; керісінше, векторлық қосу – ауқымдық қосу түрі.