Введение

Арифметическая операция

Сложение (обычно обозначается символом плюс) — одна из четырех основных операций арифметики, три другие — вычитание, умножение и деление. Сложение двух целых чисел даёт общий итог или сумму этих значений. Пример на прилегающем изображении показывает два ряда по три и два яблока соответственно, в общей сложности пять яблок. Это наблюдение эквивалентно математическому выражению 3 + 2 = 5 (то есть «три плюс два равно пяти»). Помимо подсчёта предметов, сложение можно определить и выполнить, не обращаясь к конкретным объектам, используя вместо этого абстракции, называемые числами, такие как целые, действительные и комплексные числа. Сложение относится к арифметике — разделу математики. В алгебре, другом разделе математики, сложение также можно выполнять над абстрактными объектами, такими как векторы, матрицы, подпространства и подгруппы. Сложение обладает несколькими важными свойствами. Оно коммутативно, то есть порядок операндов не имеет значения, и ассоциативно, то есть при сложении более двух чисел порядок выполнения сложения не имеет значения. Повторное сложение эквивалентно счёту (см. Функция следования). Сложение нуля не изменяет число. Сложение также подчиняется предсказуемым правилам, касающимся связанных операций, таких как вычитание и умножение. Выполнение сложения — одна из простейших числовых задач. Сложение очень маленьких чисел доступно даже малышам; простейшую задачу, 1 + 1, могут выполнять младенцы в возрасте пяти месяцев и даже некоторые представители других видов животных. В начальной школе учеников учат складывать числа в десятичной системе, начиная с однозначных и постепенно переходя к более сложным задачам. Механические средства помощи варьируются от древнего абака до современного компьютера, где исследования по наиболее эффективной реализации сложения продолжаются и по сей день.

Условия

Числа или объекты, подлежащие сложению, в общем случае называются слагаемыми или членами суммы; эта терминология распространяется и на суммирование нескольких членов. Это следует отличать от множителей, которые используются при умножении. Некоторые авторы называют первое слагаемое уменьшаемым. Все вышеперечисленные термины имеют латинское происхождение. Слова "addition" (сложение) и "add" (прибавлять) происходят от латинского глагола *addere*, который, в свою очередь, образован от *ad* ("к") и *dare* ("давать"), восходящих к протоиндоевропейскому корню, означающему "давать"; таким образом, прибавлять – это давать к чему-либо. Аналогично, от *augere* ("увеличивать") происходит "augend" ("уменьшаемое", "то, что увеличивается"). "Sum" (сумма) и "summand" (слагаемое) происходят от латинского существительного *summa* ("наивысший, верхний") и связанного с ним глагола *summare*. Это уместно не только потому, что сумма двух положительных чисел больше любого из них, но и потому, что древние греки и римляне обычно складывали числа снизу вверх, в отличие от современной практики сложения сверху вниз, так что сумма была буквально выше слагаемых. Использование *addere* и *summare* восходит как минимум ко времени Боэция, а возможно, и к более ранним римским писателям, таким как Витрувий и Фронтин; Боэций также использовал ряд других терминов для обозначения операции сложения. Позднесреднеанглийские термины "adden" и "adding" были популяризированы Чосером. Знак плюс "+" (Unicode: U+002B; ASCII: +) является сокращением латинского слова *et*, означающего "и". Он встречается в математических трудах, датируемых как минимум 1489 годом.

Интерпретации

Добавление используется для моделирования многих физических процессов. Даже для простого случая сложения натуральных чисел существует множество возможных интерпретаций и ещё больше визуальных представлений.

Коммутативность

Добавление коммутативно, то есть порядок слагаемых в сумме можно менять, не изменяя результат. Символически, для любых двух чисел a и b верно, что a + b = b + a. Свойство коммутативности сложения также называют "коммутативным законом сложения" или "коммутативным свойством сложения". Некоторые другие бинарные операции также коммутативны, например, умножение, но многие другие – нет, например, вычитание и деление.

Ассоциативность

Добавление — ассоциативно, то есть при сложении трех или более чисел порядок выполнения операций не влияет на результат. Например, как следует понимать выражение a + b + c: как (a + b) + c или a + (b + c)? Поскольку сложение ассоциативно, выбор определения не имеет значения. Для любых трех чисел a, b и c справедливо равенство (a + b) + c = a + (b + c). Например, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3). Когда сложение используется совместно с другими операциями, порядок операций становится важным. В стандартном порядке операций сложение имеет более низкий приоритет, чем возведение в степень, извлечение корня n-й степени, умножение и деление, но такой же приоритет, как и вычитание.

Элемент идентификации

Добавление нуля к любому числу не изменяет это число; это означает, что ноль является нейтральным элементом сложения, также известным как аддитивная единица. В символьной форме, для любого *a* справедливо следующее: *a* + 0 = 0 + *a* = *a*. Этот закон был впервые сформулирован в «Брахмасфутасиддханта» Брахмагупты в 628 году нашей эры, хотя он представил его в виде трех отдельных утверждений, в зависимости от того, является ли *a* отрицательным, положительным или нулем, и использовал словесные формулировки вместо алгебраических символов. Позднее индийские математики уточнили эту концепцию; около 830 года Махавира писал: «Ноль, будучи прибавленным к числу, не изменяет его», что соответствует утверждению *a* + 0 = *a*. В XII веке Бхаскара писал: «При сложении или вычитании нуля величина, положительная или отрицательная, остаётся неизменной», что также соответствует утверждению *a* + 0 = *a*.

Преемник

В контексте целых чисел, сложение единицы также играет особую роль: для любого целого числа *a*, целое число (*a* + 1) является наименьшим целым числом, большим чем *a*, также известным как преемник *a*. Например, 3 является преемником 2, а 7 – преемником 6. Благодаря этой закономерности следования, значение *a* + *b* можно также рассматривать как *b*-й преемник *a*, что делает сложение итеративным следованием. Например, 6 + 2 равно 8, поскольку 8 является преемником 7, который, в свою очередь, является преемником 6, таким образом, 8 – второй преемник 6.

Единицы

Для того чтобы численно сложить физические величины с единицами измерения, они должны быть выражены в одинаковых единицах. Например, сложение 50 миллилитров и 150 миллилитров дает 200 миллилитров. Однако, если к величине в 5 футов добавить 2 дюйма, то сумма составит 62 дюйма, поскольку 60 дюймов эквивалентны 5 футам. С другой стороны, обычно не имеет смысла складывать 3 метра и 4 квадратных метра, так как эти единицы несопоставимы; подобные соображения являются основополагающими в размерностном анализе.

Врожденная способность

Исследования математического развития, начавшиеся примерно в 1980-х годах, использовали феномен привыкания: младенцы смотрят дольше на ситуации, которые оказываются неожиданными. Знаковый эксперимент, проведенный Карен Уинн в 1992 году с использованием кукол Микки Мауса, манипулируемых за экраном, показал, что пятимесячные младенцы ожидают, что 1 + 1 будет равно 2, и испытывают заметное удивление, когда физическая ситуация, кажется, подразумевает, что 1 + 1 равно либо 1, либо 3. Этот вывод с тех пор был подтвержден в различных лабораториях с использованием разных методологий. Другой эксперимент 1992 года с более старшими детьми, в возрасте от 18 до 35 месяцев, использовал их развитый двигательный контроль, позволяя им доставать шарики для пинг-понга из коробки; самые младшие хорошо справлялись с небольшими числами, в то время как более старшие испытуемые могли вычислять суммы до 5. Даже некоторые животные, особенно приматы, демонстрируют ограниченную способность к сложению. В эксперименте 1995 года, воспроизводящем результат Уинн 1992 года (но с использованием баклажанов вместо кукол), макаки-резусы и тамарины-пахта показали результаты, аналогичные человеческим младенцам. Еще более впечатляюще, одного шимпанзе, обученного значению арабских цифр от 0 до 4, смог вычислять сумму двух цифр без дальнейшего обучения. В последнее время азиатские слоны продемонстрировали способность выполнять простейшие арифметические действия.

Обучение в детстве

Как правило, дети сначала осваивают счёт. Когда маленьким детям предлагают задачу, требующую объединить два и три предмета, они моделируют ситуацию с помощью физических объектов, часто пальцев или рисунка, а затем считают общее количество. По мере приобретения опыта они учатся или самостоятельно открывают стратегию "счёта от большего числа": на вопрос, сколько будет два плюс три, дети считают три дальше двух, произнося "три, четыре, пять" (обычно загибая пальцы), и получают ответ пять. Эта стратегия кажется почти универсальной; дети могут легко перенять её у сверстников или учителей. Большинство открывают её самостоятельно. С дальнейшим опытом дети учатся складывать быстрее, используя переместительное свойство сложения, отсчитывая от большего числа, в данном случае, начиная с трёх и считая "четыре, пять". В конечном итоге дети начинают запоминать определённые факты сложения ("числовые пары"), либо через опыт, либо заучивая их. Как только некоторые факты оказываются в памяти, дети начинают выводить неизвестные факты из известных. Например, если ребёнка попросят сложить шесть и семь, он может знать, что 6 + 6 = 12, а затем рассудить, что 6 + 7 на один больше, то есть 13. Такие выведенные факты можно находить очень быстро, и большинство учеников начальной школы в конечном итоге используют смесь заученных и выведенных фактов для свободного сложения. Разные страны знакомят с целыми числами и арифметикой в разном возрасте, причём во многих странах сложение начинают преподавать в дошкольном возрасте. Однако во всем мире сложение преподают к концу первого года обучения в начальной школе.

Десятичная система

Предварительным условием для сложения в десятичной системе является свободное воспроизведение или выведение 100 однозначных "фактов сложения". Можно запомнить все факты наизусть, но стратегии, основанные на закономерностях, более познавательны и, для большинства людей, более эффективны:
Коммутативное свойство: упомянутое выше использование закономерности a + b = b + a уменьшает количество "фактов сложения" со 100 до 55. Сложение 1 или 2 – это простая задача, которую можно выполнить, считая дальше или, в конечном итоге, полагаясь на интуицию. Альтернативная стратегия заключается в начале сложения с самой значимой цифры слева; этот подход делает перенос немного более сложным, но позволяет быстрее получить приблизительную оценку суммы. Существует множество альтернативных методов. С конца 20-го века некоторые американские программы, включая TERC, решили исключить традиционный метод переноса из своей учебной программы. Это решение подверглось критике, поэтому некоторые штаты и округа не поддержали этот эксперимент.

Сбор чисел

Чтобы доказать обычные свойства сложения, сначала необходимо определить сложение в рассматриваемом контексте. Сложение определяется прежде всего на натуральных числах. В теории множеств сложение затем расширяется на последовательно более широкие множества, включающие натуральные числа: целые числа, рациональные числа и действительные числа. (В математическом образовании положительные дроби складываются раньше, чем рассматриваются отрицательные числа; это также исторический подход.)

Комплексные числа

Комплексные числа складываются путем сложения их действительных и мнимых частей. То есть:

Если рассматривать комплексные числа на комплексной плоскости, то сложение имеет следующую геометрическую интерпретацию: сумма двух комплексных чисел A и B, рассматриваемых как точки на комплексной плоскости, – это точка X, полученная при построении параллелограмма, три вершины которого – O, A и B. Эквивалентно, X – это точка, такая что треугольники с вершинами O, A, B и X, B, A конгруэнтны.

Обобщения

Существует множество бинарных операций, которые можно рассматривать как обобщения операции сложения над действительными числами. Абстрактная алгебра в значительной степени посвящена изучению таких обобщенных операций, и они также встречаются в теории множеств и теории категорий.

Векторы

В линейной алгебре векторное пространство — это алгебраическая структура, допускающая сложение любых двух векторов и их умножение на скаляр. Примером векторного пространства является множество всех упорядоченных пар действительных чисел; упорядоченная пара (a, b) интерпретируется как вектор, идущий от начала координат в евклидовой плоскости к точке (a, b) на этой плоскости. Сумма двух векторов получается сложением соответствующих координат:

Эта операция сложения играет ключевую роль в классической механике, где скорости, ускорения и силы представляются векторами.

Модульная арифметика

В модульной арифметике множество доступных чисел ограничено конечным подмножеством целых чисел, а сложение "переносится", когда достигается определенное значение, называемое модулем. Например, множество целых чисел по модулю 12 содержит двенадцать элементов; оно наследует операцию сложения от целых чисел, которая играет центральную роль в теории музыкальных множеств. Множество целых чисел по модулю 2 содержит всего два элемента; операция сложения, которую оно наследует, известна в булевой логике как функция "исключающее ИЛИ". Аналогичная операция "переноса" возникает в геометрии, где сумма двух величин углов часто рассматривается как их сумма в виде действительных чисел по модулю 2π. Это эквивалентно операции сложения на окружности, которая, в свою очередь, обобщается на операции сложения на многомерных торах.

Общая теория

Общая теория абстрактной алгебры допускает, чтобы операция "сложение" была любой ассоциативной и коммутативной операцией на множестве. Основные алгебраические структуры, оснащенные такой операцией сложения, включают коммутативные моноиды и абелевы группы.

Теория множеств и теория категорий

Дальнейшее обобщение сложения натуральных чисел — это сложение порядковых и кардинальных чисел в теории множеств. Они представляют собой два различных обобщения сложения натуральных чисел на трансфинитные числа. В отличие от большинства операций сложения, сложение порядковых чисел некоммутативно. Однако сложение кардинальных чисел является коммутативной операцией, тесно связанной с операцией дизъюнктного объединения. В теории категорий дизъюнктное объединение рассматривается как частный случай операции сопродукта, а общие сопродукты, пожалуй, являются наиболее абстрактным обобщением сложения. Некоторые сопродукты, такие как прямая сумма и клиновидная сумма, названы так, чтобы подчеркнуть их связь со сложением.

Сопутствующие операции

Добавление, наряду с вычитанием, умножением и делением, считается одной из основных арифметических операций и используется в начальной арифметике.

Другие способы добавления

Инкрементация, также известная как операция следования, представляет собой добавление единицы к числу. Суммация описывает сложение произвольного количества чисел, как правило, больше двух. Она включает в себя понятие суммы одного числа, равного самому себе, и пустой суммы, равной нулю. Бесконечная суммация – это тонкий процесс, известный как ряд. Подсчёт конечного множества эквивалентен суммированию единицы по этому множеству. Интегрирование – это своего рода "суммация" по континууму, или, точнее и в общем случае, по дифференцируемому многообразию. Интегрирование по нулевому многообразию сводится к суммированию. Линейные комбинации сочетают умножение и суммирование; это суммы, в которых каждый член имеет множитель, обычно действительное или комплексное число. Линейные комбинации особенно полезны в ситуациях, когда прямое сложение нарушило бы некоторые правила нормализации, например, при смешивании стратегий в теории игр или при суперпозиции состояний в квантовой механике. Свёрка используется для сложения двух независимых случайных величин, заданных функциями распределения. Её обычное определение сочетает интегрирование, вычитание и умножение. В общем случае, свёртка полезна как своего рода добавление по области определения; в отличие от этого, сложение векторов – это добавление по области значений.