Кіріспе
Алгебралық бүтін сандарды жалпылау. Математикада Хурвиц кватернионы (немесе Хурвиц бүтін саны) – құраушыларының барлығы бүтін сандар немесе барлығы жарты бүтін сандар (тақ сандардың жартысы; бүтін және жарты бүтін сандардың араласуына жол жоқ). Хурвиц кватерниондарының жиыны, яғни a, b, c, d – барлығы бүтін сандар, немесе барлығы жарты бүтін сандар. H кватерниондарды көбейту және қосу операциялары бойынша жабық, бұл оны барлық кватерниондар сақинасының ішкі сақинасы етеді. Хурвиц кватерниондары Липшиц кватернионы (немесе Липшиц бүтін саны) – құраушыларының барлығы бүтін сандар болып табылатын кватернион. Барлық Липшиц кватерниондарының жиыны Хурвиц кватерниондарының ішкі сақинасын құрайды. Хурвиц бүтін сандары Липшиц бүтін сандарынан артықшылығы бар, оларға Евклидтік бөлуді орындауға және кішкентай қалдық алуға болады. Хурвиц және Липшиц кватерниондары – бөлгіш сақиналар емес коммутативті емес домендердің мысалдары.
In mathematics, a Hurwitz quaternion (or Hurwitz integer) is a quaternion whose components are either all integers or all half integers (halves of odd integers; a mixture of integers and half integers is excluded). The set of all Hurwitz quaternions is
That is, either a, b, c, d are all integers, or they are all half integers. H is closed under quaternion multiplication and addition, which makes it a subring of the ring of all quaternions H. Hurwitz quaternions were introduced by
A Lipschitz quaternion (or Lipschitz integer) is a quaternion whose components are all integers. The set of all Lipschitz quaternions
forms a subring of the Hurwitz quaternions H. Hurwitz integers have the advantage over Lipschitz integers that it is possible to perform Euclidean division on them, obtaining a small remainder. Both the Hurwitz and Lipschitz quaternions are examples of noncommutative domains which are not division rings.
Хурвиц квартерниондары сақинасының құрылымы
Қосымша топ ретінде H генераторлары {(1 + i + j + k)/2, i, j, k} бар еркін абельдік. Сондықтан ол R4 жүйесінде торды құрайды. Бұл тор F4 торы деп аталады, өйткені ол жартылай қарапайым Ли алгебрасы F4-тің түбірлік торы болып табылады. Lipschitz квартерниондары L, H-ның 2-индексті субрешесін құрайды. L-дегі бірліктер тобы 8-ретті квартернион тобы 1=Q = {±1, ±i, ±j, ±k}. H-дағы бірліктер тобы 24-ретті абельдік емес топ, ол бинарлық тетраэдрлік топ деп аталады. Бұл топтың элементтеріне Q-ның 8 элементі және {(±1 ± i ± j ± k)/2} квартерниондарының 16-сы кіреді, мұнда таңбалар кез келген комбинацияда алынуы мүмкін. Квартернион тобы U(H) бинарлық тетраэдрлік топтың қалыпты кіші тобы болып табылады. U(H) элементтері, олардың барлығы 1 нормаға ие, 3 сфераға сызылған 24 ұяшықтың төбелерін құрайды. Хурвиц квартерниондары рационалды компоненттері бар квартерниондардың бөліну сақинасында (сақиналар теориясы мағынасында) ретті құрайды. Бұл, шын мәнінде, максималды рет; бұл оның маңыздылығын түсіндіреді. Интегралды квартернион идеясының ең айқын үміткері болып табылатын Липшиц квартерниондары да ретті құрайды. Алайда, бұл соңғы рет максималды емес, сондықтан (көрінетінідей) алгебралық сандар теориясымен салыстырылатын сол идеалдар теориясын дамытуға қолайсыз. Адольф Хурвиц түсінгендей, Хурвиц интегралды квартернионының осы анықтамасы жұмыс істеу үшін жақсырақ. H сияқты коммутативті емес сақина үшін максималды реттер бірегей болуы міндетті емес, сондықтан алгебралық бүтін сан ұғымын ауыстыру үшін максималды ретті бекіту қажет.
The group of units in L is the order 8 quaternion group 1=Q = {±1, ±i, ±j, ±k}. The group of units in H is a nonabelian group of order 24 known as the binary tetrahedral group. The elements of this group include the 8 elements of Q along with the 16 quaternions {(±1 ± i ± j ± k) / 2}, where signs may be taken in any combination. The quaternion group is a normal subgroup of the binary tetrahedral group U(H). The elements of U(H), which all have norm 1, form the vertices of the 24 cell inscribed in the 3 sphere. The Hurwitz quaternions form an order (in the sense of ring theory) in the division ring of quaternions with rational components. It is in fact a maximal order; this accounts for its importance. The Lipschitz quaternions, which are the more obvious candidate for the idea of an integral quaternion, also form an order. However, this latter order is not a maximal one, and therefore (as it turns out) less suitable for developing a theory of left ideals comparable to that of algebraic number theory. What Adolf Hurwitz realised, therefore, was that this definition of Hurwitz integral quaternion is the better one to operate with. For a non commutative ring such as H, maximal orders need not be unique, so one needs to fix a maximal order, in carrying over the concept of an algebraic integer.