Введение
Обобщение алгебраических целых
In mathematics, a Hurwitz quaternion (or Hurwitz integer) is a quaternion whose components are either all integers or all half integers (halves of odd integers; a mixture of integers and half integers is excluded). The set of all Hurwitz quaternions is
That is, either a, b, c, d are all integers, or they are all half integers. H is closed under quaternion multiplication and addition, which makes it a subring of the ring of all quaternions H. Hurwitz quaternions were introduced by
A Lipschitz quaternion (or Lipschitz integer) is a quaternion whose components are all integers. The set of all Lipschitz quaternions
forms a subring of the Hurwitz quaternions H. Hurwitz integers have the advantage over Lipschitz integers that it is possible to perform Euclidean division on them, obtaining a small remainder. Both the Hurwitz and Lipschitz quaternions are examples of noncommutative domains which are not division rings.
В математике, кватернион Хурвица (или целое Хурвица) — это кватернион, компоненты которого либо все являются целыми числами, либо все являются полуцелыми числами (половинами нечётных целых чисел; смешение целых и полуцелых чисел исключается). Множество всех кватернионов Хурвица определяется следующим образом:
In mathematics, a Hurwitz quaternion (or Hurwitz integer) is a quaternion whose components are either all integers or all half integers (halves of odd integers; a mixture of integers and half integers is excluded). The set of all Hurwitz quaternions is
That is, either a, b, c, d are all integers, or they are all half integers. H is closed under quaternion multiplication and addition, which makes it a subring of the ring of all quaternions H. Hurwitz quaternions were introduced by
A Lipschitz quaternion (or Lipschitz integer) is a quaternion whose components are all integers. The set of all Lipschitz quaternions
forms a subring of the Hurwitz quaternions H. Hurwitz integers have the advantage over Lipschitz integers that it is possible to perform Euclidean division on them, obtaining a small remainder. Both the Hurwitz and Lipschitz quaternions are examples of noncommutative domains which are not division rings.
То есть, либо a, b, c, d — все целые числа, либо все они полуцелые числа. H замкнуто относительно умножения и сложения кватернионов, что делает его подкольцом кольца всех кватернионов. Кватернионы Хурвица были введены кватернионом Липшица (или целое число Липшица) — это кватернион, компоненты которого являются целыми числами. Множество всех кватернионов Липшица
In mathematics, a Hurwitz quaternion (or Hurwitz integer) is a quaternion whose components are either all integers or all half integers (halves of odd integers; a mixture of integers and half integers is excluded). The set of all Hurwitz quaternions is
That is, either a, b, c, d are all integers, or they are all half integers. H is closed under quaternion multiplication and addition, which makes it a subring of the ring of all quaternions H. Hurwitz quaternions were introduced by
A Lipschitz quaternion (or Lipschitz integer) is a quaternion whose components are all integers. The set of all Lipschitz quaternions
forms a subring of the Hurwitz quaternions H. Hurwitz integers have the advantage over Lipschitz integers that it is possible to perform Euclidean division on them, obtaining a small remainder. Both the Hurwitz and Lipschitz quaternions are examples of noncommutative domains which are not division rings.
образует подкольцо кватернионов Хурвица H. Целые числа Хурвица имеют преимущество перед целыми числами Липшица в том, что для них возможно выполнение евклидова деления с получением малого остатка. И кватернионы Хурвица, и кватернионы Липшица являются примерами некомутативных областей, которые не являются кольцами деления.
In mathematics, a Hurwitz quaternion (or Hurwitz integer) is a quaternion whose components are either all integers or all half integers (halves of odd integers; a mixture of integers and half integers is excluded). The set of all Hurwitz quaternions is
That is, either a, b, c, d are all integers, or they are all half integers. H is closed under quaternion multiplication and addition, which makes it a subring of the ring of all quaternions H. Hurwitz quaternions were introduced by
A Lipschitz quaternion (or Lipschitz integer) is a quaternion whose components are all integers. The set of all Lipschitz quaternions
forms a subring of the Hurwitz quaternions H. Hurwitz integers have the advantage over Lipschitz integers that it is possible to perform Euclidean division on them, obtaining a small remainder. Both the Hurwitz and Lipschitz quaternions are examples of noncommutative domains which are not division rings.
Структура кольца четверников Хурвица
Как аддитивная группа, H является свободной абелевой с генераторами {(1 + i + j + k)/2, i, j, k}. Поэтому она образует решетку в R4. Эта решетка известна как решетка F4, поскольку она является корневой решеткой полупростой алгебры Ли F4. Кватернионы Липшица L образуют подрешетку индекса 2 в H. Группа единиц в L — это кватернионная группа порядка 8, 1=Q = {±1, ±i, ±j, ±k}. Группа единиц в H является неабелевой группой порядка 24, известной как бинарная тетраэдрическая группа. Элементы этой группы включают 8 элементов Q вместе с 16 кватернионами вида (±1 ± i ± j ± k)/2, где знаки могут быть взяты в любой комбинации. Кватернионная группа является нормальной подгруппой бинарной тетраэдрической группы U(H). Элементы U(H), все имеющие норму 1, образуют вершины 24-ячейника, вписанного в 3-сферу. Кватернионы Хурвица образуют порядок (в смысле теории колец) в кольце деления кватернионов с рациональными компонентами. Фактически, это максимальный порядок, что объясняет его важность. Кватернионы Липшица, которые являются более очевидным кандидатом на роль интегральных кватернионов, также образуют порядок. Однако этот последний порядок не является максимальным и, следовательно (как оказалось), менее подходит для разработки теории левых идеалов, сопоставимой с теорией алгебраических чисел. Поэтому Адольф Хурвиц понял, что определение хурвиц-интегрального кватерниона является более предпочтительным для работы. Для некоммутативного кольца, такого как H, максимальные порядки не обязаны быть единственными, поэтому необходимо зафиксировать максимальный порядок при переносе концепции алгебраического целого числа.
The group of units in L is the order 8 quaternion group 1=Q = {±1, ±i, ±j, ±k}. The group of units in H is a nonabelian group of order 24 known as the binary tetrahedral group. The elements of this group include the 8 elements of Q along with the 16 quaternions {(±1 ± i ± j ± k) / 2}, where signs may be taken in any combination. The quaternion group is a normal subgroup of the binary tetrahedral group U(H). The elements of U(H), which all have norm 1, form the vertices of the 24 cell inscribed in the 3 sphere. The Hurwitz quaternions form an order (in the sense of ring theory) in the division ring of quaternions with rational components. It is in fact a maximal order; this accounts for its importance. The Lipschitz quaternions, which are the more obvious candidate for the idea of an integral quaternion, also form an order. However, this latter order is not a maximal one, and therefore (as it turns out) less suitable for developing a theory of left ideals comparable to that of algebraic number theory. What Adolf Hurwitz realised, therefore, was that this definition of Hurwitz integral quaternion is the better one to operate with. For a non commutative ring such as H, maximal orders need not be unique, so one needs to fix a maximal order, in carrying over the concept of an algebraic integer.