Введение
Двойственное пространство к касательному пространству в дифференциальной геометрии
В дифференциальной геометрии котангентное пространство — это векторное пространство, связанное с точкой на гладком (или дифференцируемом) многообразии; можно определить котангентное пространство для каждой точки на гладком многообразии. Обычно котангентное пространство определяется как двойственное пространство к касательному пространству в точке , , хотя существуют и более прямые определения (см. ниже). Элементы котангентного пространства называются котангентными векторами или ковекторами касательных.
In differential geometry, the cotangent space is a vector space associated with a point on a smooth (or differentiable) manifold ; one can define a cotangent space for every point on a smooth manifold. Typically, the cotangent space, is defined as the dual space of the tangent space at , , although there are more direct definitions (see below). The elements of the cotangent space are called cotangent vectors or tangent covectors.
Свойства
Все котангентные пространства в точках связного многообразия имеют одинаковую размерность, равную размерности многообразия. Все котангентные пространства многообразия можно "склеить вместе" (то есть объединить и снабдить топологией), чтобы образовать новое дифференцируемое многообразие вдвое большей размерности – котангентный расслоение многообразия. Тангенциальное пространство и котангенциальное пространство в точке являются оба вещественными векторными пространствами одинаковой размерности и, следовательно, изоморфны друг другу посредством множества возможных изоморфизмов. Введение римановой метрики или симплектической формы порождает естественный изоморфизм между тангенциальным пространством и котангенциальным пространством в точке, сопоставляя любому тангенциальному ковектору канонический тангенциальный вектор.
Определение как линейные функционалы
Пусть M — гладкое многообразие и x — точка в M. Пусть TₓM — касательное пространство в точке x. Тогда кокасательное пространство в точке x определяется как двойственное пространство к TₓM:
Concretely, elements of the cotangent space are linear functionals on That is, every element is a linear map
where is the underlying field of the vector space being considered, for example, the field of real numbers. The elements of are called cotangent vectors.
Конкретно, элементы кокасательного пространства — это линейные функционалы на TₓM. То есть, каждый элемент ω является линейным отображением
Concretely, elements of the cotangent space are linear functionals on That is, every element is a linear map
where is the underlying field of the vector space being considered, for example, the field of real numbers. The elements of are called cotangent vectors.
ω: TₓM → ℝ,
Concretely, elements of the cotangent space are linear functionals on That is, every element is a linear map
where is the underlying field of the vector space being considered, for example, the field of real numbers. The elements of are called cotangent vectors.
где ℝ — базовое поле векторного пространства, рассматриваемого в данном случае, например, поле действительных чисел. Элементы кокасательного пространства называются ковекторами.
Concretely, elements of the cotangent space are linear functionals on That is, every element is a linear map
where is the underlying field of the vector space being considered, for example, the field of real numbers. The elements of are called cotangent vectors.
Альтернативное определение
В некоторых случаях может быть желательно иметь прямое определение котангентного пространства без обращения к тангентному пространству. Такое определение можно сформулировать в терминах классов эквивалентности гладких функций на многообразии. Неформально, мы будем говорить, что две гладкие функции f и g эквивалентны в точке, если они имеют одинаковое поведение первого порядка в окрестности точки, аналогично их линейным полиномам Тейлора; две функции f и g имеют одинаковое поведение первого порядка в окрестности точки, если и только если производная функции f − g обращается в нуль в этой точке. Тогда котангентное пространство будет состоять из всех возможных поведений первого порядка функции в окрестности точки. Пусть M – гладкое многообразие и x – точка в M. Пусть I будет идеалом всех функций на M, обращающихся в нуль в точке x, и пусть F будет множеством функций вида f(y) - f(x), где f принадлежит I. Тогда I и F – оба вещественные векторные пространства, и котангентное пространство можно определить как факторпространство F/I, показав, что эти два пространства изоморфны. Эта формулировка аналогична построению котангентного пространства для определения тангентного пространства Зариски в алгебраической геометрии. Построение также обобщается на локальнокольцевые пространства.
Let be a smooth manifold and let x be a point in Let be the ideal of all functions in vanishing at , and let be the set of functions of the form , where Then and are both real vector spaces and the cotangent space can be defined as the quotient space by showing that the two spaces are isomorphic to each other. This formulation is analogous to the construction of the cotangent space to define the Zariski tangent space in algebraic geometry. The construction also generalizes to locally ringed spaces.
Внешние полномочия
Внешняя степень котангентного пространства, обозначаемая ∧ᵏT*M, является еще одним важным объектом в дифференциальной и алгебраической геометрии. Векторы в k-й внешней степени, или точнее, сечения k-й внешней степени котангентного расслоения, называются дифференциальными k-формами. Их можно рассматривать как поочередные, мультилинейные отображения на касательных векторах. По этой причине, тангенциальные ковекторы часто называют 1-формами.