Кіріспе
Көпқырлының жанама кеңістіктері
[[Image:Tangent bundle. svg|right|thumb|Бұл суретте көпқырлының (бұл жағдайда шеңбер) жанама буыны, барлық жанама кеңістіктерді қарастыру арқылы (жоғарыда) және оларды тегіс әрі жаппай біріктіру арқылы (төменде) алынады. Яғни,
мұнда - нүктесіндегі кеңістікке жанама. Осылайша, элементін нүктесі және - дегі жанама вектор жұбы ретінде қарастыруға болады.
Табиғи проекция бар:
There is a natural projection
ол формуласымен анықталады. Бұл проекция жанама кеңістіктің әрбір элементін бір ғана нүктеге бейнелейді.
Жанама буын табиғи топологиямен жабдықталған (төмендегі бөлімде сипатталған). Бұл топологияда көпқырлының жанама буыны векторлық буынның прототиптік мысалы болып табылады (талшықтары векторлық кеңістіктер болатын талшықтық буын). -ның қимасы - дағы векторлық өріс, ал -ға қатысты қос буын - котангенттік буын, ол -ның котангенттік кеңістіктерінің біріктірілген жиынтығы. Анықтама бойынша, көпқырлы параллельдендіріледі, егер және тек қана жанама буын тривиалды болса. Анықтама бойынша, көпқырлы құрылымдалған, егер және тек қана жанама буын тұрақты тривиалды болса, яғни, кейбір тривиалды буын үшін Уитни қосындысы тривиалды. Мысалы, n өлшемді Sn сферасы барлық n үшін құрылымдалған, бірақ тек 1=n = 1, 3, 7 үшін параллельдендіріледі (Ботт, Милнор және Керваирдің нәтижелері бойынша).
The tangent bundle comes equipped with a natural topology (described in a section below). With this topology, the tangent bundle to a manifold is the prototypical example of a vector bundle (which is a fiber bundle whose fibers are vector spaces). A section of is a vector field on , and the dual bundle to is the cotangent bundle, which is the disjoint union of the cotangent spaces of By definition, a manifold is parallelizable if and only if the tangent bundle is trivial. By definition, a manifold is framed if and only if the tangent bundle is stably trivial, meaning that for some trivial bundle the Whitney sum is trivial. For example, the n dimensional sphere Sn is framed for all n, but parallelizable only for 1=n = 1, 3, 7 (by results of Bott Milnor and Kervaire).
Рөл
Тангенттік шоғырдың негізгі рөлдерінің бірі – тегіс функцияның туындысы үшін домен және диапазонды қамтамасыз ету. Атап айтқанда, егер – тегіс функция болса, ал және – тегіс көптүрліліктер болса, оның туындысы – тегіс функция болады.
Мысалдар
Ең қарапайым мысал: Бұл жағдайда тангенциалдық бундель тривиалды болады: әрбір элемент каноникалық түрде карта арқылы изоморфты, ол дифеоморфизмді анықтайды. Тағы бір қарапайым мысал – бірлік шеңбер (жоғарыдағы суретті қараңыз). Шеңбердің тангенциалдық бунделі де тривиалды және геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл шексіз биіктіктегі цилиндр болып табылады. Нақты түзу мен бірлік шеңбердің тангенциалдық бундельдерін ғана оңай көзге елестетуге болады, олардың екеуі де тривиалды. 2 өлшемді манифольд үшін тангенциалдық бундель 4 өлшемді, сондықтан оны елестету қиын. Тривиалды емес тангенциалдық бундельдің қарапайым мысалы – бірлік сфера: бұл тангенциалдық бундель шашты шар теоремасының салдарынан тривиалды емес. Сондықтан сфераны параллельдендіруге болмайды.
Another simple example is the unit circle, (see picture above). The tangent bundle of the circle is also trivial and isomorphic to Geometrically, this is a cylinder of infinite height. The only tangent bundles that can be readily visualized are those of the real line and the unit circle , both of which are trivial. For 2 dimensional manifolds the tangent bundle is 4 dimensional and hence difficult to visualize. A simple example of a nontrivial tangent bundle is that of the unit sphere : this tangent bundle is nontrivial as a consequence of the hairy ball theorem. Therefore, the sphere is not parallelizable.
Көтергіштер
Объектілерді объектіге көтерудің әр түрлі жолдары бар. Мысалы, егер - бұл қисығы болса, онда (қисықтың жанамасы) - бұл қисығы болады. Керісінше, туралы қосымша шарттарсыз (мысалы, Риман метрикасы), котангенс бундельге ұқсас көтеру жоқ. Функцияның тік көтерілуі - бұл каноникалық проекция арқылы анықталатын функциясы, мұндағы .