Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, бірегейлік жиыны – тригонометриялық кеңейтулерге қатысты, Фурье тізбектері болмауы мүмкін түсінік. Олардың зерттелуі – гармониялық талдаудың салыстырмалы түрде таза саласы болып табылады.
In mathematics, a set of uniqueness is a concept relevant to trigonometric expansions which are not necessarily Fourier series. Their study is a relatively pure branch of harmonic analysis.
Алғашқы зерттеулер
Бос жиын – бірегейлік жиыны. Бұл дегеніміз, егер тригонометриялық қатар кез келген жерде нөлге жиналса, онда ол тривиальды болады. Бұл Риман қос формальды интеграцияның күрделі әдісін қолданып дәлелдеді; сондай-ақ, алынған қосындының Топлиц операторларын пайдалана отырып, екінші туындының жалпыланған түрі бар екенін көрсетті. Кейін Георг Кантор Риманның әдістерін кеңейтіп, кез келген санаулы, жабық жиынның бірегейлік жиыны екенін көрсетті, бұл оның жиын теориясын дамытуға себеп болған жаңалық еді. Пол Коэн, жиын теориясының тағы бір инноваторы, өзінің карьерасын бірегейлік жиындары туралы диссертациямен бастады. Лебег интеграциясы теориясы дамыған сайын, нөлдік өлшемдегі кез келген жиын бірегейлік жиыны болады деп есептелді – бір өлшемде Фурье қатарларының жергілікті принципі кез келген оң өлшемді жиынның көптік жиыны екенін көрсетеді (жоғары өлшемдерде бұл мәселе әлі де шешілмеген). Бұл 1916 жылы Дмитрий Е. Меншовпен жоққа шығарылды, ол нөлдік өлшемге ие көптік жиынның мысалын құрды.
The empty set is a set of uniqueness. This simply means that if a trigonometric series converges to zero everywhere then it is trivial. This was proved by Riemann, using a delicate technique of double formal integration; and showing that the resulting sum has some generalized kind of second derivative using Toeplitz operators. Later on, Georg Cantor generalized Riemann's techniques to show that any countable, closed set is a set of uniqueness, a discovery which led him to the development of set theory. Paul Cohen, another innovator in set theory, started his career with a thesis on sets of uniqueness. As the theory of Lebesgue integration developed, it was assumed that any set of zero measure would be a set of uniqueness — in one dimension the locality principle for Fourier series shows that any set of positive measure is a set of multiplicity (in higher dimensions this is still an open question). This was disproved by Dimitrii E. Menshov who in 1916 constructed an example of a set of multiplicity which has measure zero.
Түрлендірулер
Бірегейлік жиынтығының аудармасы және кеңейтілуі – бірегейлік жиынтығы болып табылады. Бірегейлік жиынтықтарының жабық жиынтықтарының санаулы отбасының бірігісі – бірегейлік жиынтығы. Бірегейлік жиынтықтарының екі мысалы бар, олардың бірігісі бірегейлік жиынтығы емес, бірақ бұл мысалдағы жиынтықтар Борел жиынтықтары емес. Кез келген екі Борелдік бірегейлік жиынтығының бірігісі бірегейлік жиынтығы болып табыса ма, жоқ па – бұл ашық сұрақ.
A translation and dilation of a set of uniqueness is a set of uniqueness. A union of a countable family of closed sets of uniqueness is a set of uniqueness. There exists an example of two sets of uniqueness whose union is not a set of uniqueness, but the sets in this example are not Borel. It is an open problem whether the union of any two Borel sets of uniqueness is a set of uniqueness.
Құрылымының күрделілігі
Бірегейлік жиындары күрделі құрылымға ие екендігіне алғашқы дәлел Канторға ұқсас жиындарды зерттеуден алынған. Рафаэль Салем мен Зигмунд Кантор сияқты жиынның, диссекция қатынасы ξ болған жағдайда, бірегейлік жиыны екенін көрсетті, егер және тек қана 1/ξ Пизо саны болса, яғни оның барлық түйіндестері (бар болса) 1-ден кіші болатын алгебралық бүтін сан. Бұл бірегейлік жиыны болу қасиетінің арифметикалық қасиеттермен байланысты екенін, және тек мөлшер туралы түсінік емес екенін алғаш рет көрсетті (Нина Бари бірнеше жыл бұрын ξ рационалды болған жағдайда Кантор сияқты жиынның бірегейлік жиыны екенін, егер және тек қана 1/ξ бүтін сан болса, деп дәлелдеген болатын). 1950-ші жылдардан бері осы күрделілікті ресмилендіруге көп еңбек жұмсалды. Бірегейлік жиындарының отбасы, компакт жиындар кеңістігіндегі жиын ретінде қарастырылды (Гаусдорф қашықтығына қараңыз), аналитикалық иерархия ішінде орналасқан. Бұл зерттеуде жиынның индексі маңызды рөл атқарады, ол 1 мен ω1 арасындағы ординал болып табылады және алғаш рет Пятецкий Шапиро анықтаған. Бүгінгі таңда, бірегейлік жиындарын зерттеу – бұл сипаттамалық жиын теориясымен қатар, гармониялық талдаудың да бір саласы.
The first evidence that sets of uniqueness have complex structure came from the study of Cantor like sets. Raphaël Salem and Zygmund showed that a Cantor like set with dissection ratio ξ is a set of uniqueness if and only if 1/ξ is a Pisot number, that is an algebraic integer with the property that all its conjugates (if any) are smaller than 1. This was the first demonstration that the property of being a set of uniqueness has to do with arithmetic properties and not just some concept of size (Nina Bari had proved the case of ξ rational the Cantor like set is a set of uniqueness if and only if 1/ξ is an integer a few years earlier). Since the 50s, much work has gone into formalizing this complexity. The family of sets of uniqueness, considered as a set inside the space of compact sets (see Hausdorff distance), was located inside the analytical hierarchy. A crucial part in this research is played by the index of the set, which is an ordinal between 1 and ω1, first defined by Pyatetskii Shapiro. Nowadays the research of sets of uniqueness is just as much a branch of descriptive set theory as it is of harmonic analysis.