Введение
В математике множество уникальности — это понятие, применимое к тригонометрическим разложениям, не являющимся обязательно рядом Фурье. Их исследование представляет собой относительно самостоятельную область гармонического анализа.
Ранние исследования
Пустое множество является множеством уникальности. Это просто означает, что если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду, то он тривиален. Это было доказано Риманом с использованием тонкой техники двойного формального интегрирования, а также показано, что полученная сумма обладает некоторым обобщенным видом второй производной с применением операторов Топлица. Позднее Георг Кантор обобщил методы Римана, чтобы доказать, что любое счетное замкнутое множество является множеством уникальности, что привело его к развитию теории множеств. Пол Коэн, еще один новатор в теории множеств, начал свою карьеру с диссертации о множествах уникальности. С развитием теории интеграла Лебега предполагалось, что любое множество нулевой меры является множеством уникальности — в одномерном случае принцип локальности для рядов Фурье показывает, что любое множество положительной меры является множеством кратности (в многомерном случае этот вопрос остается открытым). Это было опровергнуто Дмитрием Е. Меншовым, который в 1916 году построил пример множества кратности, имеющего нулевую меру.
Преобразования
Перевод и расширение множества уникальности является множеством уникальности. Объединение счётного семейства замкнутых множеств уникальности является множеством уникальности. Существует пример двух множеств уникальности, объединение которых не является множеством уникальности, однако эти множества не являются борелевскими. Остаётся открытым вопрос о том, является ли объединение любых двух борелевских множеств уникальности множеством уникальности.
Сложность структуры
Первое свидетельство того, что множества уникальности обладают сложной структурой, появилось в результате изучения множеств типа Кантора. Рафаэль Салем и Зигмунд показали, что множество типа Кантора с отношением диссекции ξ является множеством уникальности тогда и только тогда, когда 1/ξ является числом Пизота, то есть алгебраическим целым, для которого все его сопряженные (если они существуют) меньше 1. Это было первым доказательством того, что свойство быть множеством уникальности связано с арифметическими свойствами, а не только с понятием размера (Нина Бари несколькими годами ранее доказала случай рационального ξ: множество типа Кантора является множеством уникальности тогда и только тогда, когда 1/ξ – целое число). С 50-х годов значительные усилия были направлены на формализацию этой сложности. Семейство множеств уникальности, рассматриваемое как множество в пространстве компактных множеств (см. расстояние Хаусдорфа), было локализовано внутри аналитической иерархии. Ключевую роль в этих исследованиях играет индекс множества – ординал между 1 и ω1, впервые определенный Пятецким-Шапиро. В настоящее время исследование множеств уникальности является столь же важной областью теории описательных множеств, как и гармонического анализа.