Ықтималдық теорияда шартты тәуелсіздік – гипотезаның нақтылығын бағалауда маңызсыз деректер. Математикалық қатынас, график негізді теориялар үшін өте маңызды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Ықтималдық теориясының түсінігі
Probability theory concept
Ықтималдық теориясында шартты тәуелсіздік – гипотезаның дұрыстығын бағалау кезінде байқаудың маңызсыз немесе артық болып табылатын жағдайларды сипаттайды. Шартты тәуелсіздік көбінесе шартты ықтималдықтар тұрғысынан, егер ақпараттық құндылығы жоқ байқау берілгендегі гипотезаның ықтималдығы, байқаусыз гипотезаның ықтималдығына тең болатын ерекше жағдай ретінде формулируется. Егер гипотеза болса, ал байқаулар болса, шартты тәуелсіздікті теңдік түрінде жазуға болады:
In probability theory, conditional independence describes situations wherein an observation is irrelevant or redundant when evaluating the certainty of a hypothesis. Conditional independence is usually formulated in terms of conditional probability, as a special case where the probability of the hypothesis given the uninformative observation is equal to the probability without. If is the hypothesis, and and are observations, conditional independence can be stated as an equality:
мұнда – екі және берілгендегі ықтималдық, ал – екі және берілгендегі ықтималдық. Бұл теңдік екенін көрсетеді, яғни берілгенде қосымша ақпарат бермейді. Осы жағдайда, екі айнымалы берілгенде шартты тәуелсіз деп есептеледі және символдық түрде былай жазылады: Себептік теңдік нотациясының тілінде, егер екі функция және ортақ айнымалыға тәуелді болса, олар шартты тәуелсіз деп сипатталады, бұл нотацияға тең. Шартты тәуелсіздік түсінігі – статистикалық қорытындылардың графиктерге негізделген теориялары үшін өте маңызды, себебі ол шартты мәлімдемелер жинағы мен графоид арасындағы математикалық байланысты белгілейді.
where is the probability of given both and Since the probability of given is the same as the probability of given both and , this equality expresses that contributes nothing to the certainty of In this case, and are said to be conditionally independent given , written symbolically as: In the language of causal equality notation, two functions and which both depend on a common variable are described as conditionally independent using the notation , which is equivalent to the notation
The concept of conditional independence is essential to graph based theories of statistical inference, as it establishes a mathematical relation between a collection of conditional statements and a graphoid.
Жақындық және кешіктіру
A және B оқиғалары А және В адамдарының кешкі асқа үйде болу ықтималдығы ретінде анықталсын, мұнда екі адам да бүкіл әлемнен кездейсоқ таңдалады. A және B оқиғалары тәуелсіз деп қарастыруға болады, яғни А-ның кешіккенін білу В-ның кешігу ықтималдығына ешқандай немесе минималді ғана әсер етеді. Дегенмен, егер үшінші оқиға енгізілсе, А және В адамдары бір ауданда тұрады десек, бұл екі оқиға енді шартты тәуелсіз емес деп есептеледі. Қозғалыс жағдайы және ауа райының салдарынан А адамның кешігуі мүмкін, сондай-ақ В адамның да кешігуіне себеп болуы мүмкін. Осы үшінші оқиғаны және А адамның кешіккенін білген кезде, В адамның кешігу ықтималдығы мағыналы түрде өзгереді.
Let events A and B be defined as the probability that person A and person B will be home in time for dinner where both people are randomly sampled from the entire world. Events A and B can be assumed to be independent i. e. knowledge that A is late has minimal to no change on the probability that B will be late. However, if a third event is introduced, person A and person B live in the same neighborhood, the two events are now considered not conditionally independent. Traffic conditions and weather related events that might delay person A, might delay person B as well. Given the third event and knowledge that person A was late, the probability that person B will be late does meaningfully change.
Құлақты айналдыру
Шартты тәуелсіздік үшінші оқиғаның мәніне байланысты. Егер екі ойыншық текше тастасаңыз, екі текше бір-бірінен тәуелсіз деп есептеуге болады. Бір текшенің нәтижесіне қарап, екінші текшенің нәтижесі туралы ештеңе біле алмайсыз. (Яғни, екі текше тәуелсіз.) Бірақ, егер бірінші текшенің нәтижесі 3 болса, және біреу сізге үшінші оқиға – екі нәтиже қосындысы жұп сан болатыны туралы айтса, онда бұл қосымша ақпарат екінші текшенің нәтижесіне тақ сан болу мүмкіндігін ғана қалдырады. Басқаша айтқанда, екі оқиға тәуелсіз болуы мүмкін, бірақ шартты түрде тәуелсіз болмайды. Мұнда және мәндері "ақылды" және "спорттық" болып алынады.
Conditional independence depends on the nature of the third event. If you roll two dice, one may assume that the two dice behave independently of each other. Looking at the results of one dice will not tell you about the result of the second dice. (That is, the two dice are independent.) If, however, the 1st dice's result is a 3, and someone tells you about a third event that the sum of the two results is even then this extra unit of information restricts the options for the 2nd result to an odd number. In other words, two events can be independent, but NOT conditionally independent. where and take the values "brainy" and "sporty".
Кездейсоқ векторлардың шартты тәуелсіздігі
Екі кездейсоқ векторлар және үшінші кездейсоқ вектор берілгенде, егер және тек егер олар берілген шартты жиынтық үлестірілімінде тәуелсіз болса, шартты түрде тәуелсіз болады. Формалды түрде:
Two random vectors and are conditionally independent given a third random vector if and only if they are independent in their conditional cumulative distribution given Formally:
мұнда , және , ал шартты жиынтық үлестірілімдер былай анықталады.
where , and and the conditional cumulative distributions are defined as follows.
Бейестік тұжырымдауда қолданылуы
p – алдағы референдумда «иә» деп дауыс беретін сайлаушылардың үлесі. Пікір сауалнамасын жүргізу кезінде халықтан n сайлаушы кездейсоқ түрде таңдалады. i = 1, …, n үшін, i-ші таңдалған сайлаушы «иә» деп дауыс беретін болса Xi = 1, ал дауыс бермейтін болса 0 болады. Статистикалық қорытындылар жасауда жиішіл тәсіл қолданғанда, p-ге ешқандай ықтималдық үлестірілімі жатқызылмайды (егер ықтималдықтар қандай да бір оқиғаның немесе халықтың үлесінің салыстырмалы жиілігі ретінде түсіндірілмесе) және X1, …, Xn тәуелсіз кездейсоқ айнымалылар деп есептеледі. Керісінше, Байес тәсілімен статистикалық қорытындылар жасағанда, p-ге кез келген «жиілік» түсіндірмесіне қарамастан ықтималдық үлестірілімі беріледі және ықтималдықтар p-нің ықтималдық тағайындалған кез келген аралықта болуына сену дәрежесі ретінде қарастырылады. Бұл модельде X1, …, Xn кездейсоқ айнымалылары тәуелсіз емес, бірақ олар p-нің мәні белгілі болғанда шартты түрде тәуелсіз. Атап айтқанда, егер X-тің көп саны 1-ге тең деп байқалса, бұл байқау ескерілгенде p-нің 1-ге жақын болуының жоғары шартты ықтималдығын, сондай-ақ келесі X-тің 1-ге тең болуының жоғары шартты ықтималдығын білдіреді.
Let p be the proportion of voters who will vote "yes" in an upcoming referendum. In taking an opinion poll, one chooses n voters randomly from the population. For i = 1, , n, let Xi = 1 or 0 corresponding, respectively, to whether or not the ith chosen voter will or will not vote "yes". In a frequentist approach to statistical inference one would not attribute any probability distribution to p (unless the probabilities could be somehow interpreted as relative frequencies of occurrence of some event or as proportions of some population) and one would say that X1, , Xn are independent random variables. By contrast, in a Bayesian approach to statistical inference, one would assign a probability distribution to p regardless of the non existence of any such "frequency" interpretation, and one would construe the probabilities as degrees of belief that p is in any interval to which a probability is assigned. In that model, the random variables X1, , Xn are not independent, but they are conditionally independent given the value of p. In particular, if a large number of the Xs are observed to be equal to 1, that would imply a high conditional probability, given that observation, that p is near 1, and thus a high conditional probability, given that observation, that the next X to be observed will be equal to 1.