Кіріспе

Абстракт алгебрада модуль нөлдік емес және екі нөлдік емес кіші модульдің тікелей қосындысы түрінде жазылмайтын болса, ол ажыратылмайтын болып саналады. Ажыратылмайтын ұғымы қарапайым модульге (кейде қысқартылмайтын модуль деп те аталады) қарағанда әлсіз: қарапайым дегеніміз – "тиісті кіші модуль жоқ" N < M, ал ажыратылмайтын – "1=N ⊕ P = M түрінде өрнектелмейді". Ажыратылмайтын модульдердің тікелей қосындысы толық ажыратылатын деп аталады; бұл жартылай қарапайым болудан әлсіз, яғни қарапайым модульдердің тікелей қосындысы. Модульді ажыратылмайтын модульдерге тікелей қосындыға жіктеу ажыратылмайтын жіктеу деп аталады.

Өңір

Модульдер өрістер үстінде векторлық кеңістіктер болып табылады. Векторлық кеңістік тек қана өлшемі 1 болғанда ғана бөлшектенбейді. Сондықтан, кез келген векторлық кеңістік толықтай ыдырайды (іс жүзінде, жартылай қарапайым), өлшемі шексіз болса, онда шексіз көп қосылғыштар болады.

Негізгі идеалдық домен

Түпкілікті қалыптасқан модульдер негізгі идеалдық домендерде (PID) негізгі идеалдық домендегі түпкілікті қалыптасқан модульдер үшін құрылым теоремасы бойынша жіктеледі: негізгі ыдырау – ыдыратылатын модульдерге ыдырау, сондықтан кез келген PID-дегі түпкілікті қалыптасқан модуль толығымен ыдыратылады. R/pn формасындағы модульдер, p – жай идеалдар (оның ішінде 1=p = 0, бұл R-ді береді) бөлшектенбейтін болып табылады. Кез келген R модуль осылардың тікелей қосындысы болып табылады. Бұл тек қана 1=n = 1 (немесе 1=p = 0) болғанда ғана қарапайым екенін ескеріңіз; мысалы, 4 реттік циклдік топ, Z/4, бөлшектенбейтін, бірақ қарапайым емес – оның 2 реттік 2Z/4 кіші тобы бар, бірақ оның толықтырғышы жоқ. Z бүтін сандарының модульдері Абель топтары болып табылады. Түпкілікті қалыптасқан Абель тобы егер және тек егер ол Z-ге немесе Z/pnZ түріндегі факторлық топқа, p – жай сан және n – оң бүтін сан үшін изоморф болса, онда ғана бөлшектенбейтін болып табылады. Кез келген түпкілікті қалыптасқан Абель тобы (шектеусіз көп) бөлшектенбейтін Абель топтарының тікелей қосындысы болып табылады. Дегенмен, түпкілікті қалыптасқан емес басқа да бөлшектенбейтін Абель топтары бар; мысалдар – рационалды сандар Q және кез келген жай сан p үшін Prüfer p топтары Z(p∞).

Белгілі бір оң бүтін сан n үшін, шын сандардан (немесе кез келген басқа K өрісінен) кірістері бар R n x n матрицаларының сақинасын қарастырыңыз. Сонда Kn – сол R модулі (скалярлық көбейту – матрицалық көбейту). Бұл R бойынша изоморфизмге дейін жалғыз бөлшектенбейтін модуль. Кез келген сол R модуль осы Kn модулінің көшірмелерінің (шектеулі немесе шексіз көп) тікелей қосындысы болып табылады.

Фактілер

Кез келген қарапайым модуль бөлшектеуге келмейтін. Жоғарыдағы екінші мысал көрсеткендей, керісі шарт әдетте дұрыс емес. Модульдің эндоморфизм сақинасын қарастыру арқылы модульдің бөлшектеуге келмейтінін анықтауға болады: эндоморфизм сақинасында 0 және 1-ден өзге идемпотент элемент болмаса ғана. (Егер f – M модулінің мұндай идемпотент эндоморфизмі болса, онда M, ker(f) және im(f) тікелей қосындысы болады.) Шекті ұзындығы бар модуль, оның эндоморфизм сақинасы жергілікті болса ғана бөлшектеуге келмейді. Фитинг леммасы шекті ұзындығы бар бөлшектеуге келмейтін модульдердің эндоморфизмі туралы толыққанды ақпарат береді. Шекті ұзындықтағы жағдайда бөлшектеу өте пайдалы, себебі Крулл-Шмидт теоремасы бойынша: кез келген шекті ұзындығы бар модуль, шекті сандағы бөлшектеуге келмейтін модульдердің тікелей қосындысы ретінде жазылуы мүмкін, және бұл бөлшектеу негізінен бірегей (егер сізде бөлшектеуге келмейтін модульдерге қатысты басқа бөлшектеу болса, онда бірінші бөлшектеудің қосылғыштары екінші бөлшектеудің қосылғыштарымен жұптастырылуы мүмкін, сонда әр жұптың элементтері изоморфты болады).