Введение

В абстрактной алгебре модуль называется неразложимым, если он ненулевой и не может быть представлен как прямая сумма двух ненулевых подмодулей. Неразложимость – это более слабое понятие, чем простой модуль (который также иногда называют неприводимым модулем): простой означает отсутствие собственных подмодулей, то есть не существует подмодуля N < M, а неразложимый – "не представим в виде 1 = N ⊕ P = M". Прямая сумма неразложимых модулей называется полностью разложимым; это понятие слабее, чем полупростой модуль, который является прямой суммой простых модулей. Разложение модуля на неразложимые модули, представленное в виде прямой суммы, называется неразложимым разложением.

Поле

Модули над полями являются векторными пространствами. Векторное пространство неразложимо тогда и только тогда, когда его размерность равна 1. Следовательно, любое векторное пространство полностью разложимо (и даже полупросто), с бесконечным числом прямых слагаемых, если его размерность бесконечна.

Основная идеальная область

Конечно порожденные модули над основными идеальными областями (PID) классифицируются теоремой о структуре для конечно порожденных модулей над основной идеальной областью: первичное разложение является разложением на неразложимые модули, поэтому каждый конечно порожденный модуль над PID полностью разложим. Явно, модули вида R/pn для простых идеалов p (включая 1=p = 0, что дает R) являются неразложимыми. Каждый конечно порожденный R-модуль является прямой суммой таких модулей. Обратите внимание, что модуль является простым тогда и только тогда, когда 1=n = 1 (или 1=p = 0); например, циклическая группа порядка 4, Z/4, является неразложимой, но не простой – она имеет подгруппу 2Z/4 порядка 2, но у этой подгруппы нет дополнения. Над кольцом целых чисел Z модули представляют собой абелевы группы. Конечно порожденная абелева группа является неразложимой тогда и только тогда, когда она изоморфна Z или фактор-группе вида Z/pnZ для некоторого простого числа p и некоторого положительного целого числа n. Каждая конечно порожденная абелева группа является прямой суммой (конечно многих) неразложимых абелевых групп. Однако существуют и другие неразложимые абелевы группы, которые не являются конечно порожденными; примерами являются рациональные числа Q и группы Прюфера p-порядка Z(p∞) для любого простого числа p.

Для фиксированного положительного целого числа n рассмотрим кольцо R из n × n матриц с элементами из действительных чисел (или из любого другого поля K). Тогда Kn является левым R-модулем (скалярное умножение – умножение матрицы). Этот модуль, с точностью до изоморфизма, является единственным неразложимым модулем над R. Каждый левый R-модуль является прямой суммой (конечно или бесконечно многих) копий этого модуля Kn.

Факты

Каждый простой модуль неразложим. Обратное, как показывает второй пример выше, не всегда верно. По кольцу эндоморфизмов модуля можно определить, является ли модуль неразложимым: это происходит тогда и только тогда, когда кольцо эндоморфизмов не содержит идемпотентного элемента, отличного от 0 и 1. (Если f – такой идемпотентный эндоморфизм M, то M является прямой суммой ker(f) и im(f).) Модуль конечной длины неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально. Лемма Фитинга предоставляет еще больше информации об эндоморфизмах неразложимых модулей конечной длины. Разложение на неразложимые особенно полезно в случае модулей конечной длины благодаря теореме Крулла — Шмидта: любой модуль конечной длины можно представить в виде прямой суммы конечного числа неразложимых модулей, и это разложение по существу единственно (то есть, если существует другое разложение на неразложимые, то слагаемые первого разложения можно установить во взаимно-однозначное соответствие со слагаемыми второго разложения так, чтобы элементы каждой пары были изоморфны).