Кіріспе
Алгебрада модульге қатысты бүтін сан. Алгебрада модульдің ұзындығы – оның мөлшерін өлшейтін векторлық кеңістіктің өлшемінің жалпыламасы. Ол ең ұзын субмодульдер тізбегінің ұзындығы ретінде анықталады. Шектелген ұзындығы бар модульдер – шекті жасалған модульдер, бірақ векторлық кеңістіктерге керісінше, көптеген шекті жасалған модульдердің шексіз ұзындығы бар. Шектелген ұзындығы бар шекті жасалған модульдер Артиний модульдері деп те аталады және Артиний сақиналары теориясының негізін құрайды. Векторлық кеңістіктер үшін ұзындық өлшемге тең. Бұл коммутативтік алгебра мен алгебралық геометрияда орын алмайды, онда шекті ұзындық тек өлшем нөлге тең болғанда ғана кездеседі. Алгебралық сан алуандықтың дәрежесі – сан алуандықтың жалпы гипержазықтықтармен қиылысынан пайда болған нөлдік өлшемді алгебралық жиынға қатысты сақинаның ұзындығы. Алгебралық геометрияда қиылысудың көптігі белгілі бір модульдің ұзындығы ретінде анықталады.
In algebra, the length of a module is a generalization of the dimension of a vector space which measures its size. page 153 It is defined to be the length of the longest chain of submodules. The modules of finite length are finitely generated modules, but as opposite to vector spaces, many finitely generated modules have an infinite length. Finitely generated modules of finite length are also called Artinian modules and are at the basis of the theory of Artinian rings. For vector spaces, the length equals the dimension. This is not the case in commutative algebra and algebraic geometry, where a finite length may occur only when the dimension is zero. The degree of an algebraic variety is the length of the ring associated to the algebraic set of dimension zero resulting from the intersection of the variety with generic hyperplanes. In algebraic geometry, the intersection multiplicity is commonly defined as the length of a specific module.
Модульдің ұзындығы
Кез келген сақина үстінде (сол немесе оң) модуль болсын. Егер модульдердің тізбегі мына түрде берілсе:
онда осы тізбектің ұзындығы деп айтылады. Егер R өріс болса, онда кері теорема да дұрыс.
Нөл модулі
0 модуль – ұзындығы 0 болатын жалғыз модуль.
Қарапайым модульдер
Ұзындығы 1-ге тең модульдер нақты қарапайым модульдер болып табылады.
Z-ге артиниан модульдері
Циклдік топтың ұзындығы (Z бүтін сандарының модулі ретінде қарастырылғанда) , еселенген жай факторларды ескере отырып, жай факторлардың санына тең. Бұл , оның оң бөлгіштерімен бір-бірге сәйкестікте болатын оның ішкі модульдерінен туындайды, ал бұл сәйкестік негізгі идеал сақинасы екендігінен келіп шығады.
Көптік теорияда қолдану
Кесілу теориясының қажеттілігі үшін Жан-Пьер Серр нүктелік көптік туралы жалпы ұғымды енгізді, оны осы нүктеге қатысты Артиниялық жергілікті сақинаның ұзындығы ретінде қарастырды. Алғашқы қолданылуы – қиылыс көптігінің толық анықтамасы болды, және әсіресе, Безу теоремасының тұжырымы, онда n алгебралық гипербеттердің n өлшемді проективтік кеңістіктегі қиылысу нүктелерінің көптіктерінің қосындысы шексіз немесе гипербеттер дәрежелерінің көбейтіндісіне тең делінеді. Бұл көптік анықтамасы өте жалпы, және алгебралық көптік туралы бұрынғы ұғымдардың көпшілігін ерекше жағдайлар ретінде қамтиды.
Нөлдер мен полюстердің жоғалу реті
Көптіктің жалпы анықтамасының ерекше жағдайы — алгебралық түрлілікте нөлдік емес алгебралық функцияның жоғалу реті. Алгебралық сорт және 1 кодименсиялы субсорт берілгенде, субсорт бойымен алынған сабағымен анықталатын жергілікті сақина 22-бетте келтірілген. Егер сорт аффиналық болса және ол жоғалу локусымен анықталса, онда изоморфизм бар. Бұл идея рационалдық функцияларға да қолданылады, онда рет былай анықталады: Көбірек жағдайда, Вейерштрасс факторлау теоремасын қолдана отырып, мероморфтық функцияны мына түрде жіктеуге болады: бұл сан және бөлімде сызықтық көпмүшелердің (мүмкін шексіз) көбейтіндісі болып табылады.