Введение

В алгебре, целое число, ассоциированное с модулем. В алгебре, длина модуля является обобщением размерности векторного пространства, которое измеряет его величину. Страница 153. Она определяется как длина самой длинной цепи подмодулей. Модули конечной длины являются конечно порожденными модулями, но, в отличие от векторных пространств, многие конечно порожденные модули имеют бесконечную длину. Конечно порожденные модули конечной длины также называются артиновыми модулями и являются основой теории артиновых колец. Для векторных пространств длина равна размерности. Это не имеет места в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, где конечная длина может возникать только при нулевой размерности. Степень алгебраического многообразия – это длина кольца, ассоциированного с алгебраическим множеством нулевой размерности, полученного в результате пересечения многообразия с общими гиперплоскостями. В алгебраической геометрии кратность пересечения обычно определяется как длина конкретного модуля.

Длина модуля

Пусть M — (левый или правый) модуль над некоторым кольцом R. При наличии цепочки подмодулей вида

M₀ ⊂ M₁ ⊂ … ⊂ Mₙ = M,

говорят, что n — длина этой цепочки. Если R — поле, то верно и обратное утверждение.

Нулевой модуль

Нулевой модуль — единственный, имеющий длину 0.

Простые модули

Модули длины 1 являются как раз простыми модулями.

Артинийские модули над Z

Длина циклической группы (рассматриваемой как модуль над целыми числами Z) равна числу простых множителей числа *n*, при этом кратные простые множители учитываются соответствующее число раз. Это следует из того, что подмодули группы Z/*n* находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителями *n*, а это соответствие, в свою очередь, обусловлено тем, что Z является кольцом главных идеалов.

Использование в теории множественности

Для нужд теории пересечений Жан-Пьер Серр ввёл общее понятие мультиплицитивности точки, определяемое как длина артинова локального кольца, связанного с этой точкой. Первым применением стало полное определение мультиплицитивности пересечений и, в частности, формулировка теоремы Безу, утверждающей, что сумма мультиплицитивностей точек пересечения n алгебраических гиперповерхностей в n-мерном проективном пространстве либо бесконечна, либо равна точно произведению степеней этих гиперповерхностей. Это определение мультиплицитивности является весьма общим и включает в себя большинство предыдущих понятий алгебраической мультиплицитивности как частные случаи.

Порядок исчезновения нулей и полюсов

Особым случаем этого общего определения кратности является порядок исчезновения ненулевой алгебраической функции на алгебраическом многообразии. Пусть дано алгебраическое многообразие и подмногообразие коразмерности 1, где — локальное кольцо, определяемое ростком вдоль подмногообразия (стр. 22). Если — аффинное многообразие, и оно задано как множество нулей, то существует изоморфизм. Эта идея может быть расширена на рациональные функции на многообразии, где порядок определяется как. В более общем случае, используя теорему факторизации Вейерштрасса, мероморфная функция раскладывается в виде, что является (возможно, бесконечным) произведением линейных многочленов как в числителе, так и в знаменателе.