Кіріспе
Математикада инволют (сонымен қатар эволют деп те аталады) – басқа пішінге немесе қисыққа тәуелді қисықтардың белгілі бір түрі. Қисықтың инволютасы – қисықтан жіп оралып немесе керілгенде, жіптегі бір нүктенің қозғалыс траекториясы. Инволюттың эволютасы – бастапқы қисық. Бұл қисықтар рулетка отбасымен жалпыланады. Яғни, қисықтың инволюттары – түзу сызық арқылы жасалған қисықтың рулеткалары. Инволют және эволют ұғымдарын Кристиан Гюйгенс «Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae» (1673) атты еңбегінде енгізді, онда циклоидтың инволютасы да циклоид екенін көрсетті, соның арқасында тербеліс амплитудасына тәуелсіз кезеңге ие циклоидты маятник жасауға болатындығын дәлелдеді.
In mathematics, an involute (also known as an evolvent) is a particular type of curve that is dependent on another shape or curve. An involute of a curve is the locus of a point on a piece of taut string as the string is either unwrapped from or wrapped around the curve. The evolute of an involute is the original curve. It is generalized by the roulette family of curves. That is, the involutes of a curve are the roulettes of the curve generated by a straight line. The notions of the involute and evolute of a curve were introduced by Christiaan Huygens in his work titled Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae (1673), where he showed that the involute of a cycloid is still a cycloid, thus providing a method for constructing the cycloidal pendulum, which has the useful property that its period is independent of the amplitude of oscillation.
Қалқалар
Бұл бөлім негізге алынған. Инволюттарда екі түрлі кусп кездеседі. Бірінші түрі – инволюта қисықтың өзіне жанасқан нүктеде. Бұл 3/2 ретті кусп. Екінші түрі – қисықтың бұрылыс нүктесі орналасқан жерде. Бұл 5/2 ретті кусп. Бұл құбылысты қисықтың доғалық ұзындығымен параметризацияланған және қисықтың нүктедегі еңіс бұрышы арқылы анықталатын картаны құру арқылы көруге болады. Бұл карта 2D жазықтықты 3D кеңістіктегі бетке бейнелейді. Мысалы, шеңбер бір қабатты гиперболоидқа айналады. Осы карта бойынша инволюттар үш қадамдық процесте құрылады: координаталарды картаға түсіру, содан кейін 3D кеңістіктегі бетке бейнелеу, және содан кейін z осьін жойып, жазықтыққа проекциялау: мұнда – кез келген нақты тұрақты сан. картасының барлық нүктеде нөлдік емес туындысы болғандықтан, инволютаның кусптары тек қана туындысы тік (z осьіне параллель) болатын жерде ғана пайда болуы мүмкін, ал мұндай жағдай тек 3D кеңістіктегі беттің тік жанасу жазықтығына ие болған жерде ғана мүмкін. Әдетте, беттің тік жанасу жазықтығы екі жағдайда ғана кездеседі: бет қисыққа жанасқанда және қисықтың бұрылыс нүктесі болғанда.
3/2 реттік шарықтау шеті
Бірінші тип үшін, шеңбердің инволютасынан бастауға болады, содан кейін теңдеуін орнатып, кішкентай үшін кеңейтіп, осылайша 3/2 ретіндегі қисық, яғни жартылай кубикалық параболаны алуға болады.
5/2 реттік шарықтау шеті
Екінші тип үшін қисықты қарастырайық. -тан -ға дейінгі доғаның ұзындығы , ал нүктесіндегі жанаманың бұрышы болады. Осылайша, нүктесінен қашықтықта басталатын инволютаның параметрлік формуласы: оны -ге дейін кеңейтсек, мынаны аламыз, бұл 5/2 тәртібіндегі тұғыр. Нақтырақ айтқанда, : теңдеуін қанағаттандыратын көпмүшелік кеңейтуді табуға болады, немесе бұл тұғырдың пішінін анық көрсетеді. -ны қойсақ, бастапқы нүктеден өтетін инволюта аламыз. Оның ерекшелігі – оның тұғыры жоқ. Катарлық кеңейту арқылы оның параметрлік теңдеуі: немесе.
Жарты кубикалық параболаның инвольтілері
Параметрлік теңдеу жартылай кубикалық параболаны сипаттайды. Одан және тізбекті кеңейту арқылы келесі есептеулер қатты жеңілдеді, сондай-ақ t-ні жою арқылы бұл инволюта парабола екені көрінеді. Басқа инволюттар параболаның параллель қисықтары болып табылады, және олар алтыншы дәрежелі қисықтар болғандықтан, параболалар емес (Қараңыз).
Eliminating t yields showing that this involute is a parabola. The other involutes are thus parallel curves of a parabola, and are not parabolas, as they are curves of degree six (See ).
Инволюта және эволюция
Берілген қисықтың эволютасы – оның иіс радиусы орталықтарынан тұрады. Инволюталар мен эволюталар арасында келесі қатынас орын алады:
Кез келген инволютасының эволютасы – берілген қисық.
Қолдану
Қазіргі заманғы тірек тістерінің ең көп таралған пішіндері шеңбердің инволюталары болып табылады. Инволютті тістік жүйесінде екі байланысқан тістің тістері бір түзу сызық бойымен қозғалатын бір сәттегі нүктеде жанасады. Жанасқан тістердің бір-біріне түсіретін күштері де осы сызық бойынша бағытталады және тістерге перпендикуляр болады. Осы шарттарды сақтайтын инволютті тістік жүйесі тістіктердің негізгі заңына сәйкес келеді: екі тістің арасындағы бұрыштық жылдамдықтардың қатынасы тұрақты болуы керек. Басқа пішінді тістерде тізбектеп келетін тістердің әсерінен салыстырмалы жылдамдық пен күштер өзгереді, бұл дірілге, шуға және артық тозуға әкеледі. Осы себепті, қазіргі заманғы жазық тістік жүйелерінің көпшілігі инволютті немесе оған байланысты циклоидты тістік жүйесі болып табылады. Шеңбердің инволютасы газды сығу саласында да маңызды пішін, себебі осы пішінге негізделген спиральды компрессорды жасауға болады. Спиральды компрессорлар дәстүрлі компрессорларға қарағанда аз шу шығарады және тиімділігі жоғары екені дәлелденді. Жоғары ағынды изотоптық реакторда инволют пішінді отын элементтері қолданылады, өйткені олар салқындатқыш үшін олардың арасындағы тұрақты енді каналды қамтамасыз етеді.