Введение

Кривая, описываемая нитью при её разматывании с другой кривой.

В математике инволюта (также известная как эволюта) — это особый тип кривой, зависящий от другой формы или кривой. Инволютой кривой является геометрическое место точки на натянутой нити при её разматывании или наматывании на кривую. Эволютой инволюты является исходная кривая. Она обобщается семейством кривых рулетки. То есть, инволюты кривой являются рулетками, генерируемыми этой кривой прямой линией. Понятия инволюты и эволюты кривой были введены Кристианом Гюйгенсом в его труде «Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae» (1673), где он показал, что инволюта циклоиды остаётся циклоидой, тем самым предоставив метод построения циклоидального маятника, обладающего полезным свойством – периодом, не зависящим от амплитуды колебаний.

Куспы

Этот раздел основан на. В инволютах существует два типа куспидов. Первый тип – это точка, где инволюта касается самой кривой. Это куспид порядка 3/2. Второй тип – это точка, где кривая имеет точку перегиба. Это куспид порядка 5/2. Это можно визуально увидеть, построив отображение, определяемое как где – параметризация длины дуги кривой, а – угол наклона кривой в данной точке. Это отображает 2D-плоскость на поверхность в 3D-пространстве. Например, это отображает окружность в однополостный гиперболоид. С помощью этого отображения инволюты получаются в трехэтапном процессе: отображение в , затем на поверхность в , а затем проекция вниз путем удаления оси z: где – любая действительная константа. Поскольку отображение имеет ненулевую производную во всех точках, куспиды инволюты могут возникать только там, где производная вертикальна (параллельна оси z), что возможно только там, где поверхность в имеет вертикальную касательную плоскость. В общем случае, поверхность имеет вертикальные касательные плоскости только в двух случаях: где поверхность касается кривой, и где кривая имеет точку перегиба.

Купица порядка 3/2

Для первого типа можно начать с инволюты окружности, задаваемой уравнением, затем положить , и разложить в ряд по малым , чтобы получить, таким образом, кривую порядка 3/2 – полукубическую параболу.

Купола порядка 5/2

Для второго типа рассмотрим кривую. Дуга от до имеет длину , а касательная в точке имеет угол . Таким образом, инволюта, начинающаяся в точке на расстоянии , имеет параметрическое представление. Разложив его в ряд до порядка , получим, что является точкой возврата порядка 5/2. Явно можно найти полиномиальное разложение, удовлетворяемое : или что наглядно демонстрирует форму точки возврата. Приравняв , получим инволюту, проходящую через начало координат. Она особенна тем, что не содержит точки возврата. При разложении в ряд она имеет параметрическое уравнение или .

Инволиты полукубической параболы

Параметрическое уравнение описывает полукубическую параболу. Из этого следует, что и . Увеличение интервала на значительно упрощает дальнейшие вычисления, и получается устранение параметра t, показывающее, что эта инволюта является параболой. Другие инволюты, таким образом, являются параллельными кривыми параболы, но не являются самими параболами, поскольку они являются кривыми шестой степени (см.).

Инволют и эволют

Эволюта заданной кривой состоит из центров кривизны. Между инволютами и эволютами справедливо следующее утверждение:

Кривая является эволютой любой из своих инволют.

Применение

Наиболее распространенными профилями современных зубьев являются инволюты окружности. В системе зубчатых передач с инволютным профилем зубья двух взаимодействующих шестерен соприкасаются в одной мгновенной точке, которая движется по прямой линии действия. Силы, действующие между соприкасающимися зубьями, также направлены вдоль этой линии и перпендикулярны зубьям. Система инволютных передач, поддерживающая эти условия, соответствует фундаментальному закону зацепления: отношение угловых скоростей между двумя шестернями должно оставаться постоянным на протяжении всего процесса. Зубья другой формы приводят к изменению относительных скоростей и сил при последовательном зацеплении, вызывая вибрацию, шум и повышенный износ. По этой причине почти все современные плоские зубчатые передачи либо инволютные, либо основаны на связанных циклоидальных профилях. Инволюта окружности также важна в области компрессии газов, поскольку на ее основе можно построить спиральный компрессор. Спиральные компрессоры работают тише, чем традиционные, и доказали свою высокую эффективность. В реакторе с высоким потоком изотопов используются топливные элементы с инволютным профилем, поскольку они обеспечивают постоянную ширину каналов между ними для циркуляции охлаждающей жидкости.