Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Қисықтың қисықтық орталықтары
Centers of curvature of a curve
Қисықтардың дифференциалдық геометриясында, қисықтың эволюциясы – оның барлық қисықтық орталықтарының орны болып табылады. Яғни, қисықтағы әрбір нүктесіне қисықтық орталығы салынғанда, пайда болатын пішін сол қисықтың эволюциясы болады. Сондықтан, шеңбердің эволюциясы – оның центріндегі жалғыз нүкте болып табылады. Балама ретінде, эволюция – қисықтың нормальдарының жабық сызығы. Қисықтың, беттің немесе жалпы алғанда, субкөптүрліліктің эволюциясы – нормальдық картаның каустикасы. M – Rⁿ кеңістігіндегі тегіс, тұрақты субкөптүрлік болсын. M-ге нормальды және p нүктесіне негізделген әрбір 'v' векторы үшін біз p + 'v' нүктесін сәйкестендіреміз. Бұл нормальдық карта деп аталатын Лагранж картасын анықтайды. Нормальдық картаның каустикасы – M-нің эволюциясы.
In the differential geometry of curves, the evolute of a curve is the locus of all its centers of curvature. That is to say that when the center of curvature of each point on a curve is drawn, the resultant shape will be the evolute of that curve. The evolute of a circle is therefore a single point at its center. Equivalently, an evolute is the envelope of the normals to a curve. The evolute of a curve, a surface, or more generally a submanifold, is the caustic of the normal map. Let M be a smooth, regular submanifold in 'R'^(n). For each point p in M and each vector 'v', based at p and normal to M, we associate the point p + 'v'. This defines a Lagrangian map, called the normal map. The caustic of the normal map is the evolute of M.
Эволюциялар инволютамен тығыз байланысты: қисық – оның кез келген инволютасының эволюциясы болып табылады.
Evolutes are closely connected to involutes: A curve is the evolute of any of its involutes.
Тарих
Аполлоний (б.з.д. 200 ж.) өзінің "Коника" кітабының V кітабында эволюцияларды талқылады. Дегенмен, Гюйгенс оларды алғаш зерттеген деп саналады (1673). Гюйгенс шамамен 1659 жылы таутохрон қисығын табу мәселесін шешу үшін эволюциялар теориясын жасады, бұл өз кезегінде оған изохронды маятник құрастыруға көмектесті. Себебі таутохрон қисығы – циклоид, ал циклоидтың ерекше қасиеті – оның эволюциясы да циклоид болатындығы. Шындығында, эволюциялар теориясы Гюйгенске кейіннен есептеулерді пайдаланып қол жеткізілетін көптеген нәтижелерге қол жеткізуге мүмкіндік берді.
Apollonius ( 200 BC) discussed evolutes in Book V of his Conics. However, Huygens is sometimes credited with being the first to study them (1673). Huygens formulated his theory of evolutes sometime around 1659 to help solve the problem of finding the tautochrone curve, which in turn helped him construct an isochronous pendulum. This was because the tautochrone curve is a cycloid, and the cycloid has the unique property that its evolute is also a cycloid. The theory of evolutes, in fact, allowed Huygens to achieve many results that would later be found using calculus.
Лог-эстетикалық қисықтардың эволюциясы
Лог эстетикалық қисықтың эволюциясы – тағы бір лог эстетикалық қисық болып табылады. Осы қатынастың бір мысалы – Эйлер спиралының эволюциясы Цезаро теңдеуімен сипатталатын спираль.
The evolute of a log aesthetic curve is another log aesthetic curve. One instance of this relation is that the evolute of an Euler spiral is a spiral with Cesàro equation .
Радиалды қисық
Ұқсас анықтамасы бар қисық – берілген қисықтың радиалы. Кисықтың әрбір нүктесі үшін, нүктеден қисықтық центріне дейінгі векторды алып, оны координата басынан басталатындай жылжыту керек. Мұндай векторлардың соңғы нүктелерінің геометриялық орны қисықтың радиалы деп аталады. Радиалдың теңдеуі, эволюта теңдеуінен x және y мүшелерін жою арқылы шығарылады. Бұл нәтижеге келтіреді:
A curve with a similar definition is the radial of a given curve. For each point on the curve take the vector from the point to the center of curvature and translate it so that it begins at the origin. Then the locus of points at the end of such vectors is called the radial of the curve. The equation for the radial is obtained by removing the x and y terms from the equation of the evolute. This produces