Введение

Центры кривизны кривой

В дифференциальной геометрии кривых эволюта кривой — это геометрическое место всех её центров кривизны. Иными словами, если построить центр кривизны для каждой точки на кривой, то полученная фигура будет эволютой этой кривой. Эволюта окружности, следовательно, представляет собой единственную точку в её центре. Эквивалентно, эволюта — это огибающая нормалей к кривой. Эволюта кривой, поверхности или, в более общем случае, подмногообразия, является каустикой нормального отображения. Пусть M — гладкое, регулярное подмногообразие в Rⁿ. Для каждой точки p в M и каждого вектора v, исходящего из p и нормального к M, мы сопоставляем точку p + v. Это определяет лагранжево отображение, называемое нормальным отображением. Каустика нормального отображения является эволютой M.

Эволюты тесно связаны с инволютами: кривая является эволютой любого из своих инволютов.

История

Аполлоний (ок. 200 г. до н.э.) рассматривал эволюты в Книге V своего труда «Конические». Однако, иногда первенство в их изучении приписывают Гюйгенсу (1673). Гюйгенс сформулировал свою теорию эволют примерно в 1659 году, чтобы помочь в решении задачи нахождения таутохронной кривой, что, в свою очередь, позволило ему создать изохронный маятник. Это было связано с тем, что таутохронная кривая является циклоидой, а циклоида обладает уникальным свойством: её эволюта также является циклоидой. Теория эволют, по сути, позволила Гюйгенсу получить множество результатов, которые впоследствии были найдены с помощью математического анализа.

Эволюция логарифмических кривых

Эволюта логарифмической эстетической кривой является другой логарифмической эстетической кривой. Одним из проявлений этой зависимости является то, что эволюта спирали Эйлера представляет собой спираль с уравнением Чезаро.

Радиальная кривая

Кривая с аналогичным определением — радиал данной кривой. Для каждой точки на кривой возьмите вектор, идущий от этой точки к центру кривизны, и перенесите его так, чтобы начало вектора совпадало с началом координат. Тогда геометрическое место точек, являющихся концами таких векторов, называется радиалом кривой. Уравнение радиала получается вычеркиванием членов с x и y из уравнения эволюты. Это приводит к…