Кіріспе
Салмақталған болашақ ақша ағынының мерзімі Қаржы саласында облигация сияқты белгілі бір ақша ағындарынан тұратын қаржы активінің мерзімі – бұл аталған ақша ағындары алынғанға дейінгі уақыттың салмақталған орташа көрсеткіші. Егер активтің бағасы түсімділіктің функциясы ретінде қарастырылса, мерзім сондай-ақ түсімділікке бағаның сезімталдығын, түсімділікке қатысты бағаның өзгеру деңгейін немесе түсімділіктің параллель өзгеруіне бағаның пайыздық өзгеруін өлшейді. "Мерзім" сөзінің екі мағынада қолданылуы – төлемге дейінгі орташа уақыт және бағаның пайыздық өзгеруі – көбінесе шатасуға себеп болады. Қатаң айтқанда, Маколей мерзімі – ақша ағындары алынғанға дейінгі орташа салмақталған уақыт, ол жылдармен өлшенеді. Өзгертілген мерзім – бағаның сезімталдығын көрсетеді. Ол (1) еселенген облигация бағасының өзгеру деңгейі, оның түсімділігінің өзгеруіне байланысты. Екі өлшем де "мерзім" деп аталады және бірдей (немесе шамамен бірдей) сандық мәнге ие, бірақ олардың арасындағы түсінік айырмашылықтарын есте сақтау маңызды. Маколей мерзімі – жылдармен өлшенетін уақыт өлшемі және тек белгілі ақша ағындары бар құрал үшін ғана мағыналы. Стандартты облигация үшін Маколей мерзімі 0 мен облигацияның мерзімі аралығында болады. Ол облигация нөлдік купонды облигация болған жағдайда ғана мерзіміне тең болады. Өзгертілген мерзім, екінші жағынан, бағаның математикалық туындысы (өзгеріс деңгейі) болып табылады және түсімділікке қатысты бағаның пайыздық өзгеру деңгейін өлшейді. (Түсімділікке қатысты бағаның сезімталдығы абсолюттік (доллар немесе евро және т.б.) шарттарда да өлшенуі мүмкін, ал абсолютті сезімталдық көбінесе долларлық (евролық) мерзім, DV01, BPV немесе дельта (δ немесе Δ) тәуекелі деп аталады). Өзгертілген мерзім ұғымы пайыздық мөлшерлемеге сезімтал құралдарға, тұрақты емес ақша ағындарына да қолданылуы мүмкін, сондықтан Маколей мерзіміне қарағанда құралдардың кең ауқымына қолданылады. Қазіргі заманғы қаржыда Маколей мерзіміне қарағанда өзгертілген мерзім жиі қолданылады. Күнделікті қолдануда Маколей және өзгертілген мерзімнің теңдігі (немесе шамамен теңдігі) интуицияға көмектесе алады. Мысалы, стандартты он жылдық купондық облигацияның Маколей мерзімі 10 жылдан сәл кем болады, сондықтан өзгертілген мерзім (бағаның сезімталдығы) да 10%-дан сәл кем болады деп қорытынды жасауға болады. Сол сияқты, екі жылдық купондық облигацияның Маколей мерзімі 2 жылдан сәл төмен, ал өзгертілген мерзімі 2%-дан сәл төмен болады. Белгілі бір ақша ағындарын қарастырайық. Осы ақша ағындарының қазіргі құны: Маколей мерзімі былай анықталады: (1) мұнда: ақша ағындарын индекстейді, активтен алынған th ақша төлемінің қазіргі құны, th төлемді алуға дейінгі жылдар саны, активтен болашақ барлық ақша төлемдерінің қазіргі құны. Екінші өрнектегі бөлшек мүше – ақша ағынының жалпы ПВ-ға қатынасы. Бұл мүшелердің қосындысы 1,0-қа тең және салмақталған орташа үшін салмақ ретінде қызмет етеді. Осылайша, жалпы өрнек – ақша төлемдеріне дейінгі уақыттың салмақталған орташа көрсеткіші, мұнда салмақ – активтің қазіргі құнының ақша ағынына қарайтын үлесі. Барлық оң тұрақты ақша ағындары жиынтығы үшін салмақталған орташа көрсеткіш 0 (ең төменгі уақыт) немесе нақтырақ айтқанда, алғашқы төлемге дейінгі уақыт пен соңғы ақша ағынының уақыты аралығында болады. Маколей мерзімі соңғы мерзіміне тең болады, егер және тек қана мерзімі жеткенде бір төлем болса. Символдармен айтқанда, егер ақша ағындары ретпен болса, онда: теңсіздіктер қатаң болады, егер бір ғана ақша ағыны болмаса. Стандартты облигациялар үшін (ақша ағыны тұрақты және оң) Маколей мерзімі тек нөлдік купонды облигация үшін облигация мерзіміне тең болады. Маколей мерзімінің диаграммалық түсіндірілімі 1-суретте көрсетілген. Бұл төмендегі мысалда талданған екі жылдық мерзімі бар облигация, купоны 20% және 3,9605% тұрақты жинақталған түсімділік. Шеңберлер төлемдердің қазіргі құнын көрсетеді, купондық төлемдер болашақта кішірейеді, ал соңғы үлкен төлем купондық төлемді де, негізгі төлемді де қамтиды. Егер бұл шеңберлерді теңгерімдегі арқалыққа қойсақ, арқалықтың тірек нүктесі (теңгерімдегі орталық) орташа салмақталған қашықтықты (төлемге дейінгі уақыт) білдіреді, бұл жағдайда 1,78 жыл. Көптеген практикалық есептеулер үшін Маколей мерзімі: (2) (3) мұнда: ақша ағындарын индекстеу, активтен алынған th ақша төлемінің қазіргі құны, активтен алынған th төлемінің ақша ағыны, активтің мерзіміне дейінгі түсімділік (тұрақты жинақталған), th төлемді алуға дейінгі жылдар саны, активтен мерзіміне дейінгі барлық ақша төлемдерінің қазіргі құны. Маколей екі баламалы өлшем берді: (1) өрнек – бұл Фишер-Вейль мерзімі, ол дисконттау факторлары ретінде нөлдік купонды облигациялардың бағаларын қолданады, және (3) өрнек – облигацияның мерзіміне дейінгі түсімділігін дисконттау факторларын есептеу үшін қолданады. Екі мерзімнің арасындағы негізгі айырмашылық Фишер-Вейль мерзімі еңіс түсімділік қисынына мүмкіндік береді, ал екінші форма түсімділіктің тұрақты мәніне негізделген, төлем мерзіміне қарай өзгеретін емес. Компьютерлерді пайдалану арқасында екі форманы да есептеуге болады, бірақ (3) өрнек, тұрақты түсімділік болғандықтан, өзгертілген мерзімге қолдануға байланысты көбірек қолданылады.
In finance, the duration of a financial asset that consists of fixed cash flows, such as a bond, is the weighted average of the times until those fixed cash flows are received. When the price of an asset is considered as a function of yield, duration also measures the price sensitivity to yield, the rate of change of price with respect to yield, or the percentage change in price for a parallel shift in yields. The dual use of the word "duration", as both the weighted average time until repayment and as the percentage change in price, often causes confusion. Strictly speaking, Macaulay duration is the name given to the weighted average time until cash flows are received and is measured in years. Modified duration is the name given to the price sensitivity. It is ( 1) times the rate of change in the price of a bond as a function of the change in its yield. Both measures are termed "duration" and have the same (or close to the same) numerical value, but it is important to keep in mind the conceptual distinctions between them. Macaulay duration is a time measure with units in years and really makes sense only for an instrument with fixed cash flows. For a standard bond, the Macaulay duration will be between 0 and the maturity of the bond. It is equal to the maturity if and only if the bond is a zero coupon bond. Modified duration, on the other hand, is a mathematical derivative (rate of change) of price and measures the percentage rate of change of price with respect to yield. (Price sensitivity with respect to yields can also be measured in absolute (dollar or euro, etc.) terms, and the absolute sensitivity is often referred to as dollar (euro) duration, DV01, BPV, or delta (δ or Δ) risk). The concept of modified duration can be applied to interest rate sensitive instruments with non fixed cash flows and can thus be applied to a wider range of instruments than can Macaulay duration. Modified duration is used more often than Macaulay duration in modern finance. For everyday use, the equality (or near equality) of the values for Macaulay and modified duration can be a useful aid to intuition. For example, a standard ten year coupon bond will have a Macaulay duration of somewhat but not dramatically less than 10 years and from this, we can infer that the modified duration (price sensitivity) will also be somewhat but not dramatically less than 10%. Similarly, a two year coupon bond will have a Macaulay duration of somewhat below 2 years and a modified duration of somewhat below 2%. Consider some set of fixed cash flows. The present value of these cash flows is:
The Macaulay duration is defined as:
(1)
where:
indexes the cash flows,
is the present value of the th cash payment from an asset,
is the time in years until the th payment will be received,
is the present value of all future cash payments from the asset. In the second expression the fractional term is the ratio of the cash flow to the total PV. These terms add to 1.0 and serve as weights for a weighted average. Thus the overall expression is a weighted average of time until cash flow payments, with weight being the proportion of the asset's present value due to cash flow
For a set of all positive fixed cash flows the weighted average will fall between 0 (the minimum time), or more precisely (the time to the first payment) and the time of the final cash flow. The Macaulay duration will equal the final maturity if and only if there is only a single payment at maturity. In symbols, if cash flows are, in order, , then:
with the inequalities being strict unless it has a single cash flow. In terms of standard bonds (for which cash flows are fixed and positive), this means the Macaulay duration will equal the bond maturity only for a zero coupon bond. Macaulay duration has the diagrammatic interpretation shown in figure 1. This represents the bond discussed in the example below two year maturity with a coupon of 20% and continuously compounded yield of 3.9605%. The circles represent the present value of the payments, with the coupon payments getting smaller the further in the future they are, and the final large payment including both the coupon payment and the final principal repayment. If these circles were put on a balance beam, the fulcrum (balanced center) of the beam would represent the weighted average distance (time to payment), which is 1.78 years in this case. For most practical calculations, the Macaulay duration is calculated using the yield to maturity to calculate the :
(2)
(3)
where:
indexes the cash flows,
is the present value of the th cash payment from an asset,
is the cash flow of the th payment from an asset,
is the yield to maturity (continuously compounded) for an asset,
is the time in years until the th payment will be received,
is the present value of all cash payments from the asset until maturity. Macaulay gave two alternative measures:
Expression (1) is Fisher–Weil duration which uses zero coupon bond prices as discount factors, and
Expression (3) which uses the bond's yield to maturity to calculate discount factors. The key difference between the two durations is that the Fisher–Weil duration allows for the possibility of a sloping yield curve, whereas the second form is based on a constant value of the yield , not varying by term to payment. With the use of computers, both forms may be calculated but expression (3), assuming a constant yield, is more widely used because of the application to modified duration.
Бірліктер
Маколей ұзақтығы жылдармен өлшенеді. Түзетілген ұзақтығы – жылдық өнімділіктің бір бірлікке (пайыздық пункт) өзгеруіне бағаның пайыздық өзгеруі ретінде өлшенеді (мысалы, өнімділік жылына 8% (y = 0,08) -дан жылына 9% (y = 0,09) -ға дейін өзгеруі). Бұл түзетілген ұзақтықты Маколей ұзақтығына жақын сандық мәнмен қамтамасыз етеді (мөлшерлемелер үздіксіз есептелген жағдайда тең болады). Формальды түрде, түзетілген ұзақтығы – жартылай серпімділік, яғни өнімділіктің бірлік өзгеруіне бағаның пайыздық өзгеруі, ал серпімділік – кірістің пайыздық өзгеруіне шығыстың пайыздық өзгеруі. Түзетілген ұзақтығы – өнімділіктің өзгеруіне бағаның пайыздық өзгеруінің қарқынын көрсетеді.
Белгілі емес ақшалай ағымдар
Өзгертілген мерзім, ақшалай ағындары тұрақты емес құралдарға да қолданылуы мүмкін, ал Маколей мерзімі тек тұрақты ақшалай ағындары бар құралдарға ғана қатысты. Өзгертілген мерзім – бағаның пайыздық ставкаға қатысты логарифмикалық туындысы ретінде анықталады, және осы анықтама пайыздық ставкаға тәуелді құралдарға, ақшалай ағындары тұрақты немесе өзгермелі болсын, қолданылады.
Табыстың шекті өзгеруі
Өзгертілген ұзақтылық жоғарыда туынды ретінде анықталған (математикалық есептеулерге қатысты термин) және сондықтан шексіз шағын өзгерістерге негізделген. Өзгертілген ұзақтылық облигацияның нарықтық бағасының пайыздық ставканың (яғни, кірістіліктің) сомасына сезімталдығын өлшеу үшін де пайдалы. Кірістіліктің аз ғана өзгеруі үшін,
Осылайша, өзгертілген ұзақтылық шамамен кірістіліктің берілген сомалық өзгеруіне байланысты бағаның пайыздық өзгеруіне тең. Демек, 7 жылдық Маколей ұзақтылығы бар 15 жылдық облигацияның өзгертілген ұзақтылығы шамамен 7 жылды құрайды және пайыздық ставка бір пайыздық тармаққа (мысалы, 7%-дан 8%-ға дейін) өскен жағдайда, құны шамамен 7%-ға төмендейді.
Fisher-Weil ұзақтығы
Фишер-Вейль мерзімі – Маколей мерзімінің нақтырақ түрі, ол пайыздық ставкалардың мерзімдік құрылымын ескереді. Фишер-Вейль мерзімі тиісті ақша ағындарының қазіргі құнын (әлдеқайда дәл) әрбір сәйкес мерзімге арналған нөлдік купондық түсімді пайдалану арқылы есептейді.
2-ші мысал
1000 долларлық номиналды құны, 5% купондық ставкасы және 6,5% жылдық кірістілігі, 5 жылдық мерзімі бар облигацияны қарастырайық. Ұзақтығын есептеу үшін келесі қадамдар орындалады:
1. Облигацияның құнын бағалау.
1, 2, 3 және 4 жылдардағы купондар 50 долларды құрайды. Содан кейін, 5 жылда облигация купонды және негізгі соманы төлейді, жалпы сомасы 1050 доллар. 6,5%-ға ескерілген қазіргі құны бойынша облигацияның құны 937,66 долларды құрайды. Егжей-тегжейі келесідей:
The coupons will be $50 in years 1, 2, 3 and 4. Then, on year 5, the bond will pay coupon and principal, for a total of $1050. Discounting to present value at 6.5%, the bond value is $937.66. The detail is the following:
1-жыл: $50 / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95
2-жыл: $50 / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08
3-жыл: $50 / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39
4-жыл: $50 / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87
5-жыл: $1050 / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37
2. Әр ақша ағыны алынған уақытын оның қазіргі құнына көбейтіңіз.
1-жыл: 1 * $46,95 = 46,95
2-жыл: 2 * $44,08 = 88,17
3-жыл: 3 * $41,39 = 124,18
4-жыл: 4 * $38,87 = 155,46
5-жыл: 5 * 766,37 = 3831,87
БАРЛЫҒЫ: 4246,63
3. 2-қадамдағы соманы облигацияның құнымен (1-қадам) салыстырыңыз.
Маколей ұзақтығы: 4246,63 / 937,66 = 4,53
Енгізілген опциялар мен тиімді мерзімі
Опциялары енгізілген облигациялар үшін, мысалы, сатуға болатын және қайтарып алуға болатын облигациялар, өзгертілген ұзақтығы облигация бағасының табысқа қарай өзгеруін дұрыс болжамайды. Сату опциясы бар облигацияны қарастырайық. Мысалы, 1000 долларлық облигация, иесі облигацияның мерзімі біткенге дейін кез келген уақытта номиналды құнымен (яғни, американдық сату опциясы) сатып ала алады. Егер пайыздық ставка қаншалықты жоғары болса да, облигацияның бағасы 1000 доллардан төмен түспейді (қарсы тарап тәуекелін ескермеу). Осы облигацияның пайыздық ставка өзгерген кездегі баға сезімталдығы, басқа жағынан бірдей ақша ағыны бар, бірақ сату опциясы жоқ облигациядан өзгеше. Мұндай облигацияларды бағалау үшін, облигацияның құнын анықтау үшін опция бағалауын қолдану керек, содан кейін оның дельтасын (соның салдарынан оның лямбдасын) есептеуге болады, бұл ұзақтығын білдіреді. Тиімді ұзақтығы осыған жақын дискретті жуықтама болып табылады және опция бағалау моделі қажет. Мұндағы Δy – табыстың өзгеру шамасы, ал – егер табыс тиісінше y-ға төмендесе немесе y-ға өссе, облигацияның алатын мәндері. (Бұл мән Δy үшін қолданылатын мәнге байланысты өзгеруі мүмкін.) Бұл мәндер әдетте бүкіл табыс қисығы үшін (бір табысқа қарағанда) құрылған ағаш тәрізді модельді пайдалану арқылы есептеледі, соның салдарынан опцияның өмірінің әр нүктесінде уақыт пен пайыздық ставканың функциясы ретінде жүзеге асыру мінез-құлқын қамтиды; қараңыз.
Диапазонның ұзақтығы
Спредтің ұзақтығы – облигацияның нарықтық бағасының, опцияға түзетілген спредтің (OAS) өзгеруіне сезімталдығын көрсетеді. Осы ретте, индекс немесе негізгі кіріс қисығы өзгеріссіз қалады. Индекске байланысты бағаланатын (мысалы, 1 айлық немесе 3 айлық LIBOR) және белгілі бір мерзімде қайта есептелетін өзгермелі мөлшерлемелі активтердің тиімді ұзақтығы нөлге жуық, бірақ спред ұзақтығы басқа жағдайлары бірдей бекітілген мөлшерлемелі облигацияға шамалас болады.
Орташа ұзақтығы
Облигациялардың қоржынының, мысалы облигациялық өзара қордың, пайыздық ставкалардың өзгеруіне сезімталдығы да маңызды болуы мүмкін. Қоржынға кіретін облигациялардың орташа мерзімі көбінесе жарияланады. Қоржынның мерзімі – қоржынға кіретін барлық ақша ағындарының салмақталған орташа мерзіміне тең. Егер әрбір облигацияның кірістілігі бірдей болса, бұл қоржынға кіретін облигациялардың мерзімдерінің салмақталған орташа көрсеткішіне тең болады, мұнда салмақтар облигация бағаларына пропорционал.
Қиыршық
Бондтың ұзақтығы – бонд бағасының пайыздық ставкалар өзгеруіне жауап ретінде қалай өзгеретінін көрсететін сызықтық өлшем. Пайыздық ставкалар өзгерген кезде баға сызықты түрде өзгере қоймайды, керісінше, пайыздық ставкалардың дөңгелек функциясы болып табылады. Дөңгелектеу – бонд бағасының пайыздық ставкалар өзгерген кездегі өзгеру қисықтығын өлшеу. Нақтырақ айтқанда, бондтың баға функциясының бірінші туындысы бондтың ұзақтығын, ал екінші туындысы – дөңгелектеуін көрсетеді. Дөңгелектеу болашақ ақша ағындарының таралуы туралы да ақпарат береді. (Ұзақтық дисконтталған орташа мерзімді көрсететіндей, дөңгелектеуді де дисконтталған стандартты ауытқуды есептеу үшін пайдалануға болады, мысалы, кірістілікті есептеу үшін.) Дөңгелектеу оң немесе теріс болуы мүмкін. Оң дөңгелектеуі бар бондтың шақыру мүмкіндігі жоқ, яғни эмитент бондты мерзімі біткенде міндетті түрде төлеуі керек, демек, ставкалар төмендегенде оның ұзақтығы да, бағасы да өседі. Ал, шақыру мүмкіндігі бар бонд, яғни эмитент бондты ертерек төлеуге құқылы, опцияның қолданылу мерзіміне жақындағанда теріс дөңгелектеуге ие болады, яғни ставкалар төмендегенде оның ұзақтығы төмендейді, сондықтан бағасы баяу өседі. Бұл эмитенттің жоғары купонды ескі бондты сатып алып, төменгі ставкамен жаңа бонд шығаруға мүмкіндік береді, осылайша эмитентке құнды опция ұсынады. Жоғарыда айтылғандай, мұндай жағдайларда тиімді дөңгелектеуді есептеу дұрыс болуы мүмкін. АҚШ үлгісіндегі 15 немесе 30 жылдық тұрақты ставкалы ипотекалық несиелермен кепілденген ипотекалық бағалы қағаздар (ипотекалық негізгі төлемдерді ертерек төлеу арқылы өту) – шақыруға болатын бондтардың мысалы.
Шерман коэффициенті
"Шерман коэффициенті" – DoubleLine Capital компаниясының бас инвестициялық директоры Джеффри Шерманның атымен аталатын, облигация мерзімінің бір бірлігіне ұсынылатын табыс. Ол "Облигация нарығының ең қауіпті көрсеткіші" деп аталды және 2020 жылдың 31 желтоқсанында Bloomberg Barclays US корпоративтік облигация индексі үшін 0.1968-ге дейін төмендеді. Бұл коэффициент – ұсынылатын табыс (пайызбен) облигация мерзіміне (жылдармен) бөлінген шама.