Введение

В финансовом секторе срок действия финансового актива, состоящего из фиксированных денежных потоков, такого как облигация, представляет собой средневзвешенное значение времени до получения этих фиксированных денежных потоков. Когда цена актива рассматривается как функция доходности, срок действия также измеряет чувствительность цены к доходности, скорость изменения цены по отношению к доходности или процентное изменение цены при параллельном сдвиге кривой доходности. Двойное использование термина "срок действия", как для обозначения средневзвешенного времени до погашения, так и процентного изменения цены, часто приводит к путанице. В строгом смысле, "длительность Маколея" – это название средневзвешенного времени до получения денежных потоков, измеряемого в годах. Модифицированная длительность – это название чувствительности цены. Она равна скорости изменения цены облигации по отношению к изменению ее доходности. Обе величины называются "длительностью" и имеют одинаковое (или близкое) численное значение, однако важно учитывать концептуальные различия между ними. Длительность Маколея – это временная мера, выраженная в годах, и имеет смысл только для инструментов с фиксированными денежными потоками. Для стандартной облигации длительность Маколея будет находиться в диапазоне от 0 до срока погашения облигации. Она равна сроку погашения только в случае, если облигация является дисконтной (без купона). Модифицированная длительность, с другой стороны, является математической производной (скоростью изменения) цены и измеряет процентное изменение цены по отношению к доходности. (Чувствительность цены к доходности также может измеряться в абсолютных величинах (в долларах, евро и т.д.), при этом абсолютная чувствительность часто называется долларовой (евровой) длительностью, DV01, BPV или дельта-риском (δ или Δ)). Концепция модифицированной длительности применима к инструментам, чувствительным к процентным ставкам, с нефиксированными денежными потоками и, следовательно, может быть применена к более широкому кругу инструментов, чем длительность Маколея. Модифицированная длительность используется чаще, чем длительность Маколея в современной финансовой практике. Для повседневного использования равенство (или почти равенство) значений длительности Маколея и модифицированной длительности может служить полезным инструментом для интуитивного понимания. Например, стандартная десятилетняя купонная облигация будет иметь длительность Маколея несколько, но не существенно меньше 10 лет, и из этого можно сделать вывод, что модифицированная длительность (чувствительность цены) также будет несколько, но не существенно меньше 10%. Аналогично, двухлетняя купонная облигация будет иметь длительность Маколея несколько меньше 2 лет и модифицированную длительность также несколько меньше 2%. Рассмотрим некоторый набор фиксированных денежных потоков. Текущая стоимость этих денежных потоков равна: Длительность Маколея определяется как: (1) где: индексирует денежные потоки, – текущая стоимость i-го денежного платежа от актива, – время в годах до получения i-го платежа, – текущая стоимость всех будущих денежных платежей от актива. Во втором выражении дробный член представляет собой отношение денежного потока к общей текущей стоимости (PV). Эти члены в сумме дают 1,0 и служат весами для вычисления средневзвешенного значения. Таким образом, общее выражение представляет собой средневзвешенное значение времени до получения денежных потоков, где вес – это доля текущей стоимости актива, обусловленная денежным потоком . Для набора всех положительных фиксированных денежных потоков средневзвешенное значение будет находиться между 0 (минимальное время) или, точнее, (время до первого платежа) и временем получения последнего денежного потока. Длительность Маколея будет равна сроку погашения только в том случае, если существует единственный платеж в момент погашения. В символьной форме, если денежные потоки, в порядке возрастания, равны , то: с строгими неравенствами, если существует только один денежный поток. В отношении стандартных облигаций (для которых денежные потоки фиксированы и положительны), это означает, что длительность Маколея будет равна сроку погашения облигации только для дисконтной облигации. Длительность Маколея имеет диаграммное представление, показанное на рисунке 1. Это облигация, рассматриваемая в приведенном ниже примере – двухлетний срок погашения с купоном 20% и непрерывно начисляемой доходностью 3,9605%. Круги представляют текущую стоимость платежей, при этом купонные платежи уменьшаются по мере удаления во времени, а последний большой платеж включает как купонный платеж, так и окончательный возврат основной суммы. Если эти круги поместить на весы, точка равновесия (центр тяжести) весов будет представлять средневзвешенное расстояние (время до платежа), которое в данном случае составляет 1,78 года. Для большинства практических расчетов длительность Маколея рассчитывается с использованием доходности к погашению для вычисления : (2) (3) где: индексирует денежные потоки, – текущая стоимость i-го денежного платежа от актива, – денежный поток i-го платежа от актива, – доходность к погашению (непрерывно начисляемая) актива, – время в годах до получения i-го платежа, – текущая стоимость всех денежных платежей от актива до погашения. Маколей предложил два альтернативных метода расчета: Выражение (1) – длительность Фишера-Вейля, использующая цены дисконтных облигаций в качестве дисконтных факторов, и Выражение (3), использующее доходность облигации к погашению для расчета дисконтных факторов. Ключевое различие между двумя длительностями заключается в том, что длительность Фишера-Вейля допускает возможность наклонной кривой доходности, в то время как вторая форма основана на постоянном значении доходности , не меняющемся в зависимости от срока платежа. С использованием компьютеров обе формы могут быть рассчитаны, но выражение (3), предполагающее постоянную доходность, используется чаще из-за его применения к модифицированной длительности.

Единицы

Продолжительность Макколе измеряется в годах. Модифицированная продолжительность измеряется как процентное изменение цены на один процентный пункт изменения доходности в год (например, при изменении доходности с 8% в год (y = 0,08) до 9% в год (y = 0,09)). Это дает модифицированной продолжительности числовое значение, близкое к продолжительности Макколе (и равное при непрерывном начислении процентов). Формально, модифицированная продолжительность является полуэластичностью – процентным изменением цены при единичном изменении доходности, а не эластичностью, которая представляет собой процентное изменение результата при процентном изменении входных данных. Модифицированная продолжительность – это скорость изменения, показывающая процентное изменение цены при изменении доходности.

Нефиксированные денежные потоки

Измененная дюрация применима к инструментам с нефиксированными денежными потоками, в то время как дюрация Макколи – только к инструментам с фиксированными денежными потоками. Модифицированная дюрация определяется как логарифмическая производная цены по доходности, и это определение справедливо для инструментов, зависящих от доходности, независимо от того, фиксированы или нет их денежные потоки.

Конечные изменения доходности

Модифицированная дюрация определяется выше как производная (в том смысле, как этот термин используется в математическом анализе) и, следовательно, основана на бесконечно малых изменениях. Модифицированная дюрация также полезна как мера чувствительности рыночной цены облигации к конечным изменениям процентных ставок (т.е. доходности). Для небольшого изменения доходности, ,

Таким образом, модифицированная дюрация приблизительно равна процентному изменению цены при заданном конечном изменении доходности. Например, 15-летняя облигация с дюрацией по Маколею в 7 лет будет иметь модифицированную дюрацию примерно в 7 лет и снизится в цене примерно на 7%, если процентная ставка увеличится на один процентный пункт (например, с 7% до 8%).

Продолжительность Fisher-Weil

Длительность Фишера–Вейля является усовершенствованием длительности Макколея, учитывающим структуру сроков процентных ставок. Длительность Фишера–Вейля рассчитывает текущие значения соответствующих денежных потоков (более точно) путем использования доходности к погашению по нулевым купонам для каждого соответствующего срока.

Пример 2

Рассмотрим облигацию с номиналом 1000 долларов, купонной ставкой 5% и годовой доходностью 6,5%, со сроком погашения через 5 лет. Шаги для вычисления дюрации следующие:

1. Оцените стоимость облигации.
Купоны составят 50 долларов в годы 1, 2, 3 и 4. Затем, в год 5, облигация выплатит купон и номинальную стоимость, в общей сумме 1050 долларов. Дисконтируя к текущей стоимости по ставке 6,5%, стоимость облигации составит 937,66 долларов. Расчет выглядит следующим образом:

Год 1: 50 долларов / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95 долларов

Год 2: 50 долларов / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08 долларов

Год 3: 50 долларов / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39 долларов

Год 4: 50 долларов / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87 долларов

Год 5: 1050 долларов / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37 долларов

2. Умножьте время получения каждого денежного потока на его текущую стоимость.

Год 1: 1 * 46,95 долларов = 46,95 долларов

Год 2: 2 * 44,08 долларов = 88,17 долларов

Год 3: 3 * 41,39 долларов = 124,18 долларов

Год 4: 4 * 38,87 долларов = 155,46 долларов

Год 5: 5 * 766,37 долларов = 3831,87 долларов

ИТОГО: 4246,63 долларов

3. Сравните итоговую сумму из шага 2 со стоимостью облигации (шаг 1).

Дюрация Макколи: 4246,63 / 937,66 = 4,53

Встроенные опционы и фактическая продолжительность

Для облигаций, имеющих встроенные опционы, такие как облигации с правом досрочного погашения по требованию держателя (putable) и облигации с правом досрочного погашения эмитентом (callable), модифицированная дюрация не будет корректно аппроксимировать изменение цены при изменении доходности к погашению. Рассмотрим облигацию со встроенным опционом на продажу. В качестве примера можно привести облигацию номиналом 1000 долларов, которую держатель может погасить по номинальной стоимости в любое время до погашения облигации (то есть, это американский опцион на продажу). Независимо от того, насколько вырастут процентные ставки, цена облигации никогда не опустится ниже 1000 долларов (не учитывая кредитный риск). Чувствительность цены этой облигации к изменениям процентных ставок отличается от чувствительности облигации без опциона на продажу, при прочих равных денежных потоках. Для оценки таких облигаций необходимо использовать модели ценообразования опционов для определения стоимости облигации, а затем рассчитать ее дельту (и, следовательно, ее лямбду), которая и является дюрацией. Эффективная дюрация является дискретным приближением к этому значению и требует использования модели ценообразования опционов. где Δy – величина изменения доходности, а и – значения, которые примет облигация при снижении доходности на y или увеличении на y соответственно (параллельный сдвиг; обратите внимание, что это значение может меняться в зависимости от величины Δy). Эти значения обычно рассчитываются с использованием древовидной модели, построенной для всей кривой доходности (в отличие от единственной доходности к погашению), и, следовательно, учитывающей поведение при исполнении опциона в каждой точке его жизни как функцию времени и процентных ставок; см.

Продолжительность спреда

Продолжительность спреда – это чувствительность рыночной цены облигации к изменению спреда, скорректированного с учетом опционов (OAS), при этом базовый индекс или кривая доходности остаются неизменными. Активы с плавающей ставкой, привязанные к индексу (например, к 1-месячному или 3-месячному LIBOR) и регулярно переоцениваемые, будут иметь эффективную дюрацию, близкую к нулю, но продолжительность спреда, сопоставимую с аналогичной облигацией с фиксированной ставкой.

Средняя продолжительность

Чувствительность портфеля облигаций, например, паевого инвестиционного фонда облигаций, к изменениям процентных ставок также может иметь значение. Часто публикуется средняя дюрация облигаций в портфеле. Дюрация портфеля равна средневзвешенной дате погашения всех денежных потоков в портфеле. Если у каждой облигации одинаковая доходность к погашению, это соответствует средневзвешенной дюрации облигаций портфеля, где веса пропорциональны ценам облигаций.

Выпуклость

Продолжительность – это линейная мера изменения цены облигации в ответ на изменение процентных ставок. По мере изменения процентных ставок цена не меняется линейно, а представляет собой выпуклую функцию от процентных ставок. Выпуклость – это мера кривизны изменения цены облигации при изменении процентной ставки. В частности, продолжительность может быть выражена как первая производная функции цены облигации по рассматриваемой процентной ставке, а выпуклость – как вторая производная. Выпуклость также дает представление о разбросе будущих денежных потоков. (Подобно тому, как продолжительность дает дисконтированный средний срок, так и выпуклость можно использовать для расчета дисконтированного стандартного отклонения, например, доходности.) Следует отметить, что выпуклость может быть положительной или отрицательной. Облигация с положительной выпуклостью не имеет опциона на досрочное погашение, то есть эмитент обязан погасить облигацию в дату погашения, что означает, что при снижении ставок как ее продолжительность, так и цена будут расти. С другой стороны, облигация с опционом на досрочное погашение, то есть когда эмитент может погасить облигацию досрочно, считается обладающей отрицательной выпуклостью при приближении ставок к цене исполнения опциона, то есть ее продолжительность будет уменьшаться при снижении ставок, а следовательно, ее цена будет расти медленнее. Это связано с тем, что эмитент может выкупить старые облигации по высокой купонной ставке и выпустить новые облигации по более низкой ставке, предоставляя эмитенту ценный опцион. В подобных случаях может быть более корректно рассчитывать эффективную выпуклость. Примерами облигаций с правом досрочного погашения являются ипотечные ценные бумаги (обеспеченные передачей основного долга по ипотеке с предоплатой), обеспеченные 15-летними или 30-летними ипотечными кредитами с фиксированной ставкой.

Соотношение Шермана

"Коэффициент Шермана" – это доходность, приходящаяся на единицу дюрации облигации, названный в честь главного инвестиционного директора DoubleLine Capital Джеффри Шермана. Его окрестили "Самым пугающим индикатором рынка облигаций", и он достиг исторического минимума в 0,1968 для индекса Bloomberg Barclays US Corporate Bond 31 декабря 2020 года. Этот коэффициент рассчитывается как отношение предлагаемой доходности (в процентах) к дюрации облигации (в годах).