Кіріспе

Абстракт алгебрадағы түсінік. Абстракт алгебрада дискретті бағалау сақинасы (DVR) — дәл бір нөлдік емес максималды идеалы бар негізгі идеалдық домен (PID). Бұл, DVR келесі эквивалентті шарттардың кез келгенін қанағаттандыратын R интегралды домен екенін білдіреді: R — жергілікті негізгі идеалдық домен, бірақ өріс емес. R — қосылатын бүтін сандарға изоморфты құндылық тобы бар бағалау сақинасы. R — жергілікті Дедекинд домені, бірақ өріс емес. R — максималды идеалы негізгі болатын, Noetherian жергілікті домен, бірақ өріс емес. R — Крулл өлшемі 1-ге тең интегралды жабық Noetherian жергілікті сақина. R — бірегей нөлдік емес жай идеалға ие негізгі идеалдық домен. R — бірегей азайтылмайтын элементі бар негізгі идеалдық домен (бірліктерге көбейтуге дейін). R — бірегей азайтылмайтын элементі бар (бірліктерге көбейтуге дейін) бірегей факторлау домені. R — Noetherian, өріс емес, және R-дің кез келген нөлдік емес бөлшектік идеалы, оны дұрыс қамтитын бөлшектік идеалдардың шекті қиылысы түрінде жазуға болмайтын мағынада азайтылмайды. R-дің бөлшектерінің өрісінде K, ν дискретті бағалауы бар, яғни R = {0} ∪ {x ∈ K : ν(x) ≥ 0}.

Дедекинд сақиналарының орналасуы

Let Then, the field of fractions of is For any nonzero element of , we can apply unique factorization to the numerator and denominator of r to write r as where z, n, and k are integers with z and n odd. In this case, we define ν(r)=k. Then is the discrete valuation ring corresponding to ν. The maximal ideal of is the principal ideal generated by 2, i. e. , and the "unique" irreducible element (up to units) is 2 (this is also known as a uniformizing parameter). Note that is the localization of the Dedekind domain at the prime ideal generated by 2. More generally, any localization of a Dedekind domain at a non zero prime ideal is a discrete valuation ring; in practice, this is frequently how discrete valuation rings arise. In particular, we can define rings

for any prime p in complete analogy.

Содан кейін, бөлшек өрісі болып табылады. -ның кез келген нөлдік емес элементі үшін, r-дің алымы мен бөліміне бірегей жіктеуді қолданамыз, осылайша r-ді түрде жазуға болады, мұнда z, n және k - z және n тақ сандар болатын бүтін сандар. Бұл жағдайда ν(r) = k деп анықтаймыз. Онда - бұл ν-ге сәйкес дискретті бағалау сақинасы. -ның максималды идеалы - 2-ге байланысты негізгі идеал, яғни, , ал "бірден-бір" азайтылмайтын элемент (бірлікке дейін) - 2 (бұл сонымен қатар біркелкі параметр деп аталады). -ның 2-ге байланысты негізгі идеалдағы локализациясы екеніне назар аударыңыз. Жалпы алғанда, Дедекинд доменінің нөлдік емес жай идеалдағы кез келген локализациясы дискретті бағалау сақинасы болып табылады; іс жүзінде дискретті бағалау сақиналары осылай жиі пайда болады. Атап айтқанда, біз кез келген жай p үшін сақиналарды толық аналогия бойынша анықтай аламыз.

p-адикалық бүтін сандар

P-адикалық бүтін сандар сақинасы кез келген p үшін негізгі домен (DVR) болып табылады. Мұнда азайтылмайтын элемент бар; бағалау әрбір p-адикалық бүтін санға оны бөлетін ең үлкен бүтін санды тағайындайды.

Формалды қуаттар сериясы

DVR-дің тағы бір маңызды мысалы – белгілі бір өрістегі бір айнымалыдағы формальды қуат қатарларының сақинасы. "Бірден-бір" икемдемейтін элемент – , -нің ең үлкен идеалы – , ал бағалау әр қуат қатарына бірінші нөлдік емес коэффициенттің индексін (яғни дәрежесін) тағайындайды. Егер біз нақты немесе кешенді коэффициенттермен шектелсек, онда 0-дің маңындағы жиынтықта жинақталатын бір айнымалыдағы қуат қатарларының сақинасын қарастыра аламыз (жиынтықтың қуат қатарына байланысты). Бұл дискретті бағалау сақинасы. Бұл бағалау критерийі арқылы дұрыстық туралы түсінік қалыптастыруға көмектеседі.

Функция өрісіне кіру

Геометриялық сипаттағы мысал ретінде, R = {f/g : f, g R[X] полиномдары және g(0) ≠ 0} сақинасын қарастырайық, ол X айнымалысы бойынша R(X) рационалдық функциялар өрісінің ішкі сақинасы ретінде қарастырылады. R сақинасын нақты осьтегі 0-ге жақын аймақта анықталған (яғни, шекті) барлық нақты мәнді рационалдық функциялар сақинасымен сәйкестендіруге болады (бұл аймақ функцияға байланысты). Бұл дискретті бағалау сақинасы; "бірден-бір" түгелдей азайтылмайтын элемент – X, ал бағалау әрбір f функциясына 0-дегі нөлдің дәрежесін (мүмкін 0) тағайындайды. Бұл мысал жалпы алгебралық қисықтарды ерекше емес нүктелердің маңында зерттеуге арналған үлгі болып табылады, мұнда алгебралық қисық нақты түзу болып келеді.

Хенсельдік белгі

DVR үшін фракциялық өріс ретінде жазу қалыпты жағдай, ал қалдық өріс ретінде жазу да қалыпты. Бұл өрістің жалпы және жабық нүктелеріне сәйкес келеді. Мысалы, өрістің жабық нүктесі ал жалпы нүктесі болады. Кейде мұны деп белгілейді

мұнда жалпы нүкте, ал жабық нүкте.

Иілгіштің нүктесінің орналасуы

Алгебралық қисық берілген болса, тегіс нүктедегі жергілікті сақина дискретті бағалау сақинасы болып табылады, себебі ол негізгі бағалау сақинасы болып табылады. Атап айтқанда, нүкте тегіс болғандықтан, жергілікті сақинаның толықтырылуы белгілі бір нүктедегі локализацияның толықтырылуымен изоморфты болады.

Біркелкі параметр

R-дің кез келген азайтылмайтын элементі R-дің бірегей максималдық идеалының генераторы болып табылады және керісінше. Мұндай элемент R-дің біркелкі параметрі деп те аталады (немесе біркелкі элемент, біркелкілеуші немесе негізгі элемент). Егер біз біркелкілік параметрін t деп белгілесек, онда M=(t) – R-дің бірегей максималдық идеалы, ал басқа нөлдік емес идеалдар M-нің дәрежесі болып табылады, яғни, кейбір k≥0 үшін (t^k) түрінде жазылады. t-ның барлық дәрежелері ерекше, сондай-ақ M-нің дәрежелері де ерекше. R-дің нөлден өзге әрбір элементі x-ті αt^k түрінде жазуға болады, мұнда α – R-дегі бірлік, ал k≥0, екеуі де x арқылы бірегей түрде анықталады. Бағалау ν(x) = kv(t) арқылы беріледі. Осылайша, сақинаны толыққанды түсіну үшін R-дің бірліктерінің тобын және олардың t-ның дәрежелерімен қалай қосылатынын білу қажет. v функциясы кез келген дискретті бағалау сақинасын Евклид доменіне айналдырады.