Введение

Концепция в абстрактной алгебре
В абстрактной алгебре дискретное кольцо оценок (DVR) — это главный идеальный домен (PID) с ровно одним ненулевым максимальным идеалом. Это означает, что DVR — это целостный домен R, удовлетворяющий любому из следующих эквивалентных условий:

R — локальный главный идеальный домен, не являющийся полем. R — кольцо оценок с группой значений, изоморфной группе целых чисел относительно сложения. R — локальный домен Дедекинда, не являющийся полем. R — нётерово локальное кольцо, максимальный идеал которого главный, и не являющийся полем. R — интегрально замкнутое нётерово локальное кольцо размерности Крулля, равной единице. R — главный идеальный домен с единственным ненулевым простым идеалом. R — главный идеальный домен с единственным неприводимым элементом (с точностью до умножения на обратимые элементы). R — область однозначной факторизации с единственным неприводимым элементом (с точностью до умножения на обратимые элементы). R — нётерово кольцо, не являющееся полем, и каждый ненулевой дробный идеал R является неприводимым в том смысле, что его нельзя представить в виде конечного пересечения дробных идеалов, строго содержащих его. Существует дискретная оценка ν на поле частных K кольца R такая, что R = {0} ∪ {x ∈ K : ν(x) ≥ 0}.

Локализация кольцов Дедекинда

Пусть Тогда поле дробей для является . Для любого ненулевого элемента из , мы можем применить разложение на простые множители к числителю и знаменателю r, чтобы представить r в виде , где z, n и k – целые числа, причём z и n нечётные. В этом случае мы определяем ν(r) = k. Тогда является кольцом дискретного нормирования, соответствующим ν. Максимальный идеал в – это главный идеал, порожденный 2, то есть , а "единственный" неприводимый элемент (с точностью до умножения на единицы) – 2 (это также известно как униформизирующий параметр). Следует отметить, что является локализацией домена Дедекинда в простом идеале, порожденном 2. В более общем случае, любая локализация домена Дедекинда в ненулевом простом идеале является кольцом дискретного нормирования; на практике именно так часто возникают кольца дискретного нормирования. В частности, мы можем определить кольца для любого простого числа p аналогичным образом.

p-адические целые числа

Кольцо p-адических целых чисел является областью главных идеалов (DVR) для любого простого числа p. Здесь π – необратимый элемент; оценка присваивает каждому p-адическому целому числу наибольшее целое число v, такое что π^v делит это число.

Формальные серии мощности

Другим важным примером области главных идеалов является кольцо формальных степенных рядов в одной переменной над некоторым полем. "Единственным" неприводимым элементом является , максимальным идеалом является главный идеал, порожденный , а оценка присваивает каждому степенному ряду индекс (то есть степень) первого ненулевого коэффициента. Если мы ограничимся действительными или комплексными коэффициентами, мы можем рассмотреть кольцо степенных рядов в одной переменной, сходящихся в окрестности 0 (где окрестность зависит от степенного ряда). Это кольцо дискретной оценки. Это полезно для формирования интуиции при работе с критерием Валюативности для собственных отображений.

Кольцо в поле функции

Для примера более геометрического характера возьмем кольцо R = {f/g : f, g – полиномы в R[X] и g(0) ≠ 0}, рассматриваемое как подкольцо поля рациональных функций R(X) в переменной X. Кольцо R можно отождествить с кольцом всех вещественнозначных рациональных функций, определенных (то есть имеющих конечные значения) в некоторой окрестности 0 на вещественной оси (где окрестность зависит от функции). Это кольцо дискретной оценки; "единственным" неприводимым элементом является X, а оценка присваивает каждой функции f порядок (возможно, 0) нуля функции f в точке 0. Этот пример служит образцом для изучения общих алгебраических кривых вблизи несингулярных точек, где в данном случае алгебраической кривой является вещественная прямая.

Гензельская черта

Для дискретного оценочного кольца (DVR) обычно записывают поле частных как ℚ и поле вычетов как k. Они соответствуют универсальной и замкнутой точкам Spec(DVR). Например, замкнутая точка для k[x] is (x) и универсальная точка is k[x]. Иногда это обозначается как η для универсальной точки и p для замкнутой точки.

Локализация точки на кривой

При заданной алгебраической кривой, локальное кольцо в гладкой точке является кольцом дискретного нормирования, поскольку это основное кольцо нормирования. Отметим, что поскольку точка гладкая, завершение локального кольца изоморфно завершению локализации в некоторой точке.

Параметр унификации

При заданном кольце главных идеалов R любой неприводимый элемент R является генератором единственного максимального идеала R и наоборот. Такой элемент также называется униформизирующим параметром R (или униформизирующим элементом, униформитером или простым элементом). Если мы фиксируем униформизирующий параметр t, то M = (t) является единственным максимальным идеалом R, и каждый другой ненулевой идеал является степенью M, то есть имеет вид (t^k) для некоторого k ≥ 0. Все степени t различны, как и степени M. Каждый ненулевой элемент x из R может быть записан в виде αt^k, где α – единица в R и k ≥ 0, причем оба параметра однозначно определяются x. Значение оценки задается как ν(x) = kv(t). Таким образом, для полного понимания кольца необходимо знать группу единиц R и то, как единицы аддитивно взаимодействуют со степенями t.

Функция v также превращает любое кольцо дискретной оценки в евклидово кольцо.