Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық геометрияның скелеттік нұсқасы
Skeletonized version of algebraic geometry
Математикада тропикалық геометрия – полиномдар мен олардың геометриялық қасиеттерін зерттеу, онда қосылу операциясы минимумға алмастырылса, ал көбейту операциясы – қарапайым қосылуға алмастырылады:
In mathematics, tropical geometry is the study of polynomials and their geometric properties when addition is replaced with minimization and multiplication is replaced with ordinary addition:
Мысалы, классикалық полином келесідей болады. Мұндай полиномдар мен олардың шешімдері оңтайландыру мәселелерінде маңызды қолданысқа ие, мысалы, пойыз желісі үшін оптималды жөнелту уақытын анықтау мәселесі. Тропикалық геометрия – алгебралық геометрияның бір түрі, онда полиномдық графиктері кесімді сызықтық торларға ұқсайды және сандар өріс орнына тропикалық жартылай сақинаға жатады. Классикалық және тропикалық геометрия тығыз байланысты болғандықтан, олардың арасында нәтижелер мен әдістерді түрлендіруге болады. Алгебралық сорттарды тропикалық аналогына бейнелеуге болады және бұл процесс бастапқы сорт туралы геометриялық ақпараттың бір бөлігін сақтайтындықтан, алгебралық геометрияның классикалық нәтижелерін, мысалы, Брилль-Нотер теоремасын тропикалық геометрия құралдарын пайдалана отырып, дәлелдеуге және жалпылауға көмектеседі.
So for example, the classical polynomial would become Such polynomials and their solutions have important applications in optimization problems, for example the problem of optimizing departure times for a network of trains. Tropical geometry is a variant of algebraic geometry in which polynomial graphs resemble piecewise linear meshes, and in which numbers belong to the tropical semiring instead of a field. Because classical and tropical geometry are closely related, results and methods can be converted between them. Algebraic varieties can be mapped to a tropical counterpart and, since this process still retains some geometric information about the original variety, it can be used to help prove and generalize classical results from algebraic geometry, such as the Brill–Noether theorem, using the tools of tropical geometry.
Тарих
Тропикалық талдаудың негізгі идеялары әртүрлі салалардағы математиктермен бірдей нотацияны пайдалана отырып, тәуелсіз түрде әзірленді. Тропикалық геометрияның орталық идеялары бірқатар бұрынғы еңбектерде әртүрлі нысандарда кездесті. Мысалы, Виктор Павлович Маслов интеграция процесінің тропикалық түрін енгізді. Ол сондай-ақ Лежандр түрлендіруі және Гамильтон-Жакоби теңдеуінің шешімдері тропикалық сезімде сызықтық операциялар екенін атап өтті. Дегенмен, теорияның негізгі анықтамаларын біріктіруге күш салу тек 1990 жылдардың соңынан бері басталды. Бұл оның санамалық алгебралық геометрияға қолданылуымен, Максим Концевичтің идеяларымен және Григорий Михалкиннің, сондай-ақ басқалардың еңбектерімен байланысты болды. "Тропикалық" деген сөз француз математиктері венгр тегін алған бразилиялық компьютер ғалымы Имре Симонның құрметіне аталды, ол осы сала туралы жазған. Жан Эрик Пин бұл атауды Доминик Перринге жатқызады, ал Симон өзі бұл сөзді Кристиан Шофрутке жатқызады.
The basic ideas of tropical analysis were developed independently using the same notation by mathematicians working in various fields. The central ideas of tropical geometry appeared in different forms in a number of earlier works. For example, Victor Pavlovich Maslov introduced a tropical version of the process of integration. He also noticed that the Legendre transformation and solutions of the Hamilton–Jacobi equation are linear operations in the tropical sense. However, only since the late 1990s has an effort been made to consolidate the basic definitions of the theory. This was motivated by its application to enumerative algebraic geometry, with ideas from Maxim Kontsevich and works by Grigory Mikhalkin among others. The adjective tropical was coined by French mathematicians in honor of the Hungarian born Brazilian computer scientist Imre Simon, who wrote on the field. Jean Éric Pin attributes the coinage to Dominique Perrin, whereas Simon himself attributes the word to Christian Choffrut.
Анықтамалар
X алгебралық тордағы алгебралық түрлiлiк болғанда, X-тың тропикалық түрлiлiгi немесе X-тың тропикалдануы, деп белгіленедi, және ол әртүрлі тәсiлдермен анықталуы мүмкiн. Осы анықтамалардың сәйкес келуi Тропикалық геометрияның негізгі теоремасы деп аталады. Егер X - сандық дененің үстiндегi түрлiлiк болса, онда ол логарифм картасының t негізі шексізге ұмтылғандағы амебаның лимит объектiсi ретiнде қарастырылуы мүмкiн.
For X an algebraic variety in the algebraic torus , the tropical variety of X or tropicalization of X, denoted , is a subset of that can be defined in several ways. The equivalence of these definitions is referred to as the Fundamental Theorem of Tropical Geometry. If X is a variety over , can be considered as the limiting object of the amoeba as the base t of the logarithm map goes to infinity.
Көпбұрышты кешен
Келесі сипаттама тропикалық сорттарды алгебралық сорттарға және тропикализацияға сілтеме жасамастан, ішкі қасиеттерімен сипаттайды. V жиыны, егер ол таза d өлшемді салмақталған полиэдрлік кешеннің тіреуі болса, нөлдік кернеу шартын қанағаттандыратын және бір өлшемде байланысқан болса, азайтылмайтын тропикалық сорт болып табылады. d бірге тең болса, нөлдік кернеу шарты әрбір төбесінің маңындағы қабырғалардың шығу бағыттарының салмақталған қосындысы нөлге тең екенін білдіреді. Жоғары өлшемдер үшін, сомалар ұяшықтың аффиндік кеңістігіне қатысты бөлінгеннен кейін, әрбір d өлшемді ұяшықтың маңында есептеледі.
The following characterization describes tropical varieties intrinsically without reference to algebraic varieties and tropicalization. A set V in is an irreducible tropical variety if it is the support of a weighted polyhedral complex of pure dimension d that satisfies the zero tension condition and is connected in codimension one. When d is one, the zero tension condition means that around each vertex, the weighted sum of the out going directions of edges equals zero. For higher dimension, sums are taken instead around each cell of dimension after quotienting out the affine span of the cell.
Қолданбалар
Тропикалық сызық 2007 жылғы қаржы дағдарысы кезінде Англия банкі қолданған Пол Клемперердің аукцион дизайнында пайда болды. Йосинори Шиозава субтропикалық алгебраны макс көбейту немесе мин көбейту жартылай сақинасы (макс қосу және мин қосу орнына) деп анықтады. Ол Рикардоның сауда теориясын (енгізімдер саудасы жоқ халықаралық сауда) субтропикалық дөңес алгебра ретінде түсіндіруге болатынын тапты. Тропикалық геометрия ReLU белсендіруі бар алға жылдамдырулы нейрондық желілердің күрделілігін талдау үшін де қолданылды. Бұған қоса, жұмыс жоспарлау, орналасу талдауы, көлік желілері, шешім қабылдау және дискреттік оқиғалардың динамикалық жүйелерінде туындайтын бірнеше оптимизациялық мәселелер тропикалық геометрия шеңберінде формулирлене және шешіле алады. Абель-Джакоби картасының тропикалық аналогы кристалл дизайнына қолданылуы мүмкін. Салмақты соңғы автоматтардағы салмақтар көбінесе тропикалық жартылай сақина болуы керек. Тропикалық геометрия өзін-өзі ұйымдастырушы сындықтылықты көрсетуге қабілетті.
A tropical line appeared in Paul Klemperer's design of auctions used by the Bank of England during the financial crisis in 2007. Yoshinori Shiozawa defined subtropical algebra as max times or min times semiring (instead of max plus and min plus). He found that Ricardian trade theory (international trade without input trade) can be interpreted as subtropical convex algebra. Tropical geometry has also been used for analyzing the complexity of feedforward neural networks with ReLU activation. Moreover, several optimization problems arising for instance in job scheduling, location analysis, transportation networks, decision making and discrete event dynamical systems can be formulated and solved in the framework of tropical geometry. A tropical counterpart of the Abel–Jacobi map can be applied to a crystal design. The weights in a weighted finite state transducer are often required to be a tropical semiring. Tropical geometry can show self organized criticality.