Введение

В математике тропическая геометрия — это изучение многочленов и их геометрических свойств, при котором сложение заменяется на взятие минимума, а умножение — на обычное сложение.

Так, например, классический многочлен преобразуется в Такие многочлены и их решения имеют важное применение в задачах оптимизации, например, в задаче оптимизации расписания отправления поездов. Тропическая геометрия является вариантом алгебраической геометрии, в которой графики многочленов напоминают кусочно-линейные сетки, а числа принадлежат к тропическому полукольцу вместо поля. Поскольку классическая и тропическая геометрии тесно связаны, результаты и методы можно переносить между ними. Алгебраические многообразия можно отображать на тропические аналоги, и поскольку этот процесс сохраняет некоторую геометрическую информацию об исходном многообразии, его можно использовать для доказательства и обобщения классических результатов из алгебраической геометрии, таких как теорема Брилла — Нотера, с помощью инструментов тропической геометрии.

История

Основные идеи тропического анализа были разработаны независимо друг от друга с использованием одной и той же нотации математиками, работающими в различных областях. Центральные идеи тропической геометрии появлялись в различных формах в ряде более ранних работ. Например, Виктор Павлович Маслов ввёл тропическую версию процесса интегрирования. Он также заметил, что преобразование Лежандра и решения уравнения Гамильтона — Якоби являются линейными операциями в тропическом смысле. Однако, только начиная с конца 1990-х годов предпринимались усилия по систематизации основных определений теории. Это было обусловлено её применением к энумеративной алгебраической геометрии, с идеями Максима Концевича и работами Григория Михалькина, среди прочих. Прилагательное "тропический" было придумано французскими математиками в честь Имре Симона, венгерского по происхождению бразильского учёного-компьютерщика, который писал работы в этой области. Жан Эрик Пин приписывает авторство Доминику Перрину, в то время как сам Симон считает, что слово придумал Кристиан Шофру.

Определения

Для X алгебраического многообразия в алгебраическом tore, тропическое многообразие X или тропикализация X, обозначаемое , является подмножеством, которое можно определить несколькими способами. Эквивалентность этих определений называется фундаментальной теоремой тропической геометрии. Если X – многообразие над , то можно рассматривать как предельный объект амебы по мере того, как основание t логарифмического отображения стремится к бесконечности.

Полиэдрический комплекс

Следующая характеристика описывает тропические многообразия внутренне, без обращения к алгебраическим многообразиям и тропикализации. Множество V в является неприводимым тропическим многообразием, если оно является носителем взвешенного полиэдрального комплекса чистой размерности d, удовлетворяющего условию нулевого напряжения и связного в коразмерности 1. При d равном 1, условие нулевого напряжения означает, что в окрестности каждой вершины взвешенная сумма исходящих направлений ребер равна нулю. Для более высоких размерностей суммы берутся вокруг каждой ячейки размерности d после вычитания аффинной оболочки ячейки.

Приложения

Тропическая линия появилась в разработанных Полом Клемперером аукционах, использовавшихся Банком Англии во время финансового кризиса 2007 года. Йосинори Шиозава определил субтропическую алгебру как полукольцо с операциями "максимум раз" или "минимум раз" (вместо "максимум плюс" и "минимум плюс"). Он показал, что теория рикардианской торговли (международная торговля без торговли промежуточными товарами) может быть интерпретирована как субтропическая выпуклая алгебра. Тропическая геометрия также применялась для анализа сложности нейронных сетей прямого распространения с активацией ReLU. Более того, ряд задач оптимизации, возникающих, например, при планировании заданий, анализе местоположения, в транспортных сетях, при принятии решений и в дискретных динамических системах, могут быть сформулированы и решены в рамках тропической геометрии. Тропический аналог отображения Абеля — Якоби может быть применен к дизайну кристаллов. Веса в взвешенных конечных автоматах часто должны представлять собой тропическое полукольцо. Тропическая геометрия может демонстрировать самоорганизованную критичность.