Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бұл мақалада кейбір күрделі квадраттық функциялардың периодтық нүктелері сипатталады. Функция – бұл өзгермелінің алдыңғы мәні немесе мәндеріне сүйене отырып, оның мәнін есептеу формуласы; квадраттық функция – бұл алдыңғы мән бірінші және екінші дәрежеге көтерілгенін қамтитын функция; ал күрделі функция – бұл өзгермелісі мен параметрлері күрделі сандар болатын функция. Функцияның периодтық нүктесі – бұл белгілі бір аралықтан кейін қайталап оралатын өзгермелінің мәні. Осы периодтық нүктелер Фату және Жюлия жиындарының теорияларында маңызды рөл атқарады.
This article describes periodic points of some complex quadratic maps. A map is a formula for computing a value of a variable based on its own previous value or values; a quadratic map is one that involves the previous value raised to the powers one and two; and a complex map is one in which the variable and the parameters are complex numbers. A periodic point of a map is a value of the variable that occurs repeatedly after intervals of a fixed length. These periodic points play a role in the theories of Fatou and Julia sets.
Мерзімді нүктелердің саны
Периодтық нүктелерді сипаттайтын полиномның дәрежесі сондықтан ол дәл түрде кешенді түбірлерге (= периодтық нүктелерге) ие, олардың көптігі ескеріледі.
The degree of the polynomial describing periodic points is so it has exactly complex roots (= periodic points), counted with multiplicity.
Ерекше жағдайлар
Квадраттық бейнелеудің маңызды жағдайы – бұл мына жағдай: Мұнда біз аламыз және Мұнда 0 – суператтрактивті бекітілген нүкте, ал 1 – Джулия жиынына жатады.
An important case of the quadratic mapping is In this case, we get and In this case, 0 is a superattractive fixed point, and 1 belongs to the Julia set.
Тек бір тұрақты нүкте
Бізде дәл қашан бар. Бұл теңдеудің бір шешімі бар, осы жағдайда ол — шекті тартымдылыққа ие ең үлкен оң, толық нақты мән болып табылады.
We have exactly when This equation has one solution, in which case In fact is the largest positive, purely real value for which a finite attractor exists.
2 кезеңнен артық циклдер
Теңдеудің дәрежесі 2n-ге тең; мысалы, 3 циклдағы нүктелерді табу үшін 8 дәрежелі теңдеуді шешу қажет. Екі бекітілген нүктені беретін көбейткіштерді шығарғаннан кейін, 6-дәрежелі теңдеуге ие боламыз. 5-тен жоғары дәрежелі көпмүшелік теңдеулердің радикалдар арқылы жалпы шешімі жоқ, сондықтан 2-ден үлкен кезеңді циклдардағы нүктелерді, әдетте, сандық әдістермен есептеу керек. Дегенмен, 4-кезеңнің нақты жағдайында циклдық нүктелер радикалдар арқылы ұзақ өрнектерге ие. c = –2 жағдайында барлық кезеңдердің периодтық нүктелері үшін тригонометриялық шешімдер бар. Бұл жағдай логистикалық карта жағдайы r = 4-ке баламалы: Мұнда баламалық логистикалық айнымалының k циклдарының бірімен беріледі x (барлық циклдар да ығыстырады).
The degree of the equation is 2n; thus for example, to find the points on a 3 cycle we would need to solve an equation of degree 8. After factoring out the factors giving the two fixed points, we would have a sixth degree equation. There is no general solution in radicals to polynomial equations of degree five or higher, so the points on a cycle of period greater than 2 must in general be computed using numerical methods. However, in the specific case of period 4 the cyclical points have lengthy expressions in radicals. In the case c = –2, trigonometric solutions exist for the periodic points of all periods. The case is equivalent to the logistic map case r = 4: Here the equivalence is given by One of the k cycles of the logistic variable x (all of which cycles are repelling) is