Введение

В этой статье описываются периодические точки некоторых комплексных квадратичных отображений. Отображение — это формула для вычисления значения переменной на основе её предыдущего значения или значений; квадратичное отображение — это отображение, в котором предыдущее значение возводится в первую и вторую степень; а комплексное отображение — это отображение, в котором переменная и параметры являются комплексными числами. Периодическая точка отображения — это значение переменной, которое повторяется через равные промежутки времени. Эти периодические точки играют роль в теориях множеств Фату и Жюлии.

Количество периодических точек

Степень многочлена, описывающего периодические точки, равна , поэтому у него ровно комплексных корня ( = периодических точек), с учётом кратности.

Особые случаи

Важным случаем квадратичного отображения является. В этом случае мы получаем, а в этом случае 0 является суперпривлекательной фиксированной точкой, а 1 принадлежит множеству Джулии.

Только одна фиксированная точка

У нас есть точное решение уравнения, и в этом случае это наибольшее положительное, чисто вещественное значение, при котором существует конечный аттрактор.

Циклы с периодом более 2

Степень уравнения равна 2n; таким образом, например, чтобы найти точки на цикле длиной 3, нам потребуется решить уравнение 8-й степени. После вынесения множителей, соответствующих двум фиксированным точкам, мы получим уравнение 6-й степени. Общего решения в радикалах для полиномиальных уравнений степени пять или выше не существует, поэтому точки на цикле периода, большего 2, в общем случае должны вычисляться численными методами. Однако, в частном случае периода 4, циклические точки имеют громоздкие выражения в радикалах. В случае c = –2 существуют тригонометрические решения для периодических точек всех периодов. Этот случай эквивалентен случаю логистического отображения r = 4: Здесь эквивалентность задается одним из k циклов логистической переменной x (все циклы которой являются отталкивающими).