Кіріспе
Күрделі талдаудағы математикалық теорема. Математикада күрделі талдаудағы максималды модуль принципі егер f голоморфты функция болса, онда |f| модулінің доменнің ішінде орналасқан қатаң жергілікті максимумы болмайды. Басқаша айтқанда, f жергілікті тұрақты функция болады немесе f доменінің ішіндегі кез келген нүктесі үшін, оған өте жақын және f-тің үлкен мәндер қабылдайтын басқа нүктелер табылады.
In mathematics, the maximum modulus principle in complex analysis states that if is a holomorphic function, then the modulus
cannot exhibit a strict local maximum that is properly within the domain of
In other words, either is locally a constant function, or, for any point inside the domain of there exist other points arbitrarily close to at which takes larger values.
Ресми мәлімдеме
Комплекстік жазықтықтың кейбір байланысты ашық ішкі жиынында анықталған және комплекс сандарды қабылдайтын голоморфтық функция болсын. Егер -де, оның бір жақын маңайындағы барлық үшін
тең болса, онда -де тұрақты. Бұл тұжырымды ашық бейнелеу теоремасының ерекше жағдайы ретінде қарастыруға болады, ол тұрақты емес голоморфтық функция ашық жиындарды ашық жиындарға бейнелейді: Егер жергілікті максимумға жерінде жетсе, онда жерінен алынған жеткілікті кішкентай ашық маңайдың бейнесі ашық бола алмайды, сондықтан тұрақты болады.
This statement can be viewed as a special case of the open mapping theorem, which states that a nonconstant holomorphic function maps open sets to open sets: If attains a local maximum at , then the image of a sufficiently small open neighborhood of cannot be open, so is constant.
Қатысушы мәлімдеме
Егер шектелген, бос емес, байланысты ашық жиын болсын. -тің жабылуы болсын. үнемі функция болсын, ол -да голоморфты. Онда шекарасының бір нүктесінде максималды мәнге жетеді.
This follows from the first version as follows. Since is compact and nonempty, the continuous function attains a maximum at some point of If is not on the boundary, then the maximum modulus principle implies that is constant, so also attains the same maximum at any point of the boundary.
Бұл бірінші тұжырымнан келесідей шығады. жинағы компактты және бос емес болғандықтан, үнемі функция -да максималды мәнге жететін нүктесі табылады. Егер шекарада жатпаса, онда максималды модуль принципі бойынша тұрақты болады, сондықтан шекараның кез келген нүктесінде де сол максималды мәнге жетеді.
This follows from the first version as follows. Since is compact and nonempty, the continuous function attains a maximum at some point of If is not on the boundary, then the maximum modulus principle implies that is constant, so also attains the same maximum at any point of the boundary.
Гаустың орташа мән теоремасын қолдану
Тағы бір дәлел Гаустың орташа мән теоремасын қолдану арқылы жұмыс істейді, бұл теорема қабаттасқан ашық дискілердегі барлық нүктелерді максимумның мәніне тең мәнді қабылдауға "мәжбүрлейді". Дискілер олардың орталықтары доменде толығымен орналасқан, максимумға жеткен мәннен домендегі кез келген басқа нүктеге дейін көпбұрышты жолды құратындай етіп жайғастырылады. Осылайша, максимумның болуы домендегі барлық мәндердің бірдей екенін көрсетеді, демек функция тұрақты.
Кошидің интегралды формуласын қолдану
Ашық болғанымен, (орталығы нүктесінде, радиусы r болатын жабық шар) бар, сонда біз оң бағытталған жабық шардың шекарасын анықтаймыз. Коши интегралдық формуласын қолданып, мынаны аламыз:
For all , , so This also holds for all balls of radius less than centered at Therefore, for all
Now consider the constant function for all Then one can construct a sequence of distinct points located in where the holomorphic function vanishes. As is closed, the sequence converges to some point in This means vanishes everywhere in which implies for all .
Барлық z үшін, , демек. Бұл радиусы r-дан кіші және сол нүктеде орталастырылған барлық шарлар үшін де орындалады. Сондықтан, барлық z үшін.
For all , , so This also holds for all balls of radius less than centered at Therefore, for all
Now consider the constant function for all Then one can construct a sequence of distinct points located in where the holomorphic function vanishes. As is closed, the sequence converges to some point in This means vanishes everywhere in which implies for all .
Енді барлық z үшін тұрақты функцияны қарастырайық. Содан кейін, голоморфтық функция нөлге тең болатын ерекше нүктелер тізбегін құрастыруға болады. Аталған жиын жабық болғандықтан, тізбек сол жиынның бір нүктесіне жақындайды. Бұл функция аталған жиынның барлық нүктелерінде нөлге тең дегенді білдіреді, демек, барлық z үшін.
For all , , so This also holds for all balls of radius less than centered at Therefore, for all
Now consider the constant function for all Then one can construct a sequence of distinct points located in where the holomorphic function vanishes. As is closed, the sequence converges to some point in This means vanishes everywhere in which implies for all .
Физикалық түсіндіру
Бұл принциптің физикалық түсіндірмесі жылу теңдеуінен туындайды. Яғни, функция гармониялық болғандықтан, ол белгілі бір аймақтағы жылу ағынының тепе-теңдік жағдайы болып табылады. Егер максимум аймақтың ішкі бөлігінде орын алса, онда осы максимумдағы жылу қоршаған нүктелерге тарар еді, бұл жүйенің тепе-теңдік жағдайы екендігі туралы болжамға қайшы келер еді.