Введение
Математическая теорема в комплексном анализе
В математике принцип максимального модуля в комплексном анализе утверждает, что если f — голоморфная функция, то модуль |f(z)| не может иметь строгого локального максимума внутри области определения f. Иными словами, либо f локально является постоянной функцией, либо для любой точки z внутри области определения f существуют другие точки, сколь угодно близкие к z, в которых f принимает большие значения.
cannot exhibit a strict local maximum that is properly within the domain of
In other words, either is locally a constant function, or, for any point inside the domain of there exist other points arbitrarily close to at which takes larger values.
Официальное заявление
Пусть f — голоморфная функция на некотором связном открытом подмножестве комплексной плоскости, принимающая комплексные значения. Если z₀ — точка в U такая, что
for all in some neighborhood of , then is constant on
This statement can be viewed as a special case of the open mapping theorem, which states that a nonconstant holomorphic function maps open sets to open sets: If attains a local maximum at , then the image of a sufficiently small open neighborhood of cannot be open, so is constant.
|f(z)| ≤ |f(z₀)|
for all in some neighborhood of , then is constant on
This statement can be viewed as a special case of the open mapping theorem, which states that a nonconstant holomorphic function maps open sets to open sets: If attains a local maximum at , then the image of a sufficiently small open neighborhood of cannot be open, so is constant.
для всех z в некоторой окрестности z₀, то f постоянна на U.
Это утверждение можно рассматривать как частный случай теоремы об открытом отображении, которая утверждает, что голоморфная функция, не являющаяся константой, отображает открытые множества на открытые множества: если f достигает локального максимума в z₀, то образ достаточно малой открытой окрестности z₀ не может быть открытым, следовательно, f постоянна.
for all in some neighborhood of , then is constant on
This statement can be viewed as a special case of the open mapping theorem, which states that a nonconstant holomorphic function maps open sets to open sets: If attains a local maximum at , then the image of a sufficiently small open neighborhood of cannot be open, so is constant.
Соответствующее заявление
Предположим, что $\Omega$ — ограниченное непустое связное открытое подмножество $\mathbb{C}$. Пусть $\overline{\Omega}$ — замыкание $\Omega$. Предположим, что $f$ — непрерывная функция, голоморфная на $\Omega$. Тогда $f$ достигает максимума в некоторой точке границы $\partial \Omega$.
This follows from the first version as follows. Since is compact and nonempty, the continuous function attains a maximum at some point of If is not on the boundary, then the maximum modulus principle implies that is constant, so also attains the same maximum at any point of the boundary.
Это следует из предыдущего утверждения следующим образом. Поскольку $\overline{\Omega}$ компактна и непуста, непрерывная функция $f$ достигает максимума в некоторой точке $z_0 \in \overline{\Omega}$. Если $z_0$ не лежит на границе, то принцип максимума модуля влечет, что $f$ постоянна, следовательно, $f$ достигает того же максимума в любой точке границы $\partial \Omega$.
This follows from the first version as follows. Since is compact and nonempty, the continuous function attains a maximum at some point of If is not on the boundary, then the maximum modulus principle implies that is constant, so also attains the same maximum at any point of the boundary.
Используя теорему средней стоимости Гаусса
Другое доказательство использует теорему Гаусса о среднем значении, чтобы "заставить" все точки внутри перекрывающихся открытых дисков принимать значение максимума. Диски располагаются таким образом, что их центры образуют ломаную линию от точки, где функция достигает максимума, до любой другой точки в области, оставаясь при этом полностью внутри области. Следовательно, существование максимального значения подразумевает, что все значения в области равны, то есть функция постоянна.
Использование интегральной формулы Коши
Поскольку область открыта, существует (замкнутый шар с центром в точке и радиусом ) такой, что. Мы определяем границу этого замкнутого шара с положительной ориентацией как. Применяя формулу интеграла Коши, получаем:
For all , , so This also holds for all balls of radius less than centered at Therefore, for all
Now consider the constant function for all Then one can construct a sequence of distinct points located in where the holomorphic function vanishes. As is closed, the sequence converges to some point in This means vanishes everywhere in which implies for all .
Для всех , , следовательно, Это также верно для всех шаров радиуса меньше, чем , с центром в точке . Поэтому для всех .
For all , , so This also holds for all balls of radius less than centered at Therefore, for all
Now consider the constant function for all Then one can construct a sequence of distinct points located in where the holomorphic function vanishes. As is closed, the sequence converges to some point in This means vanishes everywhere in which implies for all .
Теперь рассмотрим постоянную функцию для всех . Тогда можно построить последовательность различных точек, расположенных в области , где голоморфная функция обращается в ноль. Поскольку область замкнута, эта последовательность сходится к некоторой точке в этой области. Это означает, что функция обращается в ноль во всех точках области , что подразумевает для всех .
For all , , so This also holds for all balls of radius less than centered at Therefore, for all
Now consider the constant function for all Then one can construct a sequence of distinct points located in where the holomorphic function vanishes. As is closed, the sequence converges to some point in This means vanishes everywhere in which implies for all .
Физическая интерпретация
Физическая интерпретация этого принципа исходит из уравнения теплопроводности. А именно, поскольку функция гармонична, она представляет собой установившееся состояние теплового потока в области . Предположим, строгий максимум был достигнут во внутренней области , то тепло в этой точке будет рассеиваться в окружающие точки, что противоречит предположению о том, что это описывает установившееся состояние системы.