Кіріспе
Гамильтон механикасының бірнеше Гамильтондықтарды қамтитын жалпылауы. Математикада Намбу механикасы – Гамильтон механикасының бірнеше Гамильтондықтарды қамтитын жалпылауы болып табылады. Еске сала кетейік, Гамильтон механикасы симплектикалық көптегідегі тегіс Гамильтондық тудырған ағындарға негізделген. Ағындар симплектоморфизмдер болып табылады және демек, Лиувилл теоремасын сақтайды. Бұл жақын арада Пуассон көптегіндегі Гамильтондық тудырған ағындарға жалпыландырылды. 1973 жылы Йоичиро Намбу бірнеше Гамильтондықтарды қамтитын және Намбу-Пуассон көптегіштерін пайдаланатын жалпылауды ұсынды.
In mathematics, Nambu mechanics is a generalization of Hamiltonian mechanics involving multiple Hamiltonians. Recall that Hamiltonian mechanics is based upon the flows generated by a smooth Hamiltonian over a symplectic manifold. The flows are symplectomorphisms and hence obey Liouville's theorem. This was soon generalized to flows generated by a Hamiltonian over a Poisson manifold. In 1973, Yoichiro Nambu suggested a generalization involving Nambu–Poisson manifolds with more than one Hamiltonian.
Гамильтондар мен ағын
N − 1 гамильтондар, H1, , HN−1 бар, олар сығылмайтын ағынды тудырады. Жалпыланған фазалық кеңістіктегі жылдамдық дивергенциясыз болып келеді, бұл Лиувилл теоремасын қолдануға мүмкіндік береді. 1=N = 2 жағдайы Пуассон көптігіне және дәстүрлі Гамильтон механикасына дейін тоғысады. Үлкен N мәндері үшін N−1 гамильтондар, N өлшемді фазалық кеңістікте дамитын суперинтегралдық жүйені сипаттайтын қозғалыстың максималды санымен (қ. Сақталған шама) сәйкес келеді. Мұндай жүйелерді дәстүрлі Гамильтон динамикасы арқылы да сипаттауға болады; бірақ оларды Намбу механикасы аясында сипаттау әлдеқайда әдемі және түсінікті, себебі барлық инварианттар Гамильтонмен бірдей геометриялық мәртебеге ие: фазалық кеңістіктегі траектория осы инварианттармен анықталған N − 1 гипербеттердің қиылысы болып табылады. Осылайша, ағын осы Гамильтондардың барлық N − 1 градиенттеріне перпендикуляр, демек тиісті Намбу жақшасымен анықталған жалпыланған көлденең көбейтуге параллель. Намбу механикасын сұйық динамикасына кеңейтуге болады, онда алынған Намбу жақшалары канондық емес, ал гамильтондар жүйенің Казимирлерімен, мысалы энстрофиямен немесе гелицитпен сәйкес келеді. Намбу динамикасын кванттау, суперинтегралдық жүйелерге қатысқанда, дәстүрлі кванттаумен сәйкес келетін қызықты құрылымдарға әкеледі – және олар осылай болуы керек.
The generalized phase space velocity is divergenceless, enabling Liouville's theorem. The case 1=N = 2 reduces to a Poisson manifold, and conventional Hamiltonian mechanics. For larger even N, the N−1 Hamiltonians identify with the maximal number of independent invariants of motion (cf. Conserved quantity) characterizing a superintegrable system that evolves in N dimensional phase space. Such systems are also describable by conventional Hamiltonian dynamics; but their description in the framework of Nambu mechanics is substantially more elegant and intuitive, as all invariants enjoy the same geometrical status as the Hamiltonian: the trajectory in phase space is the intersection of the N − 1 hypersurfaces specified by these invariants. Thus, the flow is perpendicular to all N − 1 gradients of these Hamiltonians, whence parallel to the generalized cross product specified by the respective Nambu bracket. Nambu mechanics can be extended to fluid dynamics, where the resulting Nambu brackets are non canonical and the Hamiltonians are identified with the Casimir of the system, such as enstrophy or helicity. Quantizing Nambu dynamics leads to intriguing structures that coincide with conventional quantization ones when superintegrable systems are involved—as they must.