Введение
Обобщение гамильтоновой механики с использованием нескольких гамильтонианов
В математике механика Намбу является обобщением гамильтоновой механики, использующим несколько гамильтонианов. Напомним, что гамильтонова механика основана на потоках, генерируемых гладким гамильтонианом на симплектическом многообразии. Эти потоки являются симплектоморфизмами и, следовательно, подчиняются теореме Лиувиля. Вскоре это было обобщено на потоки, генерируемые гамильтонианом на многообразии Пуассона. В 1973 году Йоичиро Намбу предложил обобщение, включающее многообразия Намбу — Пуассона с более чем одним гамильтонианом.
In mathematics, Nambu mechanics is a generalization of Hamiltonian mechanics involving multiple Hamiltonians. Recall that Hamiltonian mechanics is based upon the flows generated by a smooth Hamiltonian over a symplectic manifold. The flows are symplectomorphisms and hence obey Liouville's theorem. This was soon generalized to flows generated by a Hamiltonian over a Poisson manifold. In 1973, Yoichiro Nambu suggested a generalization involving Nambu–Poisson manifolds with more than one Hamiltonian.
Гамильтоновцы и поток
Есть N − 1 гамильтонианов, H1, …, HN−1, генерирующих несжимаемый поток. Обобщенная скорость фазового пространства не имеет дивергенции, что позволяет применить теорему Лиувиля. Случай 1=N=2 сводится к многообразию Пуассона и обычной гамильтоновой механике. Для больших четных N, N−1 гамильтонианов отождествляются с максимальным числом независимых интегралов движения (см. Величину, сохраняющуюся), характеризующих суперинтегрируемую систему, эволюционирующую в N-мерном фазовом пространстве. Такие системы также могут быть описаны обычной гамильтоновой динамикой, но их описание в рамках механики Намбу значительно более элегантно и интуитивно понятно, поскольку все интегралы движения имеют тот же геометрический статус, что и гамильтониан: траектория в фазовом пространстве является пересечением N − 1 гиперповерхностей, задаваемых этими интегралами движения. Таким образом, поток перпендикулярен всем N − 1 градиентам этих гамильтонианов, а следовательно, параллелен обобщенному векторному произведению, определяемому соответствующей скобкой Намбу. Механику Намбу можно распространить на гидродинамику, где получающиеся скобки Намбу не канонические, а гамильтонианы отождествляются с казимирами системы, такими как энстрофия или геличность. Квантование динамики Намбу приводит к интересным структурам, которые совпадают с обычными структурами квантования, когда речь идет о суперинтегрируемых системах – что и должно быть.
The generalized phase space velocity is divergenceless, enabling Liouville's theorem. The case 1=N = 2 reduces to a Poisson manifold, and conventional Hamiltonian mechanics. For larger even N, the N−1 Hamiltonians identify with the maximal number of independent invariants of motion (cf. Conserved quantity) characterizing a superintegrable system that evolves in N dimensional phase space. Such systems are also describable by conventional Hamiltonian dynamics; but their description in the framework of Nambu mechanics is substantially more elegant and intuitive, as all invariants enjoy the same geometrical status as the Hamiltonian: the trajectory in phase space is the intersection of the N − 1 hypersurfaces specified by these invariants. Thus, the flow is perpendicular to all N − 1 gradients of these Hamiltonians, whence parallel to the generalized cross product specified by the respective Nambu bracket. Nambu mechanics can be extended to fluid dynamics, where the resulting Nambu brackets are non canonical and the Hamiltonians are identified with the Casimir of the system, such as enstrophy or helicity. Quantizing Nambu dynamics leads to intriguing structures that coincide with conventional quantization ones when superintegrable systems are involved—as they must.