Теориялық физикадағы ағындар симметрияларының талдауы
Analysis of flows
Физика ағындары: теориялық негіздер, симметриялар, әрекет функционалы және шекаралық шарттар. Ағындар динамиканың артық сипаттамасын көрсетеді, бірақ есептеулерде жеңілдік береді.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Теориялық физикада ағындарды талдау – "өлшеуіш" немесе "өлшеуіш сияқты" "симметрияларды" зерттеу (яғни, теорияның тұжырымдамасы өзгермейтін ағындар). Көбінесе ағындар жүйенің динамикасын сипаттаудағы артық ақпараттан басқа ештеңе көрсетпейді деп есептеледі, бірақ көбінесе есептеулер үшін артық сипаттамамен жұмыс істеу ыңғайлырақ болады.
In theoretical physics, an analysis of flows is the study of "gauge" or "gaugelike" "symmetries" (i. e. flows the formulation of a theory is invariant under). It is generally agreed that flows indicate nothing more than a redundancy in the description of the dynamics of a system, but often, it is simpler computationally to work with a redundant description.
Іс-әрекет формализміне қатысты ағымдар
Классикалық түрде, әрекет конфигурация кеңістігіндегі функционал болып табылады. Шалдағы шешімдер шекті шарттар сақтала отырып, әрекетті экстремизациялаудың вариациялық мәселесімен беріледі. Шекараны оқулықтарда көбінесе ескермесе де, ол ағындарды зерттеуде маңызды рөл атқарады. Бізде "ағын" бар деп есептейік, яғни конфигурация кеңістігінің бір өлшемді трансформациялар тобының генераторы, ол шекті шарттарды сақтай отырып, шалдағы күйлерді шалдағы күйлерге бейнелейді. Вариациялық принципке сәйкес, орбитадағы барлық конфигурациялар үшін әрекет бірдей болады. Бұл жалпы трансформациялар үшін дұрыс емес, олар шалдағы күйлерді шалдағы күйлерге бейнелейді, бірақ шекті шарттарды өзгертеді. Мұнда бірнеше мысал келтіріледі. Трансляциялық симметриясы бар теорияда, уақыт бойынша ауыстырулар ағын болып табылмайды, өйткені олар көбінесе шекті шарттарды өзгертеді. Алайда, қарапайым гармоникалық осциллятордың жағдайын қарастырайық, онда шекаралық нүктелер бір-бірінен периодтың еселігімен бөлінеді және бастапқы және соңғы позициялар шекаралық нүктелерде бірдей болады. Осы нақты мысал үшін, ағын бар екені анықталады. Бұл техникалық тұрғыдан ағын болғанымен, әдетте бұл өлшегіш симметриясы деп есептелмейді, өйткені ол жергілікті емес. Ағындар конфигурация кеңістігіндегі тегіс функционалдар алгебрасы бойынша туындылар түрінде берілуі мүмкін. Егер бізде ағын таралуы (яғни ағынға бағаланған таралу) болса және ағын жергілікті аймақта таратылғанда тек сол аймақтағы өріс конфигурациясына әсер етсе, онда біз бұл ағын таралуын өлшегіш ағын деп атаймыз. Бізді тек шалда не болатыны қызықтыратындықтан, біз көбінесе Эйлер-Лагранж теңдеулерімен туындаған идеалға қатысты бөліп қарастырамыз, яғни шалда келісетін функционалдардың/ағындардың эквивалентті класын қарастырамыз.
Classically, the action is a functional on the configuration space. The on shell solutions are given by the variational problem of extremizing the action subject to boundary conditions. While the boundary is often ignored in textbooks, it is crucial in the study of flows. Suppose we have a "flow", i. e. the generator of a smooth one dimensional group of transformations of the configuration space, which maps on shell states to on shell states while preserving the boundary conditions. Because of the variational principle, the action for all of the configurations on the orbit is the same. This is not the case for more general transformations which map on shell to on shell states but change the boundary conditions. Here are several examples. In a theory with translational symmetry, timelike translations are not flows because in general they change the boundary conditions. However, now take the case of a simple harmonic oscillator, where the boundary points are at a separation of a multiple of the period from each other, and the initial and final positions are the same at the boundary points. For this particular example, it turns out there is a flow. Even though this is technically a flow, this would usually not be considered a gauge symmetry because it is not local. Flows can be given as derivations over the algebra of smooth functionals over the configuration space. If we have a flow distribution (i. e. flow valued distribution) such that the flow convolved over a local region only affects the field configuration in that region, we call the flow distribution a gauge flow. Given that we are only interested in what happens on shell, we would often take the quotient by the ideal generated by the Euler–Lagrange equations, or in other words, consider the equivalence class of functionals/flows which agree on shell.