Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В теоретической физике анализ потоков — это изучение "ка́либровочных" или "ка́либровочно-подобных" "симметрий" (то есть потоков, относительно которых формулировка теории является инвариантной). Обычно считается, что потоки указывают лишь на избыточность в описании динамики системы, но зачастую вычислительно проще работать с избыточным описанием.
In theoretical physics, an analysis of flows is the study of "gauge" or "gaugelike" "symmetries" (i. e. flows the formulation of a theory is invariant under). It is generally agreed that flows indicate nothing more than a redundancy in the description of the dynamics of a system, but often, it is simpler computationally to work with a redundant description.
Потоки в формализме действия
Классически, действие является функционалом на конфигурационном пространстве. Решения на оболочке задаются вариационной задачей экстремизации действия при заданных граничных условиях. Хотя граница часто игнорируется в учебниках, она играет решающую роль в изучении потоков. Предположим, у нас есть "поток", то есть генератор гладкой одномерной группы преобразований конфигурационного пространства, который отображает состояния на оболочке в состояния на оболочке, сохраняя при этом граничные условия. В силу вариационного принципа, действие для всех конфигураций на орбите одинаково. Это не так для более общих преобразований, которые отображают состояния на оболочке в состояния на оболочке, но изменяют граничные условия. Вот несколько примеров. В теории с трансляционной симметрией, трансляции во времени не являются потоками, поскольку в общем случае они меняют граничные условия. Однако рассмотрим случай простого гармонического осциллятора, где граничные точки разделены расстоянием, кратным периоду, а начальное и конечное положения совпадают в граничных точках. Для этого конкретного примера оказывается, что поток существует. Даже если это технически поток, он обычно не рассматривается как калибровочная симметрия, поскольку он не является локальным. Потоки могут быть представлены как производные по алгебре гладких функционалов над конфигурационным пространством. Если у нас есть распределение потоков (то есть распределение, принимающее значения потока), такое что свёртка потока по локальной области влияет только на конфигурацию поля в этой области, мы называем такое распределение потоков калибровочным потоком. Поскольку нас интересует только то, что происходит на оболочке, мы часто берём фактор по идеалу, порождённому уравнениями Эйлера — Лагранжа, или, другими словами, рассматриваем класс эквивалентности функционалов/потоков, которые совпадают на оболочке.
Classically, the action is a functional on the configuration space. The on shell solutions are given by the variational problem of extremizing the action subject to boundary conditions. While the boundary is often ignored in textbooks, it is crucial in the study of flows. Suppose we have a "flow", i. e. the generator of a smooth one dimensional group of transformations of the configuration space, which maps on shell states to on shell states while preserving the boundary conditions. Because of the variational principle, the action for all of the configurations on the orbit is the same. This is not the case for more general transformations which map on shell to on shell states but change the boundary conditions. Here are several examples. In a theory with translational symmetry, timelike translations are not flows because in general they change the boundary conditions. However, now take the case of a simple harmonic oscillator, where the boundary points are at a separation of a multiple of the period from each other, and the initial and final positions are the same at the boundary points. For this particular example, it turns out there is a flow. Even though this is technically a flow, this would usually not be considered a gauge symmetry because it is not local. Flows can be given as derivations over the algebra of smooth functionals over the configuration space. If we have a flow distribution (i. e. flow valued distribution) such that the flow convolved over a local region only affects the field configuration in that region, we call the flow distribution a gauge flow. Given that we are only interested in what happens on shell, we would often take the quotient by the ideal generated by the Euler–Lagrange equations, or in other words, consider the equivalence class of functionals/flows which agree on shell.