Сандар мен мүмкіндіктер математикасы

Кіріспе

Математиканың мүмкіндік және белгісіздікпен айналысатын саласы

Ықтималдық – оқиғалар мен олардың сандық сипаттамаларын, олардың қаншалықты болуға мүмкіндігін зерттейтін математиканың бір саласы. Оқиғаның ықтималдығы 0 мен 1 арасындағы сан болып табылады; ықтималдық қаншалықты жоғары болса, оқиғаның орын алу мүмкіндігі де соғұрлым жоғары болады. Қатаң айтқанда, 0 ықтималдығы оқиғаның дерлік ешқашан орын алмағанын көрсетеді, ал 1 ықтималдығы оқиғаның әлде қашан орын алатынын көрсетеді. Бұл, үлгі кеңістігі шексіз болған кезде маңызды айырмашылық. Мысалы, [5, 10] нақты аралығындағы үздіксіз біртекті таралым үшін мүмкін нәтижелердің шексіз саны бар, және кез келген нәтиже байқалу ықтималдығы – мысалы, дәл 7 – 0-ге тең. Бұл байқаудың дәл 7 емес екеніне сенімділік береді. Дегенмен, бұл дәл 7 болуы мүмкін емес дегенді білдірмейді. Соңында, белгілі бір нәтиже (ықтималдығы 0) байқалады, және осы нақты нәтижеге бір мүмкіндік – дәл 7. Жақсы мысал – әділ (бұрылмаған) монетаны лақтыру. Монета әділ болғандықтан, екі нәтиже де ("сырғақ" және "құйрық") бірдей ықтимал; "сырғақ" ықтималдығы "құйрық" ықтималдығына тең; және басқа нәтижелердің болуы мүмкін емес болғандықтан, "сырғақ" немесе "құйрық" ықтималдығы 1/2 (осы 0,5 немесе 50% деп те жазуға болады). Осы ұғымдар ықтималдық теориясында аксиоматикалық математикалық формализацияға ие, ол статистика, математика, ғылым, қаржы, құмар ойындар, жасанды интеллект, машиналық оқыту, компьютерлік ғылым, ойын теориясы және философия сияқты зерттеу салаларында кеңінен қолданылады, мысалы, оқиғалардың күтілетін жиілігі туралы қорытындылар жасау үшін. Ықтималдық теориясы күрделі жүйелердің негізгі механизмдерін және заңдылықтарын сипаттау үшін де қолданылады.

Түсіндірме

Кездейсоқ эксперименттермен жұмыс істегенде – яғни, кездейсоқ және дұрыс анықталған эксперименттер – таза теориялық жағдайда (мысалы, тиянақты монета лақтыру) ықтималдықтарды сандық тұрғыда қажетті нәтижелер санының, барлық нәтижелердің жалпы санына бөлінуі арқылы сипаттауға болады. Бұл теориялық ықтималдық деп аталады (нақты эксперименттер контекстіндегі ықтималдықтармен айналысатын эмпирикалық ықтималдықтан өзгеше). Мысалы, монетаны екі рет лақтырғанда "сырға бас", "сырға құйрық", "құйрыққа бас" және "құйрыққа құйрық" нәтижелері шығады. "Сырға бас" нәтижесіне жету ықтималдығы 4 нәтижеден 1-і, немесе сандық мәнде 1/4, 0.25 немесе 25% құрайды. Дегенмен, практикалық қолдануға келгенде, ықтималдықты түсіндірудің екі негізгі бәсекелес санаты бар, олардың жақтастары ықтималдықтың негізгі мәні туралы әртүрлі пікірде: Объективистер белгілі бір объективті немесе физикалық жағдайды сипаттау үшін сандарды қолданады. Объективті ықтималдықтың ең танымал түрі – жиіліктік ықтималдық, ол кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы эксперименттің қайталану жиілігін білдіреді, егер эксперимент шексіз рет қайталанса. Бұл түсінікте ықтималдық – нәтижелердің "ұзақ мерзімді" жиілігі ретінде қарастырылады. Бұған қатысты модификациясы – бейімділік ықтималдығы, ол ықтималдықты эксперименттің белгілі бір нәтижені тудыруға бейімділігі ретінде түсіндіреді, тіпті ол бір рет орындалса да. Субъективистер сандарды субъективті ықтималдыққа, яғни сенімнің дәрежесіне сәйкес тағайындайды. Сенімнің дәрежесі "Е оқиғасы орын алса 1 пайдалылық бірлігін төлейтін, ал Е орын алмаса 0 төлейтін ставканы сатып алу немесе сату бағасы" ретінде түсіндірілген, бірақ бұл түсінікте жалпы келісім жоқ. Субъективті ықтималдықтың ең танымал түрі – Байес ықтималдығы, ол ықтималдықты алу үшін сарапшылық білімді және эксперименттік деректерді қамтиды. Сарапшылық білім белгілі бір (субъективті) алдын ала ықтималдық таралымымен бейнеленеді. Бұл деректер ықтималдық функциясына енгізіледі. Алдын ала және ықтималдықтың көбейтіндісі нормаланғанда, осы күнге дейін белгілі барлық ақпаратты қамтитын кейінгі ықтималдық таралымын береді. Ауманның келісім теоремасы бойынша, бұрынғы сенімдері ұқсас Байес агенттері кейінгі сенімдеріне қатысты да ұқсас нәтижелерге жетеді. Дегенмен, агенттер қанша ақпарат бөліссе де, жеткілікті түрде ерекшеленетін алдын ала сенімдер әртүрлі қорытындыларға әкелуі мүмкін.

When dealing with random experiments – i. e., experiments that are random and well defined – in a purely theoretical setting (like tossing a coin), probabilities can be numerically described by the number of desired outcomes, divided by the total number of all outcomes. This is referred to as theoretical probability (in contrast to empirical probability, dealing with probabilities in the context of real experiments). For example, tossing a coin twice will yield "head head", "head tail", "tail head", and "tail tail" outcomes. The probability of getting an outcome of "head head" is 1 out of 4 outcomes, or, in numerical terms, 1/4, 0.25 or 25%. However, when it comes to practical application, there are two major competing categories of probability interpretations, whose adherents hold different views about the fundamental nature of probability:
Objectivists assign numbers to describe some objective or physical state of affairs. The most popular version of objective probability is frequentist probability, which claims that the probability of a random event denotes the relative frequency of occurrence of an experiment's outcome when the experiment is repeated indefinitely. This interpretation considers probability to be the relative frequency "in the long run" of outcomes. A modification of this is propensity probability, which interprets probability as the tendency of some experiment to yield a certain outcome, even if it is performed only once. Subjectivists assign numbers per subjective probability, that is, as a degree of belief. The degree of belief has been interpreted as "the price at which you would buy or sell a bet that pays 1 unit of utility if E, 0 if not E", although that interpretation is not universally agreed upon. The most popular version of subjective probability is Bayesian probability, which includes expert knowledge as well as experimental data to produce probabilities. The expert knowledge is represented by some (subjective) prior probability distribution. These data are incorporated in a likelihood function. The product of the prior and the likelihood, when normalized, results in a posterior probability distribution that incorporates all the information known to date. By Aumann's agreement theorem, Bayesian agents whose prior beliefs are similar will end up with similar posterior beliefs. However, sufficiently different priors can lead to different conclusions, regardless of how much information the agents share.

Этимология

Ықтималдық сөзі латын тіліндегі probabilitas сөзінен туындаған, ол сонымен қатар "әділдік", "сенімділік" мағыналарын да білдіреді. Еуропадағы сот ісінде бұл куәгердің беделінің өлшемі ретінде қарастырылып, көбінесе куәгердің тегіне байланысты болған. Дегенмен, бұл ықтималдықтың қазіргі заманғы мағынасынан өте өзгеше, себебі қазіргі ықтималдық – эмпирикалық деректердің салмағын өлшейтін көрсеткіш, ол индуктивті ойлау және статистикалық қорытындылар арқылы анықталады.

Тарих

Ықтималдықтың ғылыми зерттеуі – математиканың қазіргі заманғы дамуы. Құмар ойындар тарих бойы ықтималдық идеясын сандық тұрғыда анықтауға деген қызығушылық болғанын көрсетеді, бірақ нақты математикалық сипаттамалар одан кейін пайда болды. Ықтималдық математикасының баяу дамуына себептер бар. Ойынның математикалық зерттеуіне ықпал еткенімен, осы кітапта айтылғандай, осы теория мен оның артындағы логика, таза сәттілікке немесе мифологиялық аргументтерге, мысалы, сәттілік құдайларының ойын жеңімпазына көмектесуіне сүйенетін, асығыс болжамдарға қарағанда, мұндай құбылыстарды басқарады. Ричард Джеффридің айтуынша, "XVII ғасырдың ортасына дейін "әлеуетті" (латынша probabilis) термині мақұлданған дегенді білдірді және осы мағынада бір ауыздан пікір мен әрекетке қолданылды. Ықтимал әрекет немесе пікір – ақылға қонымды адамдар осындай жағдайларда қолға алатын немесе ұстанатын әрекет немесе пікір болды". Дегенмен, әсіресе құқықтық контексте, "әлеуетті" сөзі жақсы дәлелдері бар ұсыныстарға да қолданылуы мүмкін. XVI ғасырдың итальян ғалымы Героламо Кардано ықтималдықты қолайлы нәтижелер мен қолайсыз нәтижелердің арақатынасы ретінде анықтаудың тиімділігін көрсетті (яғни, оқиғаның ықтималдығы қолайлы нәтижелердің жалпы мүмкін нәтижелер санына қатынасымен беріледі). Карданоның элементарлық жұмысынан басқа, ықтималдықтар туралы ілім Пьер де Ферма мен Блез Паскальдың (1654) хат алмасуына жатады. Кристиан Гюйгенс (1657) осы тақырыпты ғылыми тұрғыдан алғаш зерттеді. Якоб Бернуллидің "Ars Conjectandi" (авторы қайтыс болғаннан кейін, 1713) және Абрахам де Муаврдің "Шанстар доктринасы" (1718) бұл пәнді математиканың бір саласы ретінде қарастырды. Математикалық ықтималдықтың тұжырымдамасының ерте даму тарихы үшін Иан Хаккингтің "Ықтималдықтың пайда болуы" кітабын қараңыз. Қателер теориясы Роджер Котстың "Opera Miscellanea" (авторы қайтыс болғаннан кейін, 1722) еңбегіне қайта оралуы мүмкін, бірақ Томас Симпсонның 1755 жылы дайындаған (1756 жылы басылған) естелігі теорияны алғаш рет бақылау қателерін талқылауға қолданды. Бұл естеліктің қайта басылуы (1757) оң және теріс қателердің бірдей ықтимал екендігі және белгілі бір шектер барлық қателердің ауқымын анықтайды деген аксиомаларды белгілейді. Симпсон үздіксіз қателерді талқылап, ықтималдық қисығын сипаттайды. Алғашқы екі қателік заңдары Пьер Симон Лапластан бастау алды. Бірінші заң 1774 жылы жарияланды және қателік жиілігі қателіктің сандық шамасының экспоненциалдық функциясы ретінде берілуі мүмкін екенін мәлімдеді (белгісін ескермей). Қателіктердің екінші заңын 1778 жылы Лаплас ұсынды, ол қателік жиілігі қателік квадратының экспоненциалдық функциясы екенін айтты. Қателіктердің екінші заңы қалыпты таралу немесе Гаусс заңы деп аталады. "Бұл заңды Гаусске жатқызу қиын, өйткені оның ерте дамыған қабілеттеріне қарамастан, ол осы жаңалықты екі жасқа дейін жасамаған болуы мүмкін". Легендренің үлесін білмей, "The Analyst" (1808) журналының редакторы, ирланд-американдық жазушы Роберт Адрейн, ең алдымен, қателіктердің заңдылығын анықтады, мұнда – бақылаудың дәлдігіне байланысты тұрақты, ал – қисық астындағы аудан 1-ге тең болуын қамтамасыз ететін масштабтық фактор. Ол екі дәлел келтірді, екіншісі Джон Гершельдің (1850) дәлелімен бірдей. Гаусс 1809 жылы Еуропада белгілі болған көрінеді (Адрейннен кейін үшінші) алғашқы дәлелді берді. Лаплас (1810, 1812), Гаусс (1823), Джеймс Айвори (1825, 1826), Хаген (1837), Фридрих Бессел (1838), В. Ф. Донкин (1844, 1856) және Морган Крофтон (1870) қосымша дәлелдер келтірді. Басқа еңбектерінде Эллис (1844), Де Морган (1864), Глейшер (1872) және Джованни Шиапарелли (1875) болды. Питерстің (1856) r формуласы, бір ғана байқаудың ықтимал қатесі, жақсы белгілі. XIX ғасырда жалпы теорияның авторлары болып Лаплас, Сильвестр Лакруа (1816), Литроу (1833), Адольф Квелет (1853), Ричард Дедекинд (1860), Гельмерт (1872), Герман Лоран (1873), Лиагре, Дидион және Карл Пирсон саналады. Огастус Де Морган мен Джордж Буль теорияның мазмұнын жетілдірді. 1906 жылы Андрей Марков Марков тізбектері туралы түсінік енгізді, бұл теориялық процестер теориясында және оның қолданылуында маңызды рөл атқарды. Мүмкіндік теориясының қазіргі заманғы өлшем теориясына негізделген теориясын 1931 жылы Андрей Колмогоров әзірледі. Геометриялық жағынан "The Educational Times" журналына Миллер, Крофтон, Макколл, Вольстенхолм, Уотсон және Артемас Мартиннің еңбектері қосылған. Қосымша ақпарат үшін интегралдық геометрияны қараңыз.

The scientific study of probability is a modern development of mathematics. Gambling shows that there has been an interest in quantifying the ideas of probability throughout history, but exact mathematical descriptions arose much later. There are reasons for the slow development of the mathematics of probability. Whereas games of chance provided the impetus for the mathematical study of probability, fundamental issues In the context of the book that this is quoted from, it is the theory of probability and the logic behind it that governs the phenomena of such things compared to rash predictions that rely on pure luck or mythological arguments such as gods of luck helping the winner of the game. are still obscured by superstitions. According to Richard Jeffrey, "Before the middle of the seventeenth century, the term 'probable' (Latin probabilis) meant approvable, and was applied in that sense, univocally, to opinion and to action. A probable action or opinion was one such as sensible people would undertake or hold, in the circumstances." However, in legal contexts especially, 'probable' could also apply to propositions for which there was good evidence. The sixteenth century Italian polymath Gerolamo Cardano demonstrated the efficacy of defining odds as the ratio of favourable to unfavourable outcomes (which implies that the probability of an event is given by the ratio of favourable outcomes to the total number of possible outcomes). Aside from the elementary work by Cardano, the doctrine of probabilities dates to the correspondence of Pierre de Fermat and Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) gave the earliest known scientific treatment of the subject. Jakob Bernoulli's Ars Conjectandi (posthumous, 1713) and Abraham de Moivre's Doctrine of Chances (1718) treated the subject as a branch of mathematics. See Ian Hacking's The Emergence of Probability for histories of the early development of the very concept of mathematical probability. The theory of errors may be traced back to Roger Cotes's Opera Miscellanea (posthumous, 1722), but a memoir prepared by Thomas Simpson in 1755 (printed 1756) first applied the theory to the discussion of errors of observation. The reprint (1757) of this memoir lays down the axioms that positive and negative errors are equally probable, and that certain assignable limits define the range of all errors. Simpson also discusses continuous errors and describes a probability curve. The first two laws of error that were proposed both originated with Pierre Simon Laplace. The first law was published in 1774, and stated that the frequency of an error could be expressed as an exponential function of the numerical magnitude of the errordisregarding sign. The second law of error was proposed in 1778 by Laplace, and stated that the frequency of the error is an exponential function of the square of the error. The second law of error is called the normal distribution or the Gauss law. "It is difficult historically to attribute that law to Gauss, who in spite of his well known precocity had probably not made this discovery before he was two years old." In ignorance of Legendre's contribution, an Irish American writer, Robert Adrain, editor of "The Analyst" (1808), first deduced the law of facility of error,

where is a constant depending on precision of observation, and is a scale factor ensuring that the area under the curve equals 1. He gave two proofs, the second being essentially the same as John Herschel's (1850). Gauss gave the first proof that seems to have been known in Europe (the third after Adrain's) in 1809. Further proofs were given by Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856), and Morgan Crofton (1870). Other contributors were Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), and Giovanni Schiaparelli (1875). Peters's (1856) formula for r, the probable error of a single observation, is well known. In the nineteenth century, authors on the general theory included Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion and Karl Pearson. Augustus De Morgan and George Boole improved the exposition of the theory. In 1906, Andrey Markov introduced the notion of Markov chains, which played an important role in stochastic processes theory and its applications. The modern theory of probability based on measure theory was developed by Andrey Kolmogorov in 1931. On the geometric side, contributors to The Educational Times included Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson, and Artemas Martin. See integral geometry for more information.

Теория

Басқа теориялар сияқты, ықтималдық теориясы – оның түсініктерін формальды терминдерде бейнелеу, яғни мағынасынан тәуелсіз қарастырылатын терминдерде. Бұл формальды терминдер математика мен логика ережелері арқылы қолданылады, ал кез келген нәтижелер проблемалық салаға түсіндіріледі немесе аударылады. Ықтималдықты формалдауға кем дегенде екі сәттік әрекет жасалды, атап айтқанда Колмогоровтың формулировкасы және Кокс формулировкасы. Колмогоровтың формулировкасында (сонымен қатар ықтималдық кеңістігін қараңыз) жиынтықтар оқиғалар ретінде түсіндіріледі, ал ықтималдық – жиынтықтар класындағы өлшем ретінде қарастырылады. Кокс теоремасында ықтималдық бастапқы түсінік ретінде қабылданады (яғни одан әрі талданбайды), ал басымдық ықтималдық шамаларының дұрыс тағайындалуын құруға беріледі. Екі жағдайда да ықтималдық заңдары бірдей, тек техникалық ерекшеліктермен ғана айырылады. Белгісіздікті сандық бағалаудың басқа да әдістері бар, мысалы, Демпстер-Шафер теориясы немесе мүмкіндік теориясы, бірақ олар негізінен өзгеше және әдеттегі ықтималдық заңдарымен үйлесімсіз.

Қолданбалар

Ықтималдықтар теориясы күнделікті өмірде тәуекелді бағалау және модельдеуде қолданылады. Сақтандыру индустриясы және нарықтар баға белгілеу және сауда шешімдерін қабылдау үшін актуариат ғылымын пайдаланады. Үкіметтер қоршаған ортаны реттеу, құқықтарды анықтау және қаржылық реттеуде ықтималдық әдістерін қолданады. Акция саудасында ықтималдықтар теориясын қолданудың мысалы – мұнай бағасына Таяу Шығыстағы кең ауқымды қақтығыс болу ықтималдығының әсері, ол бүкіл экономикаға әсер етеді. Тауар саудагерінің соғыс болу ықтималдығы жоғары деген бағасы осы тауардың бағасын жоғары немесе төмен қозғалтады және басқа саудагерлерге осы пікірді жеткізеді. Сәйкесінше, ықтималдықтар тәуелсіз немесе әрқашан рационалды түрде бағаланбайды. Мінез-қаржы теориясы осындай топтық ойдың баға белгілеуге, саясатқа және бейбітшілік пен қақтығыстарға тигізетін әсерін сипаттау үшін пайда болды. Қаржылық бағалаудан басқа, ықтималдықты биологиядағы үрдістерді (мысалы, аурудың таралуын) және экологияны (мысалы, биологиялық Пуннетт шаршыларын) талдау үшін де қолдануға болады. Қаржы саласындағыдай, тәуекелді бағалау жағымсыз оқиғалардың болу ықтималдығын есептеу үшін статистикалық құрал ретінде қолданылуы мүмкін және осындай жағдайларға тап болмау үшін қағидаларды енгізуге көмектеседі. Ықтималдықтар қанағатты пайда табу үшін казиноларға кепілдік беретін, бірақ ойыншыларды ойынды жалғастыруға ынталандыру үшін жиі төлем жасайтын кездейсоқ ойындарды жобалау үшін қолданылады. Күнделікті өмірде ықтималдықтар теориясының тағы бір маңызды қолданылуы – сенімділік. Автомобильдер және тұтыну электроникасы сияқты көптеген тұтыну тауарлары өнімді жобалау кезінде бұзылу ықтималдығын азайту үшін сенімділік теориясын пайдаланады. Бұзылу ықтималдығы өндірушінің өнімге кепілдік беру туралы шешімдеріне әсер етуі мүмкін. Табиғи тілді өңдеуде қолданылатын кэш тілінің моделі және басқа статистикалық тілдердің модельдері де ықтималдықтар теориясының қолданылуының мысалдары болып табылады.

Шартты ықтималдық

Шартты ықтималдылық – бұл қандай да бір оқиға В болған жағдайда, қандай да бір оқиға А-ның болу ықтималдығы. Шартты ықтималдылық мысықтай жазылады, және "В болғанда А-ның ықтималдығы" деп оқылады. Егер онда бұл өрнек бойынша формальды түрде анықталмайды. Бұл жағдайда және тәуелсіз, себебі. Дегенмен, кейбір нөлдік ықтималдық оқиғалары үшін шартты ықтималдықты анықтау мүмкін, мысалы, мұндай оқиғалардың σ-алгебрасын пайдалану арқылы (мысалы, үздіксіз кездейсоқ шамадан туындайтындар). Мысалы, 2 қызыл және 2 көк шардан тұратын қаптамада (барлығы 4 шар) қызыл шар алу ықтималдығы , бірақ екінші шарды алғанда, оның қызыл немесе көк шар болу ықтималдығы бұрын алынған шарға байланысты болады. Мысалы, егер қызыл шар алынса, онда тағы да қызыл шар алу ықтималдығы болады, себебі тек 1 қызыл және 2 көк шар қалған болар еді. Ал егер бұрын көк шар алынса, қызыл шар алу ықтималдығы болады.

Кері ықтималдығы

Ықтималдықтар теориясы мен қолданбаларында Байес ережесі бір оқиғаның қандай оқиғаға қатысты ықтималдығын (бұрынғы) және басқа оқиғаның болған жағдайынан кейін (кейінгі) анықтайды. Бір оқиғаның екінші оқиғаға қатысты ықтималдықтарының қатынасы осы екі оқиғаның арақатынасымен анықталады. Егер қызығушылық тудыратын екі емес, көптеген оқиғалар болса, ереже келесідей қайта формулировкаланады: кейінгі ықтималдық бұрынғы ықтималдыққа көбейтілген сәйкестікке пропорционалды, мұнда пропорционалдық белгісі сол жақ бөлігінің оң жақ бөлігіне пропорционалды екенін білдіреді (яғни, тұрақтыға көбейтілгенге тең), ал өзгергенде, тұрақты немесе берілген (Ли, 2012; Бертч Макгрейн, 2012). Осы формада ол Лапласқа (1774) және Курноға (1843) дейін жетеді; қараңыз: Фенберг (2005). Кері ықтималдық және Байес ережесін қараңыз.

Кванттық механикадағы кездейсоқтық пен ықтималдыққа қатыстылығы

Детерминистік ғаламда, Ньютонның концепцияларына негізделген, барлық жағдайлар белгілі болса, ықтималдық болмайды (Лапластың демоны) (бірақ бастапқы жағдайларға сезімталдық, оларды өлшеу мүмкіндігімізден асып түсетін жағдайлар бар, яғни оларды білу). Рулетка дөңгелегінің мысалында, егер қолдың күші және осы күштің периоды белгілі болса, шар тоқтайтын сан нақты болар еді (бірақ практикалық тұрғыдан алғанда, бұл тек Томас А. Басс ашқандай, дәл тегістелмеген рулетка дөңгелегі үшін ғана дұрыс болар еді). Бұл сонымен қатар дөңгелектің инерциясы мен үйкелісін, салмағын, шардың тегіс және дөңгелек болуын, айналу кезінде қол жылдамдығының өзгеруін және тағы басқаларын білуді қажет етеді. Осылайша, ықтималдық сипаттамасы, рулетка дөңгелегінің қайталама айналымдарының нәтижелерін талдау үшін Ньютон механикасынан гөрі тиімді болуы мүмкін. Физиктер газдардың кинетикалық теориясында да осындай жағдайға тап болады, онда жүйе принципі бойынша детерминистік болғанымен, өте күрделі (молекулалардың саны әдетте Авогадро тұрақтысының шамасымен – 6.02 – бірдей) болғандықтан, оның қасиеттерін статистикалық түрде сипаттау ғана мүмкін. Кванттық құбылыстарды сипаттау үшін ықтималдықтар теориясы қажет. 20 ғасырдың басындағы физиканың революциялық ашылуы – барлық физикалық процестердің, атомдық емес деңгейде өтетін және кванттық механика заңдарымен басқарылатын, кездейсоқ сипатқа ие екендігі болды. Объектілі толқындық функция детерминистік түрде эволюциялайды, бірақ Копенгагендік интерпретация бойынша, ол бақылаудың ықтималдықтарымен айналысады, нәтиже бақылау жасалған кезде толқындық функцияның күйреуімен түсіндіріледі. Алайда, инструментализм үшін детерминизмді жоғалту барлыққа бірдей қабылданбады. Альберт Эйнштейн Макс Борнға жолдаған хатында: «Мен Құдайдың ойын ойнамайтынына сенемін» деді. Эйнштейн сияқты, толқындық функцияны ашқан Эрвин Шрёдингер кванттық механиканың – жатқан негіздегі детерминистік шындықтың статистикалық жуықтауы екеніне сенді. Қазіргі заманғы өлшемдердің статистикалық механикасының кейбір интерпретацияларында, субъективті ықтималдық эксперименттік нәтижелердің пайда болуын түсіндіру үшін кванттық декогеренция қолданылады.

In a deterministic universe, based on Newtonian concepts, there would be no probability if all conditions were known (Laplace's demon) (but there are situations in which sensitivity to initial conditions exceeds our ability to measure them, i. e. know them). In the case of a roulette wheel, if the force of the hand and the period of that force are known, the number on which the ball will stop would be a certainty (though as a practical matter, this would likely be true only of a roulette wheel that had not been exactly levelled – as Thomas A. Bass' Newtonian Casino revealed). This also assumes knowledge of inertia and friction of the wheel, weight, smoothness, and roundness of the ball, variations in hand speed during the turning, and so forth. A probabilistic description can thus be more useful than Newtonian mechanics for analyzing the pattern of outcomes of repeated rolls of a roulette wheel. Physicists face the same situation in the kinetic theory of gases, where the system, while deterministic in principle, is so complex (with the number of molecules typically the order of magnitude of the Avogadro constant 6.02) that only a statistical description of its properties is feasible. Probability theory is required to describe quantum phenomena. A revolutionary discovery of early 20th century physics was the random character of all physical processes that occur at sub atomic scales and are governed by the laws of quantum mechanics. The objective wave function evolves deterministically but, according to the Copenhagen interpretation, it deals with probabilities of observing, the outcome being explained by a wave function collapse when an observation is made. However, the loss of determinism for the sake of instrumentalism did not meet with universal approval. Albert Einstein famously remarked in a letter to Max Born: "I am convinced that God does not play dice". Like Einstein, Erwin Schrödinger, who discovered the wave function, believed quantum mechanics is a statistical approximation of an underlying deterministic reality. In some modern interpretations of the statistical mechanics of measurement, quantum decoherence is invoked to account for the appearance of subjectively probabilistic experimental outcomes.