Кіріспе
Гамильтондық формулировкатарды қабылдайтын кейбір теориялардағы басты шектеу – циклдық кванттық гравитацияның ерекшелігі. Гамильтондық шектеу, Гамильтондық формулировканы қабылдайтын және репараметризация инвариантты болатын кез келген теориядан туындайды. Жалпы салыстырмалылық теориясының Гамильтондық шектеуі – маңызды және ерекше мысал. Жалпы салыстырмалылық теориясы контекстінде, Гамильтондық шектеу техникалық түрде кеңістіктік және уақыт диффеоморфизмдерінің сызықтық комбинациясын білдіреді, бұл теорияның кеңістік және уақыт координаттары бойынша репараметризациялануын көрсетеді. Дегенмен, көбінесе «Гамильтондық шектеу» термині уақыт диффеоморфизмдерін жасайтын шектеу үшін қолданылады.
a feature of the loop quantum gravity
The Hamiltonian constraint arises from any theory that admits a Hamiltonian formulation and is reparametrisation invariant. The Hamiltonian constraint of general relativity is an important non trivial example. In the context of general relativity, the Hamiltonian constraint technically refers to a linear combination of spatial and time diffeomorphism constraints reflecting the reparametrizability of the theory under both spatial as well as time coordinates. However, most of the time the term Hamiltonian constraint is reserved for the constraint that generates time diffeomorphisms.
Параметрлеу
Классикалық механика әдеттегідей уақытқа тәуелсіз айнымалы ретінде ерекше рөл береді. Бірақ мұның қажеті жоқ. Механиканы уақыт айнымалысын кеңейтілген фазалық кеңістіктегі басқа айнымалылармен бірдей негізде қарау үшін, уақытша айнымалыны параметрлеу арқылы ортақ, бірақ анықталмаған параметрлік айнымалының тұрғысынан қарастыруға болады. Фазалық кеңістіктегі айнымалылар бірдей жағдайда болады. Біздің жүйеміз қарапайым гармониялық қозғалысты орындайтын маятник пен сағаттан тұрады делік. Жүйені классикалық түрде x=x(t позициясы арқылы сипаттауға болады, мұнда x уақыттың функциясы ретінде анықталады, сонымен қатар x және t арасындағы қатынас тікелей көрсетілмеген жағдайда, сол жүйені x және t арқылы сипаттауға болады. Оның орнына x және t параметрмен анықталады, бұл жүйе параметрі ғана, және ол өзінің жеке мағынасына ие болмауы мүмкін. Жүйені орталықтан маятниктің орнымен, деп белгіленетін және сағаттың көрсеткішімен, деп белгіленетін арқылы сипаттауға болады. Біз бұл айнымалыларды бірдей негізде қарастыру үшін, деп белгіленетін, ойдағы параметрді енгіземіз. Оның параметріне қатысты "эволюциясы" бізді ығысу мен сағаттың көрсеткіші арасындағы барлық мүмкін байланыстар арқылы үздіріссіз өткізеді. Әрине, параметрді кез келген монотонды функциямен алмастыруға болады. Осылайша жүйе репараметризацияға қатысты инвариантты болады. Бұл репараметризация инварианттылығының арқасында теорияның параметрдің белгілі бір мәніндегі мәнін немесе мәнін болжауға болмайтынын, тек осы шамалар арасындағы қатынасты ғана болжауға болатынын ескеріңіз. Динамика осы қатынаспен анықталады.
whose 'evolution' with respect to takes us continuously through every possible correlation between the displacement and reading on the clock. Obviously the variable can be replaced by any monotonic function, This is what makes the system reparametrisation invariant. Note that by this reparametrisation invariance the theory cannot predict the value of or for a given value of but only the relationship between these quantities. Dynamics is then determined by this relationship.
Классикалық жалпы салыстырмалылық теориясының гамильтониясы
Жалпы салыстырмалылық теориясының АДМ формуласында кеңістік-уақыт кеңістік кесінділері мен уақытқа бөлінеді, негізгі айнымалылар кеңістік кесіндісіндегі индуцирленген метрика, (кеңістік-уақыт метрикасының кеңістік кесіндісіне индуцирленген метрикасы) және оның экстринсикалық қисықтыққа байланысты конустық импульс айнымалысы болып табылады (бұл кеңістік кесіндісінің кеңістік-уақытқа қатысты қалай қисылатынын және индуцирленген метриканың уақыт бойынша қалай өзгеретінін көрсетеді). Бұл метрикалық каноникалық координаттар. Далалардың уақыт эволюциясы сияқты динамика Гамильтон шектеуімен реттеледі. Гамильтон шектеуінің сәйкестігі кванттық гравитациядағы маңызды ашық мәселе болып табылады, сондай-ақ кез келген осындай ерекше шектеуден физикалық байқаулар алу да қиын. 1986 жылы Абхай Аштекар каноникалық айнымалылардың жаңа жиынтығын – Аштекар айнымалыларын енгізді, бұл үш өлшемді кеңістік кесінділеріндегі метрикалық каноникалық айнымалыларды SU(2) өлшегіш өрісі және оның қосымша айнымалысы арқылы қайта жазудың ерекше тәсілін көрсетеді. Бұл қайта құруда Гамильтон әлдеқайда қарапайымдастырылды. Бұл кванттық жалпы салыстырмалылықтың бұрандалы бейнелеуіне және одан әрі бұрандалы кванттық гравитацияға әкелді. Бұрандалы кванттық гравитация аясында Тиман математикалық тұрғыдан қатаң операторды осындай шектеу ретінде ұсынды. Бұл оператор толық және дәйекті кванттық теорияны анықтаса да, классикалық жалпы салыстырмалылықпен сәйкессіздіктерге байланысты осы теорияның физикалық шындығына күмән туды (кванттық шектеу алгебрасы жабық, бірақ ол GR классикалық шектеу алгебрасына изоморф емес, бұл сәйкессіздіктердің ықтимал дәлелі ретінде қарастырылады, бірақ бұл сәйкессіздіктің нақты дәлелі емес), сондықтан оның түрлендірілген нұсқалары ұсынылды.
Метрлік формула
Идея каноникалық айнымалыларды және оларды 3 метрика кеңістігіндегі толқын функцияларына әсер ететін операторларға айналдыру, содан кейін Гамильтониянды (және басқа да шектеулерді) кванттау болды. Алайда, бұл бағдарлама көп ұзамай түрлі себептермен тым қиын болып саналды, соның бірі – Гамильтондық шектеудің полиномдық емес сипаты:
мұнда – үш метриканың скалярлық қисықтығы. Каноникалық айнымалылар мен олардың туындыларындағы полиномдық емес өрнек болғандықтан, оны кванттық операторға көшіру өте қиын.