Введение

Ключевое ограничение в некоторых теориях, допускающих гамильтоновские формулировки, – характеристика петлевой квантовой гравитации. Гамильтоновское ограничение возникает в любой теории, допускающей гамильтоновскую формулировку и являющейся репараметризационно инвариантной. Гамильтоновское ограничение общей теории относительности представляет собой важный нетривиальный пример. В контексте общей теории относительности, гамильтоновское ограничение технически относится к линейной комбинации пространственных и временных диффеоморфизмов, отражающей репараметризационную инвариантность теории как относительно пространственных, так и временных координат. Однако, чаще всего термин "гамильтоновское ограничение" используется для обозначения ограничения, генерирующего временные диффеоморфизмы.

Параметризация

В своей обычной форме классическая механика представляется наделяющей время особой ролью как независимой переменной. Однако это не является необходимым. Механику можно сформулировать таким образом, чтобы рассматривать временную переменную наравне с другими переменными в расширенном фазовом пространстве, параметризуя временную переменную (ы) относительно общего, хотя и не указанного параметра. Переменные фазового пространства оказываются на равных. Например, пусть наша система состоит из маятника, совершающего простое гармоническое движение, и часов. В то время как классически система может быть описана положением x=x(t), где x определена как функция времени, также возможно описать ту же систему как x и t, при этом связь между x и t не задается напрямую. Вместо этого x и t определяются параметром , который является просто параметром системы, возможно, не имеющим собственного объективного смысла. Система описывается положением маятника относительно центра, обозначаемым , и показаниями часов, обозначаемыми . Мы приводим эти переменные к одному уровню, вводя фиктивный параметр ,

"эволюция" которого относительно проводит нас непрерывно через все возможные корреляции между смещением и показаниями часов. Очевидно, что переменную можно заменить любой монотонной функцией. Это и делает систему инвариантной относительно перепараметризации. Следует отметить, что благодаря этой инвариантности к перепараметризации теория не может предсказать значение или для заданного значения , а только соотношение между этими величинами. Динамика определяется этим соотношением.

Гамильтонов классической общей теории относительности

В формулировке АДМ общей теории относительности пространство-время разделяется на пространственные сечения и время, основными переменными принимаются индуцированная метрика , на пространственном сечении (метрика, индуцированная на пространственном сечении метрикой пространства-времени), и её сопряжённая переменная импульса, связанная с внешней кривизной , (это показывает, как пространственное сечение искривляется относительно пространства-времени и является мерой эволюции индуцированной метрики во времени). Это метрические канонические координаты. Динамика, такая как временная эволюция полей, определяется гамильтоновым ограничением. Тождественность гамильтонова ограничения остаётся ключевым открытым вопросом в квантовой гравитации, как и выделение физических наблюдаемых из любого конкретного ограничения. В 1986 году Абхай Аштекар ввёл новый набор канонических переменных – переменные Аштекара – представляющие необычный способ переформулировки метрических канонических переменных на трёхмерных пространственных сечениях в терминах SU(2)-калибровочного поля и его сопряжённой переменной. Гамильтониан был значительно упрощён в этой переформулировке. Это привело к петлевому представлению квантовой общей теории относительности и, как следствие, к петлевой квантовой гравитации. В рамках петлевого представления квантовой гравитации Тиманн сформулировал математически строгий оператор в качестве кандидата на роль такого ограничения. Хотя этот оператор определяет полную и непротиворечивую квантовую теорию, возникли сомнения в её физической адекватности из-за несоответствий с классической общей теорией относительности (алгебра квантовых ограничений замкнута, но она не изоморфна классической алгебре ограничений ОТО, что рассматривается как косвенное свидетельство несоответствий, но не является их доказательством), поэтому были предложены различные модификации.

Метрическая формулировка

Идея заключалась в квантовании канонических переменных и , превращении их в операторы, действующие на волновые функции на пространстве трехмерных метрик, а затем в квантовании гамильтониана (и других ограничений). Однако эта программа вскоре стала считаться чрезвычайно сложной по ряду причин, одной из которых является неполиномиальный характер гамильтонианского ограничения:

где – скалярная кривизна трехмерной метрики. Будучи неполиномиальным выражением относительно канонических переменных и их производных, его очень сложно преобразовать в квантовый оператор.