Ықтималдық теориясында "байланыс" әдісі екі кездейсоқ айнымалыны салыстыруға мүмкіндік береді. Бұл W векторы арқылы X пен Y арасындағы қатынасты анықтайды.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Ықтималдық теориясындағы дәлелдеу әдісі
Proof technique in probability theory
Ықтималдық теориясында, жұптастыру – екі байланыссыз кездейсоқ шамаларды (үлестірімдерді) X және Y салыстыруға мүмкіндік беретін дәлелдеу әдісі. Бұл X және Y үшін сәйкес жиек таралымдарына ие W кездейсоқ векторын құру арқылы жүзеге асырылады. W таңдауы әдетте бірегей болмайды, ал «жұптастыру» идеясының мәні – X және Y ерекше тиімді тәсілмен байланысты болатындай осындай таңдау жасау болып табылады.
In probability theory, coupling is a proof technique that allows one to compare two unrelated random variables (distributions) X and Y by creating a random vector W whose marginal distributions correspond to X and Y respectively. The choice of W is generally not unique, and the whole idea of "coupling" is about making such a choice so that X and Y can be related in a particularly desirable way.
Анықтама
Мүмкіндіктің стандартты формализмін пайдаланып, және екі кездейсоқ айнымалылар және ықтималдық кеңістіктерінде анықталсын. Онда және жұптасуы – деген екі кездейсоқ айнымалысы бар жаңа ықтималдық кеңістігі, мұнда -тің үлестірімі -ге, ал -тің үлестірімі -ге тең. Егер және тәуелсіз болмаса, бұл қызықты жағдай.
Using the standard formalism of probability, let and be two random variables defined on probability spaces and Then a coupling of and is a new probability space over which there are two random variables and such that has the same distribution as while has the same distribution as
An interesting case is when and are not independent.
Кездейсоқ жүру
Екі бөлшекті А және В екі өлшемде қарапайым кездейсоқ қозғалыс жасайды деп есептейік, бірақ олар әртүрлі нүктелерден басталады. Оларды жұптастырудың ең оңай жолы – оларды бірге қозғалуға мәжбүрлеу. Әр қадамда, егер А жоғары қарай жылса, В та жоғары қарай жылса, егер А солға қарай жылса, В та солға қарай жылса, және т.б. Осылайша, екі бөлшектің орналасуы арасындағы айырмашылық өзгермейді. А үшін, ол тамаша кездейсоқ қозғалыс жасайды, ал В – еліктеуші. В кері пікірде, яғни ол бастапқы нұсқа, ал А – көшірме. Бір мағынада, олар екеуі де дұрыс. Басқаша айтқанда, кез келген математикалық теорема немесе тұрақты кездейсоқ қозғалыс үшін орындалатын нәтиже, А және В үшін де орындалады. Енді күрделірек мысал қарастырайық. А нүктесінен (0,0) және В нүктесінен (10,10) бастайды деп есептейік. Бірінші кезде, оларды тік бағытта бірге қозғалатындай жұптастырыңыз, яғни егер А жоғары қарай жылса, В та жоғары қарай жылса, бірақ көлденең бағытта айна түрінде болады, яғни егер А солға қарай жылса, В оңға қарай жылса және керісінше. Біз бұл жұптастыруды А мен В бірдей көлденең координатаға ие болғанша, яғни тік сызықта (5,y) болғанша жалғастырамыз. Егер олар ешқашан кездеспесе, біз осы процесті мәңгі жалғастырамыз (мұндай оқиғаның ықтималдығы нөлге тең). Осы оқиғадан кейін біз жұптастыру ережесін өзгертеміз. Оларды көлденең бағытта бірге қозғалуға рұқсат етеміз, бірақ тік бағытта айна түрінде қозғалуын қамтамасыз етеміз. Бұл ережені олар тік бағытта да кездескенше (егер кездессе) жалғастырамыз, содан кейін оларды бірге қозғалуға рұқсат етеміз. Бұл жұптастырудың мәні – ешбір бөлшек өздігінен біз жасаған нәрсені «сезе алмайды». Екінші бөлшек оны бір жолмен немесе екінші жолмен ілесіп жүргені де, біз жұптастыру ережесін өзгерткеніміз де, не оны қашан өзгерткеніміз де маңызды емес. Әрбір бөлшек қарапайым кездейсоқ қозғалыс жасайды. Дегенмен, біздің жұптастыру ережесі оларды дерлік сөзсіз кездесуге мәжбүр етеді және одан кейін мәңгі бірге қозғалуын қамтамасыз етеді. Бұл көптеген қызықты нәтижелерді дәлелдеуге мүмкіндік береді, олар «ұзақ мерзімді перспективада» осы нәтижеге қол жеткізу үшін қайдан бастағаныңыз маңызды емес екенін көрсетеді.
Assume two particles A and B perform a simple random walk in two dimensions, but they start from different points. The simplest way to couple them is simply to force them to walk together. On every step, if A walks up, so does B, if A moves to the left, so does B, etc. Thus, the difference between the two particles' positions stays fixed. As far as A is concerned, it is doing a perfect random walk, while B is the copycat. B holds the opposite view, i. e. that it is, in effect, the original and that A is the copy. And in a sense they both are right. In other words, any mathematical theorem, or result that holds for a regular random walk, will also hold for both A and B. Consider now a more elaborate example. Assume that A starts from the point (0,0) and B from (10,10). First couple them so that they walk together in the vertical direction, i. e. if A goes up, so does B, etc., but are mirror images in the horizontal direction i. e. if A goes left, B goes right and vice versa. We continue this coupling until A and B have the same horizontal coordinate, or in other words are on the vertical line (5,y). If they never meet, we continue this process forever (the probability of that is zero, though). After this event, we change the coupling rule. We let them walk together in the horizontal direction, but in a mirror image rule in the vertical direction. We continue this rule until they meet in the vertical direction too (if they do), and from that point on, we just let them walk together. This is a coupling in the sense that neither particle, taken on its own, can "feel" anything we did. Neither the fact that the other particle follows it in one way or the other, nor the fact that we changed the coupling rule or when we did it. Each particle performs a simple random walk. And yet, our coupling rule forces them to meet almost surely and to continue from that point on together permanently. This allows one to prove many interesting results that say that "in the long run", it is not important where you started in order to obtain that particular result.