Сочетание в теории вероятностей: метод доказательства, сравнивающий случайные величины X и Y через совместную случайную величину W. Примеры и применение.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Техника доказательства в теории вероятности
Proof technique in probability theory
В теории вероятностей, спаривание — это метод доказательства, позволяющий сравнивать две некоррелированные случайные величины (распределения) X и Y, создавая случайный вектор W, маргинальные распределения которого соответствуют X и Y соответственно. Выбор W обычно не единственен, и суть метода "спаривания" заключается в том, чтобы сделать такой выбор, при котором X и Y оказывались бы связаны особенно удобным образом.
In probability theory, coupling is a proof technique that allows one to compare two unrelated random variables (distributions) X and Y by creating a random vector W whose marginal distributions correspond to X and Y respectively. The choice of W is generally not unique, and the whole idea of "coupling" is about making such a choice so that X and Y can be related in a particularly desirable way.
Определение
Используя стандартный формализм теории вероятностей, пусть и будут двумя случайными величинами, определенными на вероятностных пространствах и . Тогда объединением (сопряжением) случайных величин и является новое вероятностное пространство , над которым определены две случайные величины и , такие что имеет то же распределение, что и , а имеет то же распределение, что и . Особый интерес представляет случай, когда и не являются независимыми.
Using the standard formalism of probability, let and be two random variables defined on probability spaces and Then a coupling of and is a new probability space over which there are two random variables and such that has the same distribution as while has the same distribution as
An interesting case is when and are not independent.
Случайная прогулка
Предположим, что две частицы А и В совершают простое случайное блуждание в двух измерениях, но начинают с разных точек. Самый простой способ связать их — просто заставить их двигаться вместе. На каждом шаге, если А идет вверх, то и В, если А движется влево, то и В, и так далее. Таким образом, разность между положениями двух частиц остается постоянной. Что касается А, то оно совершает идеальное случайное блуждание, а В — имитатор. В придерживается противоположной точки зрения, то есть считает, что это, по сути, оригинал, а А — копия. И в некотором смысле они оба правы. Иными словами, любая математическая теорема или результат, справедливый для обычного случайного блуждания, также будет справедлив для А и В. Рассмотрим теперь более сложный пример. Предположим, что А начинает с точки (0,0), а В — с (10,10). Сначала свяжем их так, чтобы они двигались вместе в вертикальном направлении, то есть если А идет вверх, то и В, и так далее, но были зеркальными отражениями друг друга в горизонтальном направлении, то есть если А идет влево, то В идет направо и наоборот. Мы продолжаем эту связь, пока А и В не окажутся на одной вертикальной линии, то есть пока у них не станет одинаковая горизонтальная координата (5,y). Если они никогда не встретятся, мы продолжаем этот процесс бесконечно (хотя вероятность этого равна нулю). После этого события мы изменим правило связи. Мы позволим им двигаться вместе в горизонтальном направлении, но применим правило зеркального отражения в вертикальном направлении. Мы продолжаем это правило, пока они не встретятся и в вертикальном направлении (если это произойдет), и с этого момента просто позволим им двигаться вместе. Это связь в том смысле, что ни одна из частиц, рассматриваемая отдельно, не может "почувствовать" того, что мы сделали. Ни тот факт, что другая частица следует за ней тем или иным образом, ни тот факт, что мы изменили правило связи или когда мы это сделали. Каждая частица совершает простое случайное блуждание. И все же наше правило связи заставляет их почти наверняка встретиться и с этого момента двигаться вместе навсегда. Это позволяет доказать множество интересных результатов, которые утверждают, что "в конечном итоге" не имеет значения, с какой точки вы начали, чтобы получить этот конкретный результат.
Assume two particles A and B perform a simple random walk in two dimensions, but they start from different points. The simplest way to couple them is simply to force them to walk together. On every step, if A walks up, so does B, if A moves to the left, so does B, etc. Thus, the difference between the two particles' positions stays fixed. As far as A is concerned, it is doing a perfect random walk, while B is the copycat. B holds the opposite view, i. e. that it is, in effect, the original and that A is the copy. And in a sense they both are right. In other words, any mathematical theorem, or result that holds for a regular random walk, will also hold for both A and B. Consider now a more elaborate example. Assume that A starts from the point (0,0) and B from (10,10). First couple them so that they walk together in the vertical direction, i. e. if A goes up, so does B, etc., but are mirror images in the horizontal direction i. e. if A goes left, B goes right and vice versa. We continue this coupling until A and B have the same horizontal coordinate, or in other words are on the vertical line (5,y). If they never meet, we continue this process forever (the probability of that is zero, though). After this event, we change the coupling rule. We let them walk together in the horizontal direction, but in a mirror image rule in the vertical direction. We continue this rule until they meet in the vertical direction too (if they do), and from that point on, we just let them walk together. This is a coupling in the sense that neither particle, taken on its own, can "feel" anything we did. Neither the fact that the other particle follows it in one way or the other, nor the fact that we changed the coupling rule or when we did it. Each particle performs a simple random walk. And yet, our coupling rule forces them to meet almost surely and to continue from that point on together permanently. This allows one to prove many interesting results that say that "in the long run", it is not important where you started in order to obtain that particular result.