Кіріспе

Топ теориясында, математиканың бір саласы, ядро – топтың белгілі бір арнайы қалыпты кіші топтарының кез келгені. Екі ең көп кездесетін түрі – кіші топтың қалыпты ядросы және топтың p-ядросы.

Анықтама

G тобы үшін H кіші тобының қалыпты өзегі немесе қалыпты ішкі бөлігі – H-да қамтылған G-дің ең үлкен қалыпты кіші тобы (немесе, баламалы түрде, H-дің конугаттарының қиылысы). Көбірек жалпылай, H-дің S ⊆ G жиынына қатысты өзегі – S бойынша H-дің конугаттарының қиылысы, яғни.

Осы кеңейтілген анықтама бойынша, қалыпты өзек – S = G жағдайындағы өзек. Кез келген қалыпты кіші топтың қалыпты өзегі – өзінің кіші тобы.

Маңыздылығы

Нормальды өзектер жиындардағы топтық әрекеттер контекстінде маңызды, онда кез келген нүктенің изотропиялық кіші тобының нормальды өзегі оның бүкіл орбитасы бойынша сәйкестік ретінде әрекет етеді. Осылайша, егер әрекет транзитивті болса, кез келген изотропиялық кіші топтың нормальды өзегі – әрекеттің ядросы болады. Нормальды өзегі тривиальді кіші топ болатын кіші топ – негізсіз кіші топ. Басқаша айтқанда, бұл транзитивті, адал топтық әрекеттің изотропиялық кіші тобы ретінде кездесетін кіші топ. Абельдік жағдайдағы жасырын кіші топ мәселесінің шешімі, кез келген топтың кіші топтары жағдайында нормальды өзекті табуға жалпыланады.

P-орталық

Осы бөлімде G шекті топты көрсетеді, дегенмен кейбір мәселелер жергілікті шекті топтарға және про-шекті топтарға да қатысты.

Анықтама

Бастапқы p үшін шекті топтың p өзегі оның ең үлкен нормальды p кіші тобы деп анықталады. Ол топтың әрбір Sylow p кіші тобының қалыпты өзегі болып табылады. G-дің p өзегі жиі , деп белгіленеді және әсіресе шекті топтың Fitting кіші тобының анықтамаларының бірінде кездеседі. Сол сияқты, p′ өзегі – G-дің p-ге бөлінбейтін реті бар ең үлкен нормальды кіші тобы және деп белгіленеді. Шекті шешілмейтін топтар саласында, соның ішінде шекті қарапайым топтарды жіктеуде, 2′ өзегі көбінесе жай ғана өзек деп аталады және деп белгіленеді. Бұл шатасуға аз ғана себеп болады, өйткені топтың өзегі мен топтағы кіші топтың өзегін ажырату мүмкін. P′,p өзегі, деп белгіленеді, келесідей анықталады: шекті топ үшін p′,p өзегі – ең үлкен p-нильпотент кіші топ. p өзегі ең үлкен subnormal p кіші тобы ретінде де, p′ өзегі ең үлкен subnormal p′ кіші тобы ретінде де, ал p′,p өзегі ең үлкен subnormal p-нильпотент кіші топ ретінде де анықталуы мүмкін. P′ және p′,p өзектері жоғарғы p сериясын құрайды. П1, П2, …, Пn+1 алғашқы сандар жиындары үшін Oπ1, П2, …, Пn+1(G) кіші топтары келесідей анықталады:

Жоғарғы p сериясы π2i−1 = p′ және π2i = p шартымен құралады; сондай-ақ төменгі p сериясы да бар. Шекті топ p-нильпотентті деп аталады, егер және тек қана ол өзінің p′,p өзегіне тең болса. Шекті топ p-шешілгішті деп аталады, егер ол жоғарғы p сериясының бір мүшесіне тең болса; оның p ұзындығы жоғарғы p сериясының ұзындығымен анықталады. Шекті топ G, егер ол әрбір нильпотентті топ үшін p-нильпотентті, ал әрбір p-нильпотентті топ p-шешілгішті болса, p үшін p-шектеулі болып есептеледі. Әрбір шешілгіш топ p-шешілгішті, ал әрбір p-шешілгіш топ p-шектеулі. Топ p-нильпотентті, егер және тек қана оның p′ өзегі болатын p нормальді толықтығы болса.

Маңыздылығы

Тіпті, жиындардағы топтық әрекеттер үшін нормальді ядролар маңызды болған сияқты, модульдік бейнелеу теориясында да p ядролары мен p′ ядролары маңызды, себебі бұл теория топтардың векторлық кеңістіктердегі әрекеттерін зерттейді. Шекті топтың p өзегі – кез келген p сипаттамасы бар өрістегі азайтылмайтын бейнелеулердің ядроларының қиылысуы. Шекті топ үшін p′ өзегі – негізгі p блогында жатқан қарапайым (кешенді) азайтылмайтын бейнелеулердің ядроларының қиылысуы. Шекті топ үшін p′,p өзегі – негізгі p блогындағы, кез келген p сипаттамасы бар өрістегі азайтылмайтын бейнелеулердің ядроларының қиылысуы. Сондай-ақ, шекті топ үшін p′,p өзегі – p-ге бөлінетін реті бар абельдік басты факторлардың орталықтандырғыштарының қиылысуы (олардың барлығы негізгі блокта жатқан p өлшемді өрістегі азайтылмайтын бейнелеулер). p шектеулі шекті топ үшін, p сипаттамасы бар өрістегі азайтылмайтын модуль негізгі блокта орналасады, егер және тек егер топтың p′ өзегі бейнелеудің ядросына кірсе.

Ерігішті радикалдар

Тұжырымдамасы және белгілеуі бойынша байланысты кіші топ – шешілетін радикал. Шешілетін радикал ең үлкен шешілетін қалыпты кіші топ ретінде анықталады және символымен белгіленеді. G тобының p′ өзегін анықтауда әдебиетте әртүрліліктер кездеседі. Аз ғана авторлар, тек бірнеше мақаласында (мысалы, Джон Г. Томпсонның N тобына арналған мақалаларында, бірақ оның кейінгі еңбектерінде емес) ерітілмейтін топтың p′ өзегін, 2′ өзегінің қасиеттерін жақсырақ қайталау мақсатымен, оның шешілетін радикалының p′ өзегі ретінде анықтайды.