Введение

Любая из определенных специальных нормальных подгрупп группы. В теории групп, разделе математики, ядро — это любая из определенных специальных нормальных подгрупп группы. Два наиболее распространенных типа — нормальное ядро подгруппы и p-ядро группы.

Определение

Для группы G нормальное ядро или нормальное внутреннее пространство подгруппы H является наибольшей нормальной подгруппой G, содержащейся в H (или, эквивалентно, пересечением сопряжённых с H подгрупп). В более общем случае, ядро H относительно подмножества S ⊆ G является пересечением сопряжённых с H подгрупп, образуемых элементами из S, то есть

В соответствии с этим более общим определением, нормальное ядро является ядром относительно S = G. Нормальным ядром любой нормальной подгруппы является сама эта подгруппа.

Значение

Нормальные ядра важны в контексте групповых действий на множествах, где нормальное ядро подгруппы изотропии любой точки действует как тождественное преобразование на всей её орбите. Таким образом, если действие транзитивно, то нормальное ядро любой подгруппы изотропии является ядром действия. Подгруппа, свободная от нормального ядра, — это подгруппа, нормальное ядро которой является тривиальной подгруппой. Эквивалентно, это подгруппа, которая является подгруппой изотропии транзитивного и верного группового действия. Решение задачи о скрытой подгруппе в абелевом случае обобщается на поиск нормального ядра для подгрупп произвольных групп.

Ядро р

В этом разделе G будет обозначать конечную группу, хотя некоторые аспекты обобщаются на локально конечные и проконечные группы.

Определение

Для простого числа p, p-ядро конечной группы определяется как ее наибольшая нормальная p-подгруппа. Оно является нормальным ядром каждой силовской p-подгруппы группы. p-ядро G часто обозначается , и в частности появляется в одном из определений подгруппы Фиттинга конечной группы. Аналогично, p′-ядро – это наибольшая нормальная подгруппа G, порядок которой взаимно просто с p, и обозначается . В области конечных неразрешимых групп, включая классификацию конечных простых групп, 2′-ядро часто называют просто ядром и обозначают . Это вызывает лишь небольшую путаницу, поскольку обычно можно различать ядро группы и ядро подгруппы внутри группы. Для конечной группы p′,p-ядро является единственной наибольшей нормальной p-нилпотентной подгруппой. p-ядро также можно определить как единственную наибольшую поднормальную p-подгруппу; p′-ядро как единственную наибольшую поднормальную p′-подгруппу; и p′,p-ядро как единственную наибольшую поднормальную p-нилпотентную подгруппу. p′- и p′,p-ядра начинают верхний p-ряд. Для множеств π1, π2, …, πn+1 простых чисел подгруппы Oπ1, π2, …, πn+1(G) определяются следующим образом: верхний p-ряд формируется, принимая π2i−1 = p′ и π2i = p; существует также нижний p-ряд. Конечная группа называется p-нилпотентной тогда и только тогда, когда она равна своему собственному p′,p-ядру. Конечная группа считается p-разрешимой тогда и только тогда, когда она равна некоторому члену ее верхнего p-ряда; ее p-длина равна длине ее верхнего p-ряда. Конечная группа G считается p-ограниченной для простого числа p, если каждая нилпотентная группа является p-нилпотентной, и каждая p-нилпотентная группа является p-разрешимой. Каждая разрешимая группа является p-разрешимой, и каждая p-разрешимая группа является p-ограниченной. Группа является p-нилпотентной, если и только если она имеет нормальный p-комплемент, который является просто ее p′-ядром.

Значение

Так же, как нормальные ядра важны для групповых действий на множествах, p-ядра и p′-ядра важны в модулярной теории представлений, которая изучает действия групп на векторных пространствах. p-ядро конечной группы — это пересечение ядер всех неприводимых представлений над любым полем характеристики p. Для конечной группы, p′-ядро — это пересечение ядер обычных (комплексных) неприводимых представлений, лежащих в главном p-блоке. Для конечной группы, p′,p-ядро — это пересечение ядер неприводимых представлений в главном p-блоке над любым полем характеристики p. Также, для конечной группы, p′,p-ядро — это пересечение централизаторов главных абелевых факторов, порядок которых делится на p (все они являются неприводимыми представлениями над полем размера p, лежащим в главном блоке). Для конечной, p-ограниченной группы, неприводимый модуль над полем характеристики p лежит в главном блоке тогда и только тогда, когда p′-ядро группы содержится в ядре этого представления.

Растворимые радикалы

Связанная подгруппа по концепции и обозначениям — решаемый радикал. Решаемый радикал определяется как наибольшая решаемая нормальная подгруппа и обозначается . В литературе существует некоторая непоследовательность в определении p′-ядра группы G. Некоторые авторы в небольшом количестве работ (например, в работах Джона Г. Томпсона о группе N, но не в его более поздних трудах) определяют p′-ядро неразрешимой группы G как p′-ядро её решаемого радикала, чтобы точнее воспроизвести свойства 2′-ядра.