Математикада, байланысқан ашық жиынға анықталған нақты мәнді функция, егер және тек қана егер олар күрделі айнымалының голоморфтық функциясының нақты және жорамал бөліктері болса, конъюгат (функция) деп аталады. Яғни, функциясы голоморфты болса, функциясы функциясына конъюгат болады. Бірінші қырылыс ретінде, екеуі де жиынғың үстінде гармониялық нақты мәнді функциялар болып табылады. Сонымен қатар, егер ол бар болса, функциясының конъюгаты қосымша тұрақтыға дейін бірегей болады. Сондай-ақ, функциясы функциясына конъюгат болса және тек қана егер функциясы функциясына конъюгат болса.
In mathematics, a real valued function defined on a connected open set is said to have a conjugate (function) if and only if they are respectively the real and imaginary parts of a holomorphic function of the complex variable That is, is conjugate to if is holomorphic on As a first consequence of the definition, they are both harmonic real valued functions on Moreover, the conjugate of if it exists, is unique up to an additive constant. Also, is conjugate to if and only if is conjugate to .
Сипаттама
Балама ретінде, егер және тек егер және Cauchy-Riemann теңдеулерін қанағаттандырса, онда -тегіндегі -ке конъюгацияланады. Бұл эквивалентті анықтаманың тікелей салдары ретінде, егер -тегіндегі кез келген гармоникалық функция болса, онда -функциясы -ке конъюгацияланады, себебі онда Cauchy-Riemann теңдеулері жай ғана және екінші реттік аралас туындылардың симметриясы болады. Сондықтан, гармоникалық функция егер және тек егер голоморфтық функцияда примитив болса, онда конъюгациялық гармоникалық функцияға ие болады. Демек, гармоникалық функцияның домені жай байланысқан болса, ол әрқашан конъюгациялық функцияға ие болады, ал кез келген жағдайда ол доменінің кез келген нүктесінде жергілікті конъюгациялық функцияға ие болады. Гармоникалық функцияны жай байланысқан аймақтағы -тен оның гармоникалық конъюгатына -ге түрлендіретін оператор бар (мысалы, конъюгаттың тұрақтыға дейін белгісіздігін бекіту үшін берілген -да ). Бұл қосымшаларда (негізінен) Гильберт түрлендіруі ретінде жақсы белгілі; сонымен қатар математикалық талдаудағы негізгі мысал, сингулярлы интегралды операторлармен байланысты. Конъюгациялық гармоникалық функциялар (және олардың арасындағы түрлендіру) - Беклюнд түрлендіруінің (екі ПДИ және олардың шешімдерін байланыстыратын түрлендіру) ең қарапайым мысалдарының бірі, бұл жағдайда сызықтық; күрделірек түрлендірулер солитондар мен интеграцияланатын жүйелерде қызығушылық тудырады. Геометриялық тұрғыдан алғанда, және -ның арақатысы түпкілікті голоморфтық функцияның нөлдерінен алыс ортогональды траекториялар болып табылады; және контурлары тұрақты қиылысқанда тік бұрыштарда кесіседі. Осыған байланысты, -кешендік потенциал болады, мұнда -потенциалдық функция, ал -ағын функциясы.
Equivalently, is conjugate to in if and only if and satisfy the Cauchy–Riemann equations in As an immediate consequence of the latter equivalent definition, if is any harmonic function on the function is conjugate to for then the Cauchy–Riemann equations are just and the symmetry of the mixed second order derivatives, Therefore, a harmonic function admits a conjugated harmonic function if and only if the holomorphic function has a primitive in in which case a conjugate of is, of course, So any harmonic function always admits a conjugate function whenever its domain is simply connected, and in any case it admits a conjugate locally at any point of its domain. There is an operator taking a harmonic function u on a simply connected region in to its harmonic conjugate v (putting e. g. v(x0) = 0 on a given x0 in order to fix the indeterminacy of the conjugate up to constants). This is well known in applications as (essentially) the Hilbert transform; it is also a basic example in mathematical analysis, in connection with singular integral operators. Conjugate harmonic functions (and the transform between them) are also one of the simplest examples of a Bäcklund transform (two PDEs and a transform relating their solutions), in this case linear; more complex transforms are of interest in solitons and integrable systems. Geometrically u and v are related as having orthogonal trajectories, away from the zeros of the underlying holomorphic function; the contours on which u and v are constant cross at right angles. In this regard, u + iv would be the complex potential, where u is the potential function and v is the stream function.
Геометриядағы гармониялық конъюгат
Гармоникалық конъюгат термині математикада, әсіресе проективтік геометрияда тағы да қолданылады. Екі нүкте А және В, егер қиылыс қатынасы (ABCD) -1-ге тең болса, C және D нүктелеріне қатысты бір-бірінің гармоникалық конъюгаты деп аталады.
There is an additional occurrence of the term harmonic conjugate in mathematics, and more specifically in projective geometry. Two points A and B are said to be harmonic conjugates of each other with respect to another pair of points C, D if the cross ratio (ABCD) equals −1.