Введение

Понятие в математике: геометрические сопряженные точки

В математике, функция, принимающая действительные значения, определенная на связном открытом множестве, называется имеющей сопряженную (функцию) тогда и только тогда, когда они являются соответственно действительной и мнимой частями голоморфной функции комплексной переменной. Иными словами, функция является сопряженной к функции , если является голоморфной на . Как первое следствие определения, обе они являются гармоническими функциями, принимающими действительные значения, на . Кроме того, сопряженная функция, если она существует, определена с точностью до аддитивной константы. Также, функция является сопряженной к функции , тогда и только тогда, когда функция является сопряженной к функции .

Описание

Эквивалентно, функция является конъюгированной к функции в области , если и только если и удовлетворяют уравнениям Коши — Римана в этой области. Как непосредственное следствие последнего эквивалентного определения, если является любой гармонической функцией на , то функция является конъюгированной к , поскольку в этом случае уравнения Коши — Римана принимают вид , а также выполняется симметрия смешанных частных производных второго порядка. Следовательно, гармоническая функция допускает конъюгированную гармоническую функцию тогда и только тогда, когда голоморфная функция имеет первообразную в , и в этом случае конъюгатом к является, очевидно, . Таким образом, любая гармоническая функция всегда допускает конъюгированную функцию, когда её область просто связна, и в любом случае допускает конъюгированную локально в любой точке своей области определения. Существует оператор, отображающий гармоническую функцию u на просто связанной области в её гармонический конъюгат v (например, можно задать v(x₀) = 0 в заданной точке x₀, чтобы устранить неоднозначность конъюгата с точностью до константы). Этот оператор хорошо известен в приложениях как (по существу) преобразование Гильберта и является также базовым примером в математическом анализе в связи с сингулярными интегральными операторами. Конъюгированные гармонические функции (и преобразование между ними) также являются одним из простейших примеров преобразования Баклунда (два уравнения в частных производных и преобразование, связывающее их решения), в данном случае линейного; более сложные преобразования представляют интерес в теории солитонов и интегрируемых систем. Геометрически функции u и v связаны тем, что их ортогональные траектории не пересекаются в нулях лежащей в основе голоморфной функции; линии уровня, на которых u и v постоянны, пересекаются под прямым углом. В связи с этим u + iv представляет собой комплексный потенциал, где u — потенциальная функция, а v — функция потока.

Гармонический конъюгат в геометрии

В математике, и в частности в проективной геометрии, существует еще одно употребление термина "гармонический конъюгат". Две точки A и B называются гармонически сопряженными относительно другой пары точек C и D, если их двойное отношение (ABCD) равно −1.