Кіріспе

Иілгіштің параллелі – иілгіштің бойында орналасқан, бір-бірімен сәйкес келетін шеңберлер отбасының қоршауы. Ол параллель (түзу) сызықтар ұғымын жалпылайды. Сондай-ақ, оны берілген иілгіштен тұрақты қалыпты қашықтықта жатқан нүктелерден тұратын иілгіш деп те анықтауға болады. Бұл екі анықтама толыққанды бірдей емес, себебі екіншісі тегістікті талап етеді, ал біріншісі талап етпейді. Компьютерлік жобалауда параллель иілгіштер үшін қабылданған термин – офсеттік иілгіш. (Басқа геометриялық контекстерде офсет термині аударманы да білдіре алады.) Офсеттік иілгіштер маңызды, мысалы, сандық басқарумен өңдеуде, екі осьті машинаның дөңгелек кескіш құралымен жасалған кесу пішінін сипаттауда қолданылады. Кесу пішіні кескіш траекториясынан әрбір нүктеде кескіш траекториясына перпендикуляр бағыттағы тұрақты қашықтыққа ығыстырылады. Векторлық графика деп аталатын 2D компьютерлік графика саласында параллель иілгіштерді (шамамен) есептеу негізгі сызу операцияларының біріне қатысады, ол әдетте сол саланың полилинияларына немесе полибезиерлеріне (өздерін жолдар деп атайды) қолданылатын «үгіту» деп аталады. Сызық немесе шеңбер болмаса, параллель иілгіштердің математикалық құрылымы бастапқы иілгіштен күрделірек болады. Бұл ұғым 3D беттерге де қолданылады, онда оны офсеттік бет немесе параллель бет деп атайды. Кері операция кейде қабық жасау деп аталады. Офсеттік беттер сандық басқарумен өңдеуде маңызды, олар үш осьті машинаның шарлы мұрындық кескішімен жасалған кесу пішінін сипаттайды. Кесу құралдарының басқа пішіндерін де жалпы офсеттік беттер арқылы математикалық түрде модельдеуге болады.

Геометриялық қасиеттері:

Бұл дегеніміз: белгілі бір параметр үшін жанама векторлар параллель. Берілген қисықтың қисықтығы және параметр үшін параллель қисықтың қисықтығы, берілген қисықтың қисық радиусымен және параметр үшін параллель қисықтың қисық радиусымен. Егер олар болса, параллель қисықтарға тиісті нүктелердегі шеңберлер концентрлі болады. Параллель түзулерге келетін болсақ, қисықтың нормалі оның параллельдеріне де нормаль болады. Параллель қисықтар құрылғанда, қисықтан қашықтық қисықтық радиусына тең болғанда оларда тұғырлар пайда болады. Бұл қисықтың эволютаға тиетін нүктелері. Егер бастапқы қисық жазық жиынның шекарасы болса және оның параллель қисығы өзімен-өзі қиылыспаса, онда соңғысы жазық жиынның Минковский қосындысының және берілген радиустағы дискінің шекарасы болады. Егер берілген қисық полиномдық болса (яғни және полиномдық болса), онда параллель қисықтар көбінесе полиномдық болмайды. CAD саласында бұл кемшілік, себебі CAD жүйелері полиномдарды немесе рационалды қисықтарды қолданады. Кемінде рационалды қисықтар алу үшін, параллель қисықтың бейнелеуінің квадрат түбірі шешілуі керек. Мұндай қисықтар пифагорлық ходографтық қисықтар деп аталады және оларды Р.Т. Фаруки зерттеді.

Бұрышы бар қисық сызыққа параллель қисық сызық

Өте өткір бұрышы бар детальдың кесу жолын анықтағанда, бұрыштағы нормалі үздіксіз болатын белгілі бір қисыққа параллель (оффсет) қисықты анықтау қажет. Белгілі қисық өткір бұрышта тегіс болмаса да, оның параллель қисығы үздіксіз нормалымен тегіс болуы мүмкін, немесе қисықтан арақашықтық өткір бұрыштағы қисықтық радиусына сәйкес келгенде ұштар пайда болуы мүмкін.

Параллель (оффсет) беттер

Оффсеттік беттер сандық басқарумен өңдеуде маңызды, онда олар үш осьті станоктың шарлы ұшты кескішпен жасалған кесу пішінін сипаттайды. === Яғни, белгілі параметрлер үшін жанама векторлар параллель. Яғни, тұрақты параметрлер үшін нормаль векторлар бір бағытта. Мұндағы және - тиісінше, және үшін пішін операторлары. Басты қисықтықтар – пішін операторының өзіндік мәндері, басты қисықтық бағыттары – оның өзіндік векторлары, Гаусс қисықтығы – оның детерминанты, ал орташа қисықтық – оның жартысы. Мұндағы және - тиісінше, және үшін пішін операторларының кері шамалары. Қисықтықтың басты радиустары – пішін операторының керісінің өзіндік мәндері, басты қисықтық бағыттары – оның өзіндік векторлары, Гаусс қисықтығының кері шамасы – оның детерминанты, ал қисықтықтың орташа радиусы – оның жартысы. Параллель қисықтардың геометриялық қасиеттерімен ұқсастығына назар аударыңыз.

Жалпылау

Мәселе жоғары өлшемдерге, мысалы, параллель беттерге және құбыр беттеріне өте оңай жалпыланады, бірақ құбыр беттеріне сәл қиынырақ. Жоғары өлшемді нұсқалар үшін терминология жазықтықтағыдан тіпті де әлдеқайда кеңірек қолданылатынын ескеріңіз, мысалы, басқа авторлар параллель талшықтар, ленталар және түтіктер туралы айтады. 3D беттерге енген қисықтар үшін арақашықтық геодезиялық бойымен есептелуі мүмкін. Оны жалпылаудың тағы бір жолы – (тіпті 2D-де) өзгермелі арақашықтықты қарастыру, мысалы, оны басқа қисықпен параметрлеу. Жақында Adobe Illustrator CS5 нұсқасында осыған ұқсас мүмкіндіктер қосылды, бірақ өзгермелі енді басқару нүктелері визуальды түрде берілген. Тұрақты және өзгермелі арақашықтықты ажырату қажет болған жағдайларда CDO және VDO аббревиатуралары кейде қолданылады.

Жалпы ауытқу қисықтары

Қисықтың тұрақты параметрлік бейнесі бар деп есептейік, және сізде оның бірлік нормасы арқылы параметрленетін екінші қисық бар, мұнда қисықтың нормасы (осы норма бойынша параметрлеу қатаң оң немесе теріс қисықтар үшін ғана мүмкін, яғни дөңгелек, тегіс және түзу емес қисықтар үшін). қисығынан қашықтықтағы жалпы ауытқу қисығының параметрлік бейнесі:

мұнда - қисықтың бірлік нормасы. Егер ауытқу болса, онда сіз қарапайым параллель (немесе ауытқу) қисықтарды аласыз.

Геометриялық қасиеттері:

Бұл дегеніміз: белгілі бір параметр үшін жанама векторлар параллель. Параллель түзулер сияқты, қисыққа нормаль оның жалпы жылжуларына да нормаль болады. Жалпы жылжу қисығының қисықтығымен, қисықтығымен және параметр үшін қисықтық радиусымен, жалпы жылжу қисығының қисықтық радиусымен және қисықтық радиусымен салыстырылады. Жалпы жылжу қисықтары құрылғанда, қисықтың қисықтығы жылжу қисығының қисықтығымен сәйкес келгенде оларда өткір бұрыштар (cusps) пайда болады. Бұл қисықтың эволютасына жанасатын нүктелер.

Жалпы ауытқу беттері

Жалпы офсеттік беттер сандық басқарумен өңделетін үш осьті ұштық диірмендерде қолданылатын әртүрлі кескіштермен жасалған кесулердің пішінін сипаттайды. Егер сізде беттің тұрақты параметрлік өрнегі бар деп есептесек, және сізде екінші бет бар, оны бірлік нормаль арқылы параметрлеуге болады, мұнда бетінің нормалі (осы нормаль арқылы параметрлеу гаусс қисықтығы қатаң оң болған, демек, дөңгелек, тегіс және жазық емес беттер үшін ғана қолданылады). Беттің офсеттік бетінің параметрлік өрнегі:

мұнда - беттің бірлік нормалі. Ескеріңіз, тривиальды офсет, , сізге қалыпты параллель (немесе офсеттік) беттерді береді.

Геометриялық қасиеттері:

Паралель сызықтарға келетін болсақ, беттің жанама жазықтығы оның жалпы ығысуларының жанама жазықтығына параллель. Паралель сызықтарға келетін болсақ, бетке перпендикуляр оның жалпы ығысуларына да перпендикуляр болады. мұндағы және , тиісінше, және үшін пішін операторлары. Басты қисықтықтар – пішін операторының өзіндік мәндері, басты қисықтық бағыттары – оның өзіндік векторлары, Гаусс қисықтығы – оның детерминанты, ал орташа қисықтық – оның жартысы. мұндағы және , тиісінше, және үшін пішін операторларының кері шамалары. Қисықтықтың басты радиустары – пішін операторының керісінің өзіндік мәндері, басты қисықтық бағыттары – оның өзіндік векторлары, Гаусс қисықтығының кері шамасы – оның детерминанты, ал қисықтықтың орташа радиусы – оның жартысы. Жалпы ығысу қисықтарының геометриялық қасиеттерімен ұқсастығына назар аударыңыз.