Введение

Параллель кривой – это огибающая семейства конгруэнтных окружностей, центры которых лежат на кривой. Она обобщает понятие параллельных (прямых) линий. Её также можно определить как кривую, точки которой находятся на постоянном нормальном расстоянии от заданной кривой. Эти два определения не полностью эквивалентны, поскольку второе предполагает гладкость, а первое – нет. В системах автоматизированного проектирования предпочтительным термином для параллельной кривой является офсетная кривая. (В других геометрических контекстах термин "офсет" также может означать сдвиг.) Офсетные кривые важны, например, в станках с числовым программным управлением, где они описывают форму разреза, выполненного круглым режущим инструментом двухкоординатного станка. Форма разреза смещена от траектории резака на постоянное расстояние в направлении, нормальном к траектории резака в каждой точке. В области 2D компьютерной графики, известной как векторная графика, (приблизительное) вычисление параллельных кривых используется в одной из фундаментальных операций рисования, называемой обводкой, которая обычно применяется к полилиниям или полибезье (сами называемым путями) в этой области. За исключением случая прямой или окружности, параллельные кривые имеют более сложную математическую структуру, чем исходная кривая. Это понятие также обобщается на 3D поверхности, где оно называется офсетной поверхностью или параллельной поверхностью. Обратная операция иногда называется наращиванием оболочки. Офсетные поверхности важны в станках с числовым программным управлением, где они описывают форму разреза, выполненного сферической фрезой трехкоординатного станка. Другие формы режущего инструмента могут быть математически смоделированы с помощью общих офсетных поверхностей.

Геометрические свойства:

Это означает, что тангенциальные векторы для фиксированного параметра параллельны. Это связано с кривизной данной кривой и кривизной параллельной кривой для данного параметра, а также с радиусом кривизны данной кривой и радиусом кривизны параллельной кривой для данного параметра. Когда они существуют, оскулирующие окружности для параллельных кривых в соответствующих точках концентричны. Как и в случае параллельных линий, нормаль к кривой также является нормалью к ее параллельным кривым. При построении параллельных кривых у них будут точки перегиба, когда расстояние от кривой равно радиусу ее кривизны. Это точки, в которых кривая касается своей эволюты. Если исходная кривая является границей плоского множества, а ее параллельная кривая не имеет самопересечений, то последняя является границей суммы Минковского этого плоского множества и диска заданного радиуса. Если данная кривая является полиномиальной (то есть ее параметры являются полиномами), то параллельные кривые обычно не являются полиномиальными. Это недостаток в области CAD, поскольку CAD-системы используют полиномы или рациональные кривые. Чтобы получить хотя бы рациональные кривые, необходимо, чтобы корень квадратный из представления параллельной кривой был выразим в явном виде. Такие кривые называются кривыми пифагорейского ходографа и были исследованы Р. Т. Фаруки.

Параллельная кривая с кривой с углом

При определении траектории резания детали с острым углом необходимо определить параллельную (оффсетную) кривую к заданной кривой, имеющей разрыв нормали в углу. Даже если заданная кривая не является гладкой в остром углу, её параллельная кривая может быть гладкой с непрерывной нормалью, либо иметь точки заострения, когда расстояние от кривой соответствует радиусу кривизны в остром углу.

Параллельные (оффсетные) поверхности

Оффсетные поверхности важны при числовом программном управлении (ЧПУ), где они описывают форму реза, создаваемого шаровым фрезером на трехкоординатном станке. ===
Это означает, что касательные векторы при фиксированных параметрах параллельны. Это означает, что нормальные векторы при фиксированных параметрах совпадают по направлению. Где и – операторы формы для и , соответственно. Главные кривизны – это собственные значения оператора формы, главные направления кривизны – его собственные векторы, гауссова кривизна – его определитель, а средняя кривизна – половина его следа. Где и – обратные операторы формы для и , соответственно. Главные радиусы кривизны – это собственные значения обратного оператора формы, главные направления кривизны – его собственные векторы, величина, обратная гауссовой кривизне – его определитель, а средний радиус кривизны – половина его следа. Обратите внимание на сходство с геометрическими свойствами параллельных кривых.

Обобщения

Проблема довольно очевидно обобщается на более высокие размерности, например, на сдвинутые поверхности, и несколько менее тривиально – на трубчатые поверхности. Следует отметить, что терминология для версий в более высоких размерностях варьируется еще шире, чем в случае плоских фигур, например, другие авторы используют термины «параллельные волокна», «ленты» и «трубы». Для кривых, встроенных в трехмерные поверхности, смещение может быть выполнено вдоль геодезической. Другой способ обобщения (даже в 2D) – рассмотреть переменную дистанцию, например, параметризованную другой кривой. Недавно Adobe Illustrator добавил схожую функцию в версии CS5, хотя контрольные точки для переменной ширины задаются визуально. В ситуациях, когда важно различать смещение с постоянной и переменной дистанцией, иногда используются аббревиатуры CDO и VDO.

Общие кривые смещения

Предположим, у вас есть регулярное параметрическое представление кривой , и вторая кривая, которую можно параметризовать по ее единичной нормали, , где нормаль к (такая параметризация по нормали существует для кривых, имеющих строго положительную или отрицательную кривизну, то есть выпуклых, гладких и не являющихся прямой линией). Параметрическое представление общей офсет-кривой к , отстоящей на расстояние , имеет вид:

где — единичная нормаль к . Обратите внимание, что нулевой офсет, , дает обычные параллельные (также известные как офсетные) кривые.

Геометрические свойства:

Это означает: тангенциальные векторы для фиксированного параметра параллельны. Как и в случае параллельных прямых, нормаль к кривой также является нормалью к ее общим параллельным (смещенным) кривым. При этом кривизна общей параллельной кривой, кривизна исходной кривой и кривизна для параметра связаны между собой. Также связаны радиусы кривизны общей параллельной кривой, радиус кривизны исходной кривой и радиус кривизны для параметра. При построении общих параллельных кривых, они будут иметь точки перегиба, когда кривизна исходной кривой равна кривизне параллельной кривой. Это точки, в которых кривая касается своей эволюты.

Общие поверхности сдвига

Общие офсетные поверхности описывают форму разрезов, создаваемых различными режущими инструментами, используемыми трехосевыми концевыми фрезами при числовом программном управлении. Предположим, что у вас есть регулярное параметрическое представление поверхности *S*, и у вас есть вторая поверхность, которая может быть параметризована по своему единичному нормальному вектору *n*, где нормаль к *S* (такая параметризация по нормали существует для поверхностей с положительной гауссовой кривизной, то есть выпуклых, гладких и не плоских). Параметрическое представление общей офсетной поверхности поверхности *S* со смещением *δ* имеет вид:

где *n* – единичный нормальный вектор к *S*. Обратите внимание, что нулевое смещение (*δ* = 0) дает обычные параллельные (также известные как офсетные) поверхности.

Геометрические свойства:

Что касается параллельных линий, касательная плоскость поверхности параллельна касательной плоскости ее общих смещений. Также, нормаль к поверхности является нормалью к ее общим смещениям. где и – операторы формы для и , соответственно. Главные кривизны – это собственные значения оператора формы, главные направления кривизны – его собственные векторы, гауссова кривизна – его определитель, а средняя кривизна – половина его следа. где и – обратные операторы формы для и , соответственно. Главные радиусы кривизны – это собственные значения обратного оператора формы, главные направления кривизны – его собственные векторы, величина, обратная гауссовой кривизне – его определитель, а средний радиус кривизны – половина его следа. Обратите внимание на сходство с геометрическими свойствами общих смещающих кривых.