Кіріспе

Вик айналымдарын қолдана отырып, кванттық гравитацияға қадам жасау. Теориялық физикада Евклидтік кванттық гравитация – кванттық гравитацияның бір түрі. Ол кванттық механика принциптеріне сәйкес гравитация күшін сипаттау үшін Вик айналымын пайдалануға тырысады.

Шалқаның айналуы

Физикада Вик айналуы – бұл өлшемдердегі динамика мәселелерін шешу әдісі, олардың сипаттамаларын өлшемдерге көшіру арқылы, кеңістіктің бір өлшемін уақыт өлшеміне ауыстыру арқылы. Нақтырақ айтқанда, ол Минковский кеңістігіндегі математикалық мәселені Евклид кеңістігіндегі байланысты мәселеге шынайы сан айнымалысын жолға қосылған сан айнымалысына алмастыратын түрлендіру арқылы ауыстырады. Бұл айналыс деп аталады, өйткені кешенді сандар жазықтық ретінде бейнеленгенде кешенді санды *i* санына көбейту сол санды координаталардың басынан 90 градусқа айналдыруға тең. Мысалы, Вик айналуы макроскопиялық құбылыстың температуралық диффузиясын (мысалы, ваннадағыдай) молекулалардың негізгі жылулық қозғалысына байланыстыру үшін қолданылуы мүмкін. Егер біз ваннаның көлемін температураның әртүрлі градиенттерімен модельдеуге тырыссақ, осы көлемді инфинитезимальды көлемдерге бөліп, олардың өзара әрекеттесуін қарастыруымыз керек. Біз мұндай инфинитезимальды көлемдердің шын мәнінде су молекулалары екенін білеміз. Егер ваннадағы барлық молекулаларды бір ғана молекуламен бейнелеу арқылы мәселені жеңілдетсек, бұл бірегей молекула нақты молекулалардың қозғалысын имитациялайтын барлық мүмкін жолдармен қозғалуы керек. Жол интегралы формуласы – бұл бірегей молекуланың қозғалысын сипаттауға қолданылатын тұжырымдамалық құрал, ал Вик айналуы – жол интегралы мәселесін талдау үшін өте пайдалы математикалық құралдардың бірі.

Кванттық механикада қолдану

Кванттық механикада сипатталған кванттық объектінің қозғалысы да осыған ұқсас, ол әр түрлі орында және әр түрлі жылдамдықпен бір мезгілде болуы мүмкін. Бұл классикалық объектінің қозғалысынан (мысалы, бильярд добынан) анық ерекшеленеді, себебі бұл жағдайда нақты орын және жылдамдықпен бір жолды сипаттауға болады. Кванттық объект А нүктесінен В нүктесіне бір жолмен емес, А нүктесінен В нүктесіне барлық мүмкін жолдармен бір уақытта қозғалады. Кванттық механиканың Фейнман жол интегралды формуласына сәйкес, кванттық объектінің жолы математикалық тұрғыдан барлық мүмкін жолдардың салмақталған орташасы ретінде сипатталады. 1966 жылы Девитт нақты түрде өлшегіш инвариантты функционалдық интегралды алгоритмді тапты, ол Фейнманның жаңа ережелерін барлық реттерге дейін кеңейтті. Бұл жаңа тәсілдің тартымдылығы – жалпы салыстырмалылық теориясында кездесетін ерекшеліктердің болмауында. Жалпы салыстырмалылық теориясының тағы бір қиындығы – математикалық құралдардың күрделілігіне байланысты есептеулердің қиындығы. Керісінше, жол интегралдары механикада он тоғызыншы ғасырдың соңынан бері қолданылып келеді және жақсы танымал. Сонымен қатар, жол интегралды формализм классикалық және кванттық физикада қолданылады, сондықтан ол жалпы салыстырмалылық теориясы мен кванттық теорияларды біріктіру үшін жақсы бастама болуы мүмкін. Мысалы, кванттық механикалық Шредингер теңдеуі мен классикалық жылу теңдеуі Уик айналымы арқылы байланыстырылған. Осылайша, Уик қатынасы классикалық құбылысты кванттық құбылыспен байланыстыруға мүмкіндік беретін пайдалы құрал. Евклидтік кванттық гравитацияның мақсаты – Уик айналымын пайдаланып, макроскопиялық құбылыс – гравитация мен одан да микроскопиялық құбылыстар арасындағы байланыстарды табу.

Қатаң емдеу

Евклидтік кванттық гравитация – кванттық гравитацияның Уик айналдырылған түрі, ол кванттық өріс теориясы ретінде құрастырылған. Бұл құралымда қолданылатын кеңістіктер псевдо-Риманн кеңістіктерінің орнына 4 өлшемді Риманн кеңістіктері болып табылады. Сондай-ақ, кеңістіктер ықшам, байланысқан және шекарасыз (яғни ерекшеліктер жоқ) деп қарастырылады. Кванттық өріс теориясының қалыпты құралымына сәйкес, вакуумдық амплитуда метрикалық тензор бойынша функционалдық интеграл түрінде жазылады, ол қазіргі қарастырылып отырған кванттық өріс. мұнда φ барлық материялық өрістерді көрсетеді. Эйнштейн-Хилберт әрекетіне қараңыз.

АДМ формализмімен байланысы

Евклидтік кванттық гравитация каноникалық кванттық гравитацияда қолданылатын ADM формализмімен байланысты және әр түрлі жағдайларда Уилер-ДеУит теңдеуін қалпына келтіреді. Егер бізде қандай да бір материялық өріс болса, онда жол интегралы былай жазылады:

мұндағы интегралдау 3-өлшемді метрика, лапс функциясы және жылғастыру векторы бойынша жүргізіледі. Бірақ біз шекарада лапс функциясы мен жылғастыру векторына тәуелсіз болуын талап етеміз, сондықтан біз келесіні аламыз:

мұндағы – үш өлшемді шекара. Осы өрнек нөлге тең болса, функционалдық туынды да нөлге тең болады, нәтижесінде Уилер-ДеУит теңдеуі шығады. Диффеоморфизм шектеуі үшін де ұқсас тұжырым жасауға болады (жылғастыру функцияларына қатысты функционалдық туындыны алу арқылы).